一类具有生存/危险特征的生鲜品价格策略研究

王宪杰，黄佳伟，王淑云

(1．烟台大学数学与信息科学学院，山东 烟台 264005；2.烟台大学经济管理学院，山东 烟台 264005)



一类具有生存/危险特征的生鲜品价格策略研究

王宪杰1，黄佳伟1，王淑云2

(1．烟台大学数学与信息科学学院，山东 烟台 264005；2.烟台大学经济管理学院，山东 烟台 264005)

研究了一个周期内零售商对一种易变质生鲜品的订购和价格决策问题。引入价格转折点概念，变质率具有三参数生存/危险特征的Weibull分布，需求率依赖于变质率和价格，建立利润最大化的目标函数，将求解最优价格的问题转化为带有控制的Bolza问题，得到最优价格表达式。通过算例，研究了价格敏感度和价格转折点变化对利润的影响，进一步给出了灵敏度分析和价格弹性分析；对于生鲜品，随着时间的推移，销售价格越来越低；对销售价格敏感的顾客，销售量随着价格转折点的滞后而降低，但在整个销售阶段的1/2到3/5附近进行价格调整有助于增加利润。

易变质生鲜品；价格转折点；生存/危险特征

1 引言

近年来，随着生活节奏的加快和商品时效性的加强，冷链品的库存研究日益受到重视。早在1963年，Ghare和Schrsder[1]研究了关于易过时品在固定需求下的库存模型，并给出了生鲜品库存模型：dI(t)/dt=-θI(t)-D(t)，为今后的生鲜品库存策略研究奠定了基础。但实际中，需求率往往是变化的，尤其是对生鲜食品而言。Dave和Patel[2]，Sachan[3]假设需求率是随时间和变质率变化的线性函数，研究了在有限补货期内如何得到最优补货量的问题，并在瞬时补货的前提下找到了最优补货量。刘玲和陈淮莉[4]为生鲜品厂商通过双渠道销售生鲜产品提供了理论支撑，并针对具体的实例给出了最优的销售价格和最优的产量。上述研究中假设条件相对严格，缺乏动态性。如今随着生活节奏的加快，无论线上还是线下的销售都受价格变化的影响很大。因此，考虑价格对供应链整体的影响时，价格波动就尤为重要。

Shah[5]针对变质率问题，提出了两参数Weibull分布函数并将其应用于生鲜品的库存模型，使生鲜品变质率研究更加精确，但由于假设商品入库后即刻变质，而忽视了生鲜品变质发生的滞后性。王道平等[6]在变质率服从两参数Weibull分布情形下，研究了生鲜品的库存优化问题。Yang Huiling[7]建立了变质率服从三参数Weibull分布的两仓库易腐产品库存模型，模型中允许部分延迟交货且考虑通货膨胀对库存的影响，证明了最佳库存策略的存在性和唯一性。螃蟹等鲜活产品在进入零售后的一段时间内不会发生显著变质，且保质期具有不确定性。因此，引入一种具有变质始点的三参数生存/危险Weibull分布函数来拟合生鲜品的变质率。Weibull分布作为刻画生存/危险特征的一种有效分布函数，广泛应用于易腐品的变质及销售寿命等数学模型中[5-8]。

冯颖等[9]研究了随机需求下易变质产品的订购和定价策略，给出易变质产品最优订购与定价策略的求解方法，但在处理需求率的随机变化时，缺少变质程度对需求率的影响。陈晓旭等[10]针对第三方物流参与的三级冷链系统库存问题进行研究，对比了分散决策与集中决策下系统利润，发现仅仅依赖集中决策的方式无法真正实现供应链系统的协调。熊峰等[12]针对生鲜农产品供应链中产品价格、盟员关系不稳定的现象进行了研究，并对传统的关系契约进行了改进，保障了供应链系统的利润，但没有考虑价格变化对需求的影响。Roy和Chaudhuri[12]把需求函数进一步扩展到依赖于价格和库存量的多元函数，对于生鲜品而言，变质程度对需求率的影响比库存量的影响更大。慕银平和刘利明[13]分析了在供应链系统中，当市场价格大幅波动时，企业通过价格柔性策略来保障供应链系统各主体的利润。李琳和范体军[14]研究了农产品实时价值损耗信息下零售商的定价与订购策略，其结果显示灵活的定价策略有助于零售商获取更大的市场需求量及更大的收益。王宪杰[15]在不允许缺货的库存模型中，将总费用对采购量与采购周期的局部弹性应用到库存管理弹性控制[16]。

