具Rotenberg型迁移方程解的渐近性问题

王 胜 华

(上饶师范学院 数学与计算机科学学院，江西 上饶 334001)

具Rotenberg型迁移方程解的渐近性问题

王 胜 华

(上饶师范学院 数学与计算机科学学院，江西 上饶 334001)

在Lp(1≤p<∞)空间上，研究了种群细胞增生中一类具一般边界条件下的Rotenberg型迁移方程，给出了这类迁移方程解的渐近行为等结果。

Rotenberg模型；一般边界条件；迁移方程；正C0半群； 渐近行为

本文研究以下种群细胞增生中一类具一般边界下的Rotenberg型迁移方程的初边值问题：

①

其中ψ(u,v,t)表示关于细胞的成熟度u(0

②

其中α，p≥0表示每一能有丝分解子体细胞的平均数，p=1时保证了细胞通量的连续性，正核k=k(v,v')表示母体细胞v'和它的子体细菌v间成熟速率的相互关系，并满足标准化条件

③

其余符号意见见文献[1]。

关于这类具增生的种群细胞中的迁移方程是由M.Rotenberg在文献[1]中提出来的，故称为Rotenberg型迁移方程，在文献[1]中使用了Chapman方法，研究了该迁移方程的数值解。之后对该Rotenberg模型有许多研究工作(部分见文献[2-8])。最近，文献[9]在L1空间研究了这类Rotenberg模型，在α=0的边界条件和比文献[10,11]更一般的情况下，也同样得到了该迁移方程解的渐近行为等结果，详情可见文献[12]的说明。但是对边界条件②中αp≠0的情况未见研究结果。配方在Lp(1≤p<∞)空间上，研究了这类具增生的种群细胞中一类具一般边界条件(含αp≠0的情况)下的Rotenberg型迁移方程，同样给出了这类迁移方程解的渐近行为等结果。

设X是Banach空间，T是C0半群(U(t))t≥0的母元，该半群的型定义为：

ω(U(t))=inf{ω>0∶∃Mω, ‖U(t)‖≤Mωeωt, ∀t≥0}。

令L(X)表示X上的有界线性算子的全体，若K∈L(X),则A=T+K生成C0半群(V(t))t≥0，其Dyson-Pillips展开式为：

④

其中

级数④式在L(X)上一致收敛，其n阶余项为：

⑤

因此，Cauchy问题

⑥

按Hille-Yosida定理有唯一解ψ(t)=V(t)ψ0。但是，这样的解不是构造性的，从而不能从中了解其Cauchy问题解的大时间渐近行为等情况。所以，如果要获得Cauchy问题具构造性的解，必须要了解算子A或半群(V(t))t≥0的谱分析等，从而可以获得其解的大时间渐近行为等结果。文献[9]的主要结果是：

引理1.1[9]设Q是一个复多项式，且有Q(0)=0和Q(1)≠0,若(λ-T)-1Q(Bλ)在Rω={λ∈C∶Reλ≥ω}上是紧的，则σ(A)∩{λ∈C∶Reλ≥ω} 是由至多可数个具有限代数重数的离散本征值组成。

