本源性问题：“多思喜悟”数学课堂的生长点
2017-01-03何绪铜
何绪铜
【摘 要】数学的本源性问题是课堂的生长点，更是启发学生思考的平台。本源性问题需要课前挖掘、课上提出、课堂生成、课后深化，使师生感悟、领悟、顿悟、喜悟，实现智慧增长。
【关键词】 本源性问题 多思喜悟
数学的本源性问题是课堂的生长点，是启发学生思考的平台，具有典型性、示范性、启发性、导向性。而“多思喜悟”是新课改的重要理念，是实现“四基”目标中的“后两基”（基本思想方法、基本活动经验）的根本途径。如何引导学生“多思喜悟”，构建“多思喜悟”的数学课堂，笔者及团队经过三年的研究发现，“提出本源性问题，进行本源性教学”是促进学生深度思考、透彻感悟的有效途径。
一、课前挖掘本源性问题，促进教师思考领悟
本源性问题是关于本质、核心、根源的问题。数学教学中的本源性问题是关于某数学教学主题的本质根源问题，是学生在学习该主题过程中产生的朴素想法和内心困惑的真问题、源问题。它往往藏在显性知识的背后，是隐性的，若要把它挖掘、提炼、引发出来，需要教师课前做足基本功。
1.修炼个人基本功，提升学科素养，提高自身数学眼光和洞察力，增强教学智慧。如一提起“平均数”，你脑中就能立即反射出：“平均数”是一个统计量，是一个虚拟的数，它可能在“那组数据”中，也可能不在，它能代表一组数据的整体水平，它也会因“那组数据”中的任意一数据的变化而变化，遇到一组数据中有极端数据，用“平均数”去代表它们的整体水平不科学，“平均数”与“平均分”不一样。并能根据以上反射，预设出如下本源性问题：①“平均数”与“分数、小数、整数”一样吗？②为什么要学习“平均数”？③歌咏比赛时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分，再求剩下数的平均数作该队的成绩？
2.与教材、教参进行深层对话。善于透过现象看本质，在不关联中找关联；能借助明线探暗线，在零散中建结构；能透过知识掘思想，在方法中寻价值。如 “有余数除法”一节内容，教师研读时，就不能孤立地解读教材中的例题和练习，而要整体地进行洞察，还要将它与已学的“找规律”沟通，从系统的角度设计本源性问题：①包含除、平均分分别是怎样确定余数的？②剩余的数与余数意义相同吗？余数为何不叫剩数？③余数组与找规律中的份（组）有什么联系呢？④余数有什么价值？然后在课堂上适时使用，能使学生顺利完成“余数”知识结构的构建，架起“找规律、循环、排列、除法”之间的交互式立交桥。
3.站在儿童的角度与教材、教参对话。善于儿童首位思考，能把握学生学习该主题的起点、盲点和困惑点，预见或预设学生的课堂生成，确保课堂能引导和发展学生的朴素想法和朦胧感觉。如“乘法分配律”一课，教师需跳出顺风顺水、热闹繁华的模式，而要站在学生的角度与教材、教参深度对话，把学生初学时的疑惑设计成本源性问题提出来，助学生把分配律学懂悟透。现以“102×46=100×46+2×46=4600+92=4692”为例，学生存在两大迷惘：①明明“102×46”只一个乘法算式，干嘛要弄成 “100×46”和“2×46”两个乘法算式？②“102×46”中只有乘号，而变成“100×46+2×46”后出现了“加号”，“加号”是哪来的？笔者在教学此处时，首先将上述两大疑惑当成两个本源性问题，引发学生讨论。然后追问“你能用自己的方法解释上述两个问题吗”？有学生用乘法竖式原理解释，把“102×46”的竖式计算过程（如图1），改写成横式，就是“2×46+100×46”，与乘法分配律完全一致；也有学生用数形结合解释（如图2），把“102×46”看作是在计算“长方形面积”，把长分成“100和2”两段，就变成了两个长方形，那大长方形面积等于两个小长方形面积之和，所以该用“100×46+2×46”来计算；还有学生解释，这样做是把原来需要竖式计算的，变成了可直接口算，虽然增加了运算步骤，但降低了运算难度，这样做的前提是“得数不变”。
二、课上提出本源性问题，促进学生思考感悟
教师要以课堂为阵地，根据课堂状况适时使用预设好的本源性问题。本源性问题的出示，要因教学主题、学生情况、课堂状态、现场需求而定。