生鲜海产品是一类特殊的易变质产品，与牛奶、罐头等具有固定生命周期的易变质品不同，更具有随机的生命周期，并且会受到销售情况的影响。所以，实际销售中，往往会根据产品的新鲜度，做出价格调整，何时进行价格调整以获得最优利润就显得非常重要。吴忠和等[17]研究了针对生鲜品供应链对突发事件的系统协调问题，研究表明在零售商期望成本的范围内，价格和生产计划具有一定的鲁棒性，适当的扰动是可以接受的。段永瑞[18]研究了需求依赖于价格的两类顾客定价和订购联合决策问题，讨论了区别定价对利润的影响。上述论文中，模型中虽然考虑了变质率，通常将其假设为常数且分别考虑需求和变质对库存管理的影响，缺少它们之间的相互作用与影响。

在考虑变质库存模型同时，本文进一步把对生鲜品需求的扰动具体到变质率和价格，通过价格转折点的变化，以动态定价实现利润最大化。以生鲜海产品为例，建立价格受变质率影响且需求受价格影响的库存模型，变质率具有生存/危险特征及动态性，引入价格转折点的概念并通过价格调整协调系统利润。在算例分析中运用了价格弹性的相关理论，使所得结论更具实用性。

2 模型建立

2.1 问题描述

随着时间的推移，生鲜品变质的程度会逐渐加重，这将对生鲜品的品相和质量产生显著影响，进而会导致需求率的变化。因此我们将变质率用具有生存/危险特征的三参数Weibull函数来表示，需求率依赖于变质率和价格。在不影响食用的情况下，零售商会择机采取降价策略以提高销售量来保证足够的利润。鉴于此，本文以一个周期T为例，采用周期盘点的(T，Q)库存策略，以利润最大化为目标，建立库存模型，进一步利用带有控制输入的Bolza问题求解方法，求解出最优价格策略。