引理1.2[9]假设(1)若存在整数m和ω>ω(U(t))，使得∀λ∶Reλ≥ω(U(t))，算子[(λ-T)-1K]m是紧的；

‖V(t)(I-P)‖≤Me(Reλn+1+ε)t，∀t>0。

其中P=P1+P2+…+Pn是相应于紧集{λ1,λ2,…,λn}的谱投影。

本文主要是根据引理1.2来研究种群细胞中具一般边界条件下的Rotenberg型迁移方程的初边值问题①解的大时间渐近行为等。

1 预备知识

设

分别为按范数

构成的Banach空间。令Yp=Lp(J,vdv)为迹空间，其范数为

引进边界空间和范数分别为

Xi=Lp(Γi,vdv),i=1,2; Γ1={(0,v)∶v∈[a,b]}; Γ2={(1,v)∶v∈[a,b]}。

引理2.1[3]若ψ∈W，则ψ1∈X1的充要条件为ψ2∈X2.其中

ψ1=ψ|Γ1=ψ(0,v), ψ2=ψ|Γ2=ψ(1,v)。

定义Streaming(即胞质环流)算子T和碰撞算子K及迁移算子A如下：

A=T+K, D(A)=D(T)。

其中σ(.,.)∈L∞(Ω)，边界算子H为：

H=H1+H2∶X2→X1。

其中

令σ0=essinf{σ(u,v)|(u,v)∈Ω}, 则对φ∈Xp,ψ∈D(T), ∀Reλ>-σ0,方程

(λ-T)ψ=φ。

⑦

可解为：

⑧

取u=1,则⑧式为：

⑨

根据⑧式和⑨式引入如下算子：

则由Holder不等式知：∀Reλ>-σ0,算子Pλ，Qλ,Dλ和Eλ是有界正的，详情可见文献[5],且

⑩

所以⑨式和⑧式分别为：

ψ2=PλHψ2+Dλφ。

ψ=QλHψ2+Eλφ。

令

则当Reλ>λ0时，有

‖PλH‖<1。

从而算子(I-PλH)-1存在，所以

ψ2=(I-PλH)-1Dλφ。

ψ=QλH(I-PλH)-1Dλφ+Eλφ。

即：

假设(O1)：碰撞算子K是有界正的；边界算子H=H1+H2, Hi≥0(i=1,2),H1是有界的；若1

(O2)：算子K在空间Xp上是正则的[5].根据文献[13,Proposition 2.1(ii)]，可不妨设K为Xp上的秩1算子。

2 主要结果

定理3.1 假设(O1)-(O2)被满足，则∀λ∈C∶Reλ>λ0，算子(λ-T)-1K在空间Xp(1

令ε>0，对Reλ>λ0+ε,由⑩式和式知：

所以，算子‖(λ-T)-1K‖在{λ∈C∶Reλ>λ0+ε}上一致连续领带于算子K。根据假设(O2)，可设K具有核形式：

k(u,v)=k1(u)k2(v); k1(·)∈Lp([a,b]), k2(·)∈Lq([a,b])。

=JλUλφ。

其中

设D1为空间Xp的一个有界集，取φ∈D1，则对所有可测集E⊂Ω，由Horder不等式知：

定理3.2 假设(O1)-(O2)被满足，则(1)σ(A)∩{λ∈C∶Reλ>λ0}是由至多可数个具有限代数重数的离散本征值组成；

(2)对ω>0，设σ(A)∩{λ∈C∶Reλ>λ0+ω}={λ1,λ2,…,λn，令

β1=sup{Reλ,λ∈σ(A),Reλ<λ0+ω}； β2=min{Reλj∶1≤j≤n}。

显然β1<β2,取β*∈(β1，β2)，ψ0∈D(A)，则Cauchy问题(1.6)的解ψ(t)满足：

其中

Pi和Di分别表示相应于本征值λi(i=1,2,…,n)的谱投影和幂零算子。

证明 (1)由定理3.1知：[(λ-T)-1K]2是空间Xp上的紧算子。设Q(X)=aX2(a≠0)是一个复多项式，则∀ω>λ0，算子(λ-T)-1Q(Bλ)在{λ∈C∶Reλ≥ω}上是紧的，根据引理1.1即知本定理(1)成立；

(2)由本定理(1)和文献[9,Proposition 2.1]即知本定理(2)成立。从而本定理成立。

由文献[3]知：Streaming算子T在空间Xp上产生一个正C0半群(U(t))t≥0，其Dyson-Pillips展开式为④式和n阶余项为⑤式。

定理3.3 假设(O1)-(O2)被满足，则∀ε>0，存在M>0，使得

‖V(t)(I-P)‖≤Me(Reλn+1+ε)t,∀t>0。

证明 设ω>λ0，则由文献[13,Th2.2(ii)]，存在C(ω)，使得|Imλ|‖(λ-T)-1K‖在△ω={λ∈C∶Reλ≥ω,|Imλ|≥C(ω)}上是有界的，另一方面，根据假设(O1)(O2),则由文献[10,Lemma 1.1]知：‖(λ-A)-1‖在{λ∈C∶Reλ≥λ0+ω,|Imλ|≥C(ω)}上是一致有界的，又因为

|Imλ|‖(λ-T)-1BλK(λ-A)-1‖

≤|Imλ|‖(λ-T)-1K‖2‖(λ-A)-1‖。

所以，|Imλ|‖(λ-T)-1BλK(λ-A)-1‖在△ω上是有界的。因此由引理1.2和定理3.2(1)即知本定理成立。

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Asymptotic Problem of Transport Equation Solution in Rotenberg Model with Generalized bounday condition

WANG Sheng-hua

(School of Mathematics & Computer Science, Shangrao Normal University,Shangrao Jiangxi 334001,China)

This paper is to research the Rotenberg model of cell populations with generalized boundary condition in Lp(1≤p<∞) space, it is to give that the asymptotic behaviour of the corresponding transport equation solution for this model, and so on.

rotenberg model; generalized bounday condition; transport equation; positive C0semigroup; asymptotic behaviour

O177.2

A

1004-2237(2015)06-0001-06

10.3969/j.issn.1004-2237.2015.06.001