1.上课开始即展示。将本源性问题作为串联起全课的核心问题，如著名特级教师黄爱华在教学“百分数的认识”一课时，上课伊始，即根据学生的疑问，梳理出“什么是百分数”“百分数是个什么样的数”“为什么要学百分数”三个本源性问题（或称大问题），让学生自主钻研、合作探究、交流思辨，效果十分好。
2.课中及时出示。将本源性问题作为课堂的爬坡点，让学生思维来一次上坡起步，提升新高度。还是以“百分数的认识”为例，著名特级教师刘松在学生知道了“什么是百分数、百分数长什么样”后，突然提出：①学了分数，干嘛还要学百分数？②生活中有千分数、十分数、万分数等，为什么人们独爱百分数？让学生讨论争辩，最后在教师的点拨下，学生悟懂了：分数既可表示数量，又能表示倍比关系，具有双重功能，而百分数只具有表示倍比关系这一重要功能，当遇到只需表示倍比关系时，用百分数不但不会产生歧义，而且方便理解、易于比较，这是其一。其二，生活中我们见得最多的是两位小数，与它互通过来就是百分数，加之用十分数表示倍比关系太粗略、不精确，用千分数又太细小、太烦琐，而只有百分数才是最恰当的。
3.课尾隆重推出。课尾推出本源性问题，犹如往沉寂的课堂投放一枚震撼弹，冲击了学生原认知结构，推动着学生重组思维，助推学生完成知识结构的“同化”。如笔者在教学“平行四边形面积计算”一课时，在学生推出平行四边形的面积公式后，抛出本源性问题：①长方形的面积由相邻的两条边（长和宽）相乘就可以得到，为什么平行四边形的面积用相邻两条边相乘却不可以，偏要用根本就未出现的高去乘，其道理何在？②把一个平行四边形的框架压一压，如图：
让学生回到“面积”的初始概念去探讨，原来决定面积大小的是二维的长和宽，所谓宽应该是图形某方向上两条外边线间的垂直距离，它与对应外边线构成90°的夹角，为研究方便，数学上将之称为“高”，“高”是隐藏在图形里、影响面积大小的核心要素。而另一个方向上的斜边，因与已知边的夹角不是90°，所以它不能与已知边配成“对（二维）”，算面积时不能将之直接相乘。事实证明，这样的教学处理，对学生来说可谓刻骨铭心，学生不但牢固建起了平行四边形面积公式的模型，而且知道了“为什么会这样”的根源。
三、课堂生成本源性问题，促进师生思考顿悟
智慧的生长来自问题的发端，而课堂问题，有的来自课前预设，有的源于课堂生成。课堂上，学生偶而灵感一闪，生成的朴素想法、朦胧感觉以及闹心感受，最是直指教学主题的本源和核心，教师若加以梳理、提炼、归结，就会生成一个个“抓心”的本源性问题，引发学生思维碰撞，使学生醒悟、顿悟甚至大彻大悟。
1.营造宽松安全的心理环境，激励学生质疑，生成本源性问题。课堂上，教师要用激励性、包容性、启发性的语言，营造出民主、和谐、宽松的氛围，设置质疑问难环节，交给学生“举反例、类比、推理、换角度、变维度”等质疑问难的方法，留足空间，给足时间，让学生表达自己的想法，表征自己的感觉，生成本源性问题。
如在教学“三角形的分类”一课时，待学生理解三角形分类的标准、方法和结果后，安排学生质疑问难。师：关于分类，你们还有没有疑惑或者不明白的地方，提出来，我们共同讨论。生：直角三角形中有两个锐角、一个直角，锐角比直角还多一个，干嘛要叫直角三角形？同样，钝角三角形中有两个锐角、一个钝角，锐角比钝角还多一个，为啥要叫钝角三角形呢？
这真是直指本源的好问题！于是，笔者大声说：是呀！这是为什么呢？大家分组讨论。通过激烈辩论，学生明白：数学名称不仅是个代号，更是个性特征的体现，分类或取名主要是看它与众不同的特征，即独有特征，如直角三角形中的“那个直角”、钝角三角形中的“那个钝角”，都是它们独有的、区别于其他三角形的特征，所以取名直角三角形、钝角三角形，而锐角三角形只有锐角，所以只能叫锐角三角形；如果按照“2>1”的思路给三角形命名，就会都叫锐角三角形，干嘛还分类呢？
