例析圆锥曲线的焦点问题

2016-12-26赵春祥

高中生学习·高三版 2016年12期

赵春祥

焦半径问题

我们把连接圆锥曲线的焦点与曲线上任意一点的连线段称为它们的焦半径. 根据圆锥曲线的统一定义，很容易推导出圆锥曲线的焦半径公式. 下面是用得较多的焦半径公式：（1）对于椭圆[x2a2]+[y2b2]= 1 （[a>b>0]），[|PF1|=a+ex0]，[|PF2|=a-ex0]. （2）对于双曲线[x2a2]-[y2b2]=1[（a>0，b>0）]，[|PF1|=ex0+a]，[|PF2|=ex0-a]. （3）对于抛物线[y2=2px（p>0）]，[|PF|=x0+p2].

以上各式中，[P（x0，y0）]是曲线上的一点，[F1]，[F2]分别是椭圆、双曲线的左、右焦点，[F]是抛物线的焦点.在这里特别强调的是：随着曲线方程的不同，焦半径公式也各不相同.利用焦半径解决问题，简单明了，它在圆锥曲线中的魅力绝不亚于半径在圆中的魅力.

例1 如图，已知梯形[ABCD]中，[|AB|=2|CD|]，点[E]分有向线段[AC]所成的比为[λ]，双曲线过[C，D，E]三点，且以[A，B]为焦点，当[23]≤[λ]≤[34]时，求双曲线离心率[e]的取值范围.

解析以直线[AB]为[x]轴，线段[AB]的垂直平分线为[y]轴，建立直角坐标系，则[CD⊥y]轴.

因为双曲线经过点[C，D]，且以[A，B]为焦点，由双曲线的对称性可知，[C，D]关于[y]轴对称.

设双曲线的焦距为[2c]，则[A，B，C]三点的横坐标分别为[-c， c， c2]. 由题意得，点[E]的横坐标为[xE=-c + λ2c1 +λ ].

由双曲线焦半径公式得，

[|AE|=-（exE+a）=][ec 1 +λ ]-[λec 2（1 +λ） -a]，

[|BC|=exc-a=ec 2 -a].

而[AC]与[AE]同号，从而[|AC||AE|]=[ACAE]=[1 + λλ].

∴[|AC|=1 + λλ]·[|AE|]

[=1 + λλ?][[ec 1 +λ -][λec 2（1 +λ） -a]]=[ec λ ]-[ec 2 ]-[1 + λλa.]

由双曲线的定义得，[|AC|-|BC|=2a]，

即（[ec λ ]-[ec 2 ]-[1 + λλa]）-[（ec 2 -a）=2a].

两边同除以[a]，并化简整理得，[（1 λ-1）e2]=[2+1 λ].

∴[e2=2λ + 11 - λ]=[-2+31 - λ].

[∵23][≤λ≤34]，[∴3≤11 - λ]≤4.

∴[7]≤[e]≤[10]. 故所求双曲线离心率[e]的取值范围是[[7]，[10]].

点评凡是遇到双曲线上的点到双曲线焦点的距离问题，可考虑使用焦半径公式来处理.

焦点三角形问题

椭圆或双曲线上的一点与两个焦点[F1]，[F2]所成的三角形，常称之为焦点三角形. 解焦点三角形问题经常使用三角形的边角关系定理.解题中，通过变形，使之出现[|PF1|+|PF2|]，这样便于运用椭圆或双曲线的定义得到[a，c]的关系，从而打开解题思路.

例2 椭圆[x2a2]+[y2b2=1（a>b>0）]与双曲线[x2m2]-[y2n2]=1[（m>n>0）]有公共焦点[F1]，[F2]，点[P]是它们的一个公共点，设[∠F1PF2=α].

（1）用[b]和[n]表示[cosα]；

（2）求[△F1PF2]的面积[S]（用[b]，[n]表示）.

解析（1）在[△F1PF2]中，

[|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cosα]，

∵点[P]既在椭圆上，也在双曲线上，

∴[|PF1|+|PF2|=2a]，[|PF1|-|PF2|=2m].

∴[4c2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1|?|PF2|（1+cosα）]

[=4a2-2|PF1|?|PF2|（1+cosα）]，

[4c2=（|PF1|-|PF2|）2+2|PF1|?|PF2|（1-cosα）]

[=4m2+2|PF1|?|PF2|（1-cosα）].