2.2 模型假设

1)零售商处的顾客需求率是连续的、依赖于价格的函数；

2)系统不允许缺货，不考虑提前期；

3)生鲜品入库后经过一段时间才发生变质(不同的生鲜品发生变质的始点不同)；

4)变质率为时间的函数，本文中引入Weibull生存/危险函数体现时变变质率；

5)在固定的周期内，只考虑一种生鲜品；

6)持有成本是针对完好生鲜品(即未发生变质的生鲜品)的库存成本；

7)当变质程度达到θ1水平时，零售商采取降价措施，此时生鲜品仍具有使用价值；当变质程度达到θ2水平时，产品完全失去使用价值。

2.3 参数表示

d(p,t) 依赖于价格的需求函数d(p,t)=(a-bp(t))；

a,b a表示最大的需求率，b表示顾客对价格的敏感程度；

p(t) 生鲜品的单位价格，本文分了两个阶段，分别用p1、p2表示；

θ 指变质的程度，本文中的两个临界值分别用θ1、θ2表示；

t 生鲜品在库存中存在的时间，t>0；

f(t) 生鲜品的三参数密度函数，f(t)=αβ(t-γ)β-1e-α(t-γ)β，其中α尺度参数(α>0)，β形状参数(1<β<2),γ位置参数(γ>0)；

F(t) f(t)的分布函数，F(t)=1-e-α(t-γ)β；

R(t) 生鲜品的生存函数， R(t)=P(T>t)=1-F(t)；

I(t) t时刻的库存水平，t>0；

T 整个的补货间隔期；

Q 期初补货量；

S 订购成本；

h 零售商的单位库存持有成本；

c1零售商的单位订购成本；

c2零售商的单位变质成本。

2.4 数学模型

将一个补货周期作为研究周期，称为第一个周期，同时模型适应于任意周期，在第一个周期上建立库存时间坐标系。在初始时刻假定系统的库存水平为Q(即整个系统的补货量为Q)，在需求率和变质率的双重作用下库存水平逐渐下降。在t1时刻，由于变质率对生鲜品的品相影响，所以采取降价措施，称时刻t1为价格转折点。在t2时刻，变质率已经影响了生鲜品的质量，剩余库存为变质损失，库存水平变化如图1所示。假设不存在缺货且在周期末T时刻，库存水平降到零。至此，一个周期结束。

图1 库存水平随时间变化趋势

我们以价格转折点为分界点，将一个补货周期分为[0,t1]和[t1,T]两个阶段，则库存水平分别满足：

(1)

(2)

求解微分方程式(1)、(2)得：

(3)

(4)

由于价格转折点处I1(t)=I2(t)，利用泰勒展开得：

(5)

根据系统收益、库存成本、采购成本和变质成本的定义及计算方法，结合式(3)、式(4)和式(5)得：

在[0,T]时间内，总收益为：

(6)

总库存成本为：

(7)

总采购成本为：

OD=Qc1,

(8)

总变质成本为：

(9)

所以，总利润为：

(10)

鉴于价格函数p(t)的连续性，由式(1)、式(2)、式(6)及令CO=OD+SC+S，得到利润最大化的最优控制问题：

(11)

(12)

在整个补货周期T中，随着时间的推移，生鲜品的变质程度会逐渐增大，因此，不仅失去使用价值，还要支付额外处理费用。当变质程度达到θ2水平时，产品完全失去使用价值，这个时间点 t2是固定的。因此销售周期在T≤t2前提下，T越短愈好。

假设2：销售价格p(t)不低于生鲜品的进价c1，因此将p(t)≡c1代入价格转折点式(5)得：

(13)

对于式(11)、式(12)描述的具有约束条件的变分问题，为了避免讨论δI(t)通过状态方程受δp(t)的限制问题，引入待定乘子函数λ(t)，构造如下的哈密尔顿函数：

(P1)的哈密尔顿函数为：

H(t,I,p,λ)=p(t)d(p(t))-hI(t)+λ(t)[-θ(t)I(t)-d(p(t))]

(14)

则取得极值的必要条件为状态方程和协态方程满足：

(15)

(16)

令p*(t)为最优销售价格，则p*(t)满足：

(17)

3 模型求解

令：t1=xT,则：

(18)

NP(p1,p2)关于p1和p2的一阶偏导数分别为：

(19)

(20)

NP(p1,p2)关于p1和p2的Hessian矩阵为：

(21)

(22)

(23)

(24)

不同的生鲜品利润目标NP(p1,p2,x)不同，再此无需给出抽象目标函数的价格转折点。当利润目标确定后，容易给出价格转折点的x解析表达式，下面通过算例分析x,p1,p2变化对利润函数NP(p1,p2,x)的影响。

4 算例分析

为了更好地说明数学模型的理论指导性，本文通过具体算例进行分析和计算，所涉及的参数值如下[12]：周期T=30，a=400，采购成本c1=100，生鲜品的单位库存持有成本h=20，生鲜品的单位变质成本c2=40，订购成本S=10，尺度参数α=0.01，形状参数β=1.5，位置参数γ=2，变质率的临界值θ2=0.08。

