试析导数在高中函数问题中的应用

湖南省浏阳市田家炳实验中学1407班 羊宇健

试析导数在高中函数问题中的应用

湖南省浏阳市田家炳实验中学1407班 羊宇健

历年高考中，函数知识的考查一直是每年高考的热点，而导数在函数问题中的应用，给我们解决函数问题增添了新的活力，尤其是在判断函数的单调性、极值等方面有着广泛的应用。下面，我就分享自己在导数学习中的一些感受和经验供大家参考。

一、利用导数求函数的切线

例1 已知曲线y=x3-2x2+1 ，求经过点A（2,1）的切线方程。

解：当切点为点A时，将x=2代入y,=3x2－4x，得y′=4，利用点斜式，可得切线方程为4x-y+7=0；当切点不是点A时，不妨设切点为A0(x0,y0),则有y0＝x03－2x02＋1；（1）

利用点斜式，可得切线方程为y－1＝（3x02－4x0）（x－2）；（2）

结合（1）（2）两式，可解得x0＝0,2，所以，过点A的切线有两条，分别是y＝1和4x－y＋7＝0。

对于利用导数求函数的切线问题，我们要熟练掌握曲线y＝f（x）在A（x0，y0）处的切线斜率就是函数y＝f（x）在x0处的导数，其切线方程为y－y0＝f′（x）(x－x0），而很多学生常常忽略题目的要求，没有弄清是求过切点的切线还是求该点为切点时的切线。因此，在做题时应仔细审题，确保答案正确无误。

二、利用导数判断函数的单调性

例2 已知函数y＝2x3－4x2＋2x，求该函数的单调区间。

分析：首先明确函数的定义域，求出该函数的导数为y′＝6x2－8x＋2；其次利用导数性质进行作答，即当y′＞0时，函数为单调增区间，y＝6x2－8x＋2＞0,求得x＞1或x＜;当y＜0时，函数为单调减区间，6x2－8x＋2＜0,求得＜x＜1。

在函数比较复杂时，我们常常利用导数判断函数的单调性。对于利用导数判断函数单调性问题，首先应求出函数的导数，并且确定出函数的定义域；其次，利用导数的符号判断函数的单调性，即在函数的定义域内导数大于零，则为函数的增区间，导数小于零，则为函数的减区间。

三、利用导数求解函数的极值

例3 已知函数f（x）＝ex（x2＋ax＋a＋1），求该函数的极值个数。

解：函数f（x）的导数f′（x）＝ex（x2＋ax＋a＋1）＋ex（2x＋a）＝ex［x2＋（a＋2）x＋2a＋1]＝0，

由于ex恒大于0，所以x2+（a+2）x+2a+1＝0，

当△=0时，函数两个相同的实根x1、x2，即（a+2）2－4（2a+1）＝0，求得a为0或4，故f′（x）=ex（x－x1）2，此时，恒有f′（x）＞0，因此，该函数没有极值。

当△＞0时，函数有两个不同的实根x1，x2，即（a+2）2－4（2a+1）＞0，求得a＜0或a＞4,为了研究方便，我们采用以下图表进行分析：

x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）f（x） + 0 - 0 +f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增

当△＜0时，求得0＜a＜4，故f′（x）＝ex［x2＋（a＋2）·x＋2a＋1]恒大于零，则f（x）＝ex（x2＋ax＋a＋1）为增函数，此时该函数没有极值。

一个函数能否取得极值的关键在于该点处导数是否为零且该点两侧是否异号，若该点的导数为零但该点两侧为同号，则该点仍然不是极值。对于利用导数求解函数极值问题，首先，仍然是求出函数的导数，并且确定出函数的定义域；其次，求出函数的导数的所有实根，然后利用表格的形式进行检验，确保该点左右两侧为异号。若是左正右负，则该点为极大值，反之，则为极小值。

四、利用导数求参数的范围

例4 已知函数为f（x）=ax2-lnx-1有两解，求参数a的取值范围。

为了研究方便，根据题意，我们不妨描出f（x）=ax2-lnx-1的草图，其函数草图如下图所示。

利用导数求参数的范围，应将其转换为不等式恒成立求解，通过这种逆向思维的转换，最终转换为函数的极值或最值问题进行求解。只有这样，才能将复杂的数学问题简单化。

五、利用导数解决函数实际问题

例题5 如图所示，A厂位于河道边，B厂位于距离河道40km处，并且A厂到B厂在河道上的垂直点D处的距离为50km，则怎样修建一座供水站C厂，使C厂到A、B两厂的管道铺设费用最小？其中供水站到A、B两厂的铺设费用每千米分别为3a、5a元。

解法：不妨设CD=xkm，则AC=（50-x）km,,根 据 题 意，此题可以转化为当x取何值时，铺设费用取得最小值。

总之，导数应用于函数问题将使函数问题变得更加清晰和简单，因此，在具体应用过程中，我们务必注重导数和函数基础知识的理解，应用图形结合思想，达到优化函数解题思维，简化解题过程的目的。

（指导老师：汤华柏）