∴[|PF1|?|PF2|=2b21+cosα]=[2n21-cosα].

∴[cosα]=[b2-n2b2+n2].

（2）由（1）得，

[|PF1|?|PF2|=2b21+cosα]=[2b21+b2-n2b2+n2]=[b2]+[n2].

而sin[α]=[1-cos2α]=[2bnb2+n2]，

∴[SΔ P F 1 F2]=[12|PF1|?|PF2|]·sin[α=bn].

点评在椭圆和双曲线中，涉及焦点三角形时，要根据其定义对式子进行配方，椭圆中要配出[|PF1|+|PF2|]，双曲线中则要配出[|PF1|-|PF2|]，这样才能回到圆锥曲线的定义把问题转化.

焦点弦问题

过焦点的直线与圆锥曲线相交，两个交点的线段叫焦点弦，与焦点弦有关的圆锥曲线问题常用定义（特别是第二定义中的焦半径公式）将问题转化.

（1）如果弦[MN]过椭圆的焦点[F1]，设[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，则[|MN|=a+ex1+a+ex2=2a+e（ x1+x2）].

（2）求双曲线焦点弦长时，对双曲线应区分不同情况处理.①如果两个交点分别在左、右两支上，则[|AB|=|BF1|-|AF1|]；（见图一）②如果两个交点在同一支上，则[|AB|=|AF1|+|BF1|].（见图二）

[图一图二]

（3）如果抛物线上两点[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]与焦点[F（p2，0）]共线，则[|MN|=x1+x2+p].

例3 设椭圆方程为[x2a2]+[y2b2]= 1[（a>b>0）]，动点[P]为过椭圆焦点[F（c，0）]的一条弦[M1M2]的中点，求动点[P]的轨迹.

解析设[M1M2]的方程为[y=k（x-c）]，

∵[P（x，y）]是弦的中点，∴[x=x1+ x22].

则[y = k（x-c）， ①b2x2 + a2y2 = a2b2 . ②]

联立[①]②得，[（a2k2][+b2）x2][-2a2k2cx][+a2（k2c2-b2）=0.]

由韦达定理可得，[x1+ x2=2a2k2ca2k2 + b2].

∴[x=a2k2ca2k2 + b2].③

∵[P]在直线[y=k（x-c）]上，

∴[y=k（a2k2ca2k2 + b2-c）][=-b2kca2k2 + b2].④

联立③④消去参数[k]得，[b2x2]-[b2cx+a2y2]=0.

配方整理可得，

[（x - c2）2（c2）2]+[y2（bc2a）2]= 1. ⑤

当[M1M2]垂直于[x]轴时，其中点是[F（c，0）]，适合方程⑤.

∴过椭圆焦点的诸弦中点的轨迹是椭圆.

点评椭圆过焦点的诸弦中点轨迹还是一个椭圆，中心在（[c2]，0），长半轴长为[c2]，短半轴长为[bc2a]，离心率[e]=[（c2）2 - （bc2a）2c2]=[ca]，它的离心率恰与原椭圆的离心率[ca]相等. 双曲线过焦点的诸弦中点轨迹还是双曲线；抛物线的过焦点的诸弦中点轨迹还是抛物线，可以用类似处理椭圆的方法得到证明.

例4 已知圆[M：（x+2）2+y2]=[254]，圆[N：（x-2）2][+y2]=[14]，动圆[P]与圆[M，N]均外切.

（1）求动圆[P]的圆心的轨迹[C]的方程；

（2）延长[PN]，与曲线[C]交于另一点[Q]，求[|PQ|]的范围.

解析（1）设动圆[P]的半径为[r]，依题意得，[|PM|=r+52]，[|PN|=r-12]，则[|PM|-|PN|=2].

∴点[P]的轨迹是以[M，N]为焦点，实轴长为2的双曲线的右支.

∴曲线[C]的方程为[x2-y23=1（x≥1）] .

（2）①当[PQ]的斜率不存在时，易求得，[|PQ|=6].

②当[PQ]的斜率存在时，设[PQ]的方程为[y=k（x-2）]，代入双曲线方程得，

[（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0].

∵[PQ]与双曲线右支交于两点，

∴[3-k2≠0，（4k2）2-4（3-k2）（-4k2-3）>0，4k2k2-3>0，4k2+3k2-3>0.]

[∴k2>3].