引入x(x∈[0,1])，令xT=t1，通过x的变化来体现价格转折点变化，如果x=0则表示立即打折销售，即按照价格p2销售，使用式(2)的微分方程。如果x=1则表示不进行打折销售，即按照价格p1销售，使用式(1)的微分方程。同时，考虑如下两种顾客，一种是需求受价格影响比较大的顾客，称为敏感性顾客；另一种需求受价格影响不大的顾客，称为不敏感顾客。算例中讨论x∈(0,1)，b∈[0,15]的情况。

根据上述算例，利用Matlab进行数据处理，当x与b变化时，最优价格p1,p2的变化、补货量以及利润的变化趋势，如图2、图3和图4。

图2 价格p1和p2随敏感系数b和折扣点x的变化趋势

由图2知，此时p2

图3 补货量Q随敏感系数b和折扣点x变化趋势

由图3知，对于价格不敏感的顾客，补货量的多少与何时调整价格关系不大；相反对于价格敏感的顾客，价格的转折点越滞后，那么补货量是逐渐降低的。因此，在实际生产中，对价格敏感顾客，及时的进行价格调整可以保证足够的销售量。

图4 利润NP随敏感系数和折扣点x的变化趋势

由图4知，利润NP是关于敏感系数b的增函数，当需求量受价格影响明显时，零售商的利润相对越高。针对本节算例中提出的相关参数，当x在0.6附近时，进行价格调整，会获得较高的利润。因此，如果需求受价格影响明显，就需要适时进行价格调整以增大收益。

5 结语

本文以利润最大化为目标，研究了需求率依赖于变质率和价格，变质率为具有三参数生存/危险特征的Weibull分布的一类生鲜品库存策略，并通过协调价格转折点提高系统利润。论文对构建的数学模型进行了求解，并通过算例给出了合适的价格转折点时间。算例分析说明，对于生鲜品，随着时间的推移，销售的价格越来越低，对销售价格敏感的顾客，销售量随着价格转折点的滞后而降低，但在整个销售阶段的1/2到3/5附近调整价格有助于增加利润，对零售商的销售策略有较好的指导意义。

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Pricing Policy for a Class of Fresh Goods with Survival and Hazard Characteristics

WANG Xian-jie1，HUANG Jia-wei1，WANG Shu-yun2

(1.School of Mathematics and Information Sciences, Yantai University, Yantai 264005, China;2.School of Economics and Management, Yantai University,Yantai 264005, China)

In recent years, the supply chain of cold chain has become increasingly frequent and the fresh product occupies an important proportion. Fresh product is a special kind of perishable commodity, which has a random life cycle and can be influenced by sales. So, retailers tend to make price adjustments based on the freshness of the product. The time of changing price is particularly important. In the case of no effect on normal consumption, the retail will take the price strategy to ensure sufficient profit.The ordering and pricing decision problem with a class of perishable fresh goods for the retailer is studied in one cycle, and the concept of price change point is introduced. The deterioration rate is represented by the three-parameter Weibull distribution, and the demand rate is the function of deterioration rate and the price together. The function of profit maximization is established. Solving the price function can be converted to a controllable Bolza problem which will get the optimal price representation. Through the example, the effect of price sensitivity and price turning point on the profit is studied. Further the sensitivity analysis and the price elasticity are analyzed. It shows that with the time elapsed, the sale price of fresh goods is more and more low; the more sensitive of the customers on price, the backer of the price turning point meanwhilethe price adjustment in the entire sales phase of the 1/2 to the 3/5 near to help increase profits.

fresh perishable goods; price turning point; survival/hazard characteristics

2015-05-20；

2015-12-19

国家自然科学基金资助项目(71672166,71372122)；山东省研究生教育创新计划资助项目(SDYY13060)

简介：王淑云(1965-)，女(汉族)，山东栖霞人，烟台大学经济管理学院教授，河北工业大学经济管理学院博士生导师，研究方向：物流与供应链管理，E-mail：jgwsy@ytu.edu.cn.

F274

A

1003-207(2016)09-0133-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.09.016