2.提升自身课堂阅读能力，把学生朴素想法、朦胧感觉、闹心冲动，变成本源性问题。教师要不断丰富自己的课堂智慧，提升自己课堂阅读的水平，善于从学生的眼睛里、举止上、言语中，挖掘学生问题，通过追问、补问、逼问，将它们变成课堂的本源性问题。如笔者在教学数学广角 “找次品”一课时，当教学完“总数3个，1次可以找到次品；总数4～9个，2次可以找到次品；总数10～27个，3次可以找到次品……”时，归纳总结出：每次都是把物品尽量分成3份，这样就能尽可能快地找到“次品”。此时，笔者观察学生，很多学生眼含迷惘，有学生欲言又止，也有学生把手举起又放下，这说明学生心中有想法。师：我知道同学们心中有想法，有不服气，谁愿意把自己的不服气说出来？生：我不明白，为什么是分成3份，不分成2份、4份、5份？师：是呀！分的份数越多，每份个数就会越少，不是更快吗？
朴素的想法，经过教师“分的份数越多，每份个数就会越少，不是更快吗？”的诱误提醒，学生的思维一下聚焦了起来，经过几个回合的思辨，“找次品”的原理学生渐渐理解：①要确保找到次品，需排除“凑巧”因素，按“全都不凑巧”去研究；②要先分成“份”，按“份→小份→小小份→小小小份→……→3个→次品”的思路去探究，不能程序不清，“份”“个”混搭；③若分成3份，天平两端每次可以放2份，天平外还有1份，用“称”配合“推理”，一次就能确保淘汰掉2份；若只分成2份，则每次只能淘汰1份；若分成4份、5份或者更多，天平外就会有2份、3份甚至更多，称2次才能确保淘汰3份，称3次才能确保淘汰5份……显然没有分成3份效率高。
课上到此处，学生的心中如拨云见日、茅塞顿开。
四、课后深化本源性问题，促进师生多思喜悟
“本源性问题”直指主题的本源、源头，紧扣主题的核心和本质，有些是灵感闪现瞬间的顿悟，有些是厚积知识与经验后的薄发，有些是苦思冥想后的感召，有些是交流互动中的电闪，课堂上不能完全产生或解决，需要课后的深化和升华。
1.在“回头看”中，反思本源性问题。回头看，是重要的学习方法和研究方法，也是反思最主要的方式。通过回头看，能帮学生找到知识之根，道理之源，焊接起新知与旧知的整体结构。现仍以“三角形的分类”为例，教师可以用这样的本源性问题，鼓励学生课后“回头看”：“为何每一个三角形至少有两个内角是锐角”“你能画出或摆出有两个直角或两个钝角的三角形吗”。让学生课后实践摆画，自主得出：无论怎样摆，始终不能得到有两个直角或两个钝角的三角形，因为要想画出或摆出三角形，必须要有两个锐角来帮忙，大三角形是这样，小三角形也是这样，冥冥之中，仿佛有一种命运在安排，任何三角形都一样。这样的回头看，既内化了学生对三角形“角”的进一步认识，也为学习三角形内角和积累了经验。
2.在生活中，挖掘本源性问题的另类价值。带着数学的本源性问题，到生活中去找原型，不但可以培养学生的数学眼光，学会数学思考，还可以体验为什么要数学化，数学化的价值在哪里。如“三角形的高”的教学，教师要求学生课后在生活中去找“高”的原型，探究生活中的“高”与数学上的“高”的区别。
通过调查分析、查阅资料，学生发现：生活中的高是垂直方向上的长。而数学上的“高”是进一步研究图形的参数，针对具体的三角形来说，就是上方顶点与下方边线间的垂直距离，左方顶点与右方边线间的垂直距离，右方顶点与左方外边线间的垂直距离，一共有3条；再看平行四边形，它上下方向边线间的垂直距离是高，左右方向边线间的垂直距离也是高，共有两类，每类又是分别相等的，每类又分别掌控着两条外边线的命运；但梯形却不一样，只有互相平行方向上的两条边线间的垂直距离才是“高”，不平行的边线间的垂直距离，因其距离不等，却不能叫“高”。而一般四边形，我们根本不去研究它的“高”，因为其不能为进一步研究图形提供帮助。由此看来，数学上的“高”与生活中的“高”的交集是“垂直”，不同点是生活中的“高”是垂直方向上的长度，数学上的“高”是隐藏在图中的、控制着边线距离的一个量，它随着方向的变化而变化，为进一步研究图形而设定，它是对生活中的“高”的一种抽象或数学化，对进一步研究图形价值巨大。
作为数学教师，我们一定要认识到“本源性问题”是巩固数学基础知识、形成数学技能的“蓝本”，是数学思想方法的重要“载体”，是培养学生数学能力和创新意识的“桥梁”。教学中，我们要充分利用数学的“本源性问题”，使学生获得有价值的副产品，帮助学生透彻理解问题的实质，寻求问题之间的联系，把握知识的来龙去脉，实现课堂上师生共同的“多思喜悟”。
（四川省仪陇县新政镇小学校 637676）
