第二讲方程与不等式

文/王宗俊

第二讲方程与不等式

文/王宗俊

方程与不等式是初中数学的基础知识，它们的应用十分广泛.方程（组）或不等式（组）的实际应用是命题的重点.现以2015年中考试题为例，把方程与不等式的常考内容归纳如下，供你复习时参考.

考点1利用方程（组）解的概念解题

例1（1）（2015年常州卷）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是.

（2）（2015年兰州卷）若一元二次方程ax2-bx-2015=0有一根为x=-1，则a+b=．

（2）把x=-1代入ax2-bx-2015=0得a+b-2015=0，即a+b=2015．填2015．

温馨小提示：运用根的概念解题时，要灵活运用“若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则的结论.

考点2解方程（组）

①+②×2得7x=7，即x=1，

（2）方程两边同乘以（x垣3）（x原3），得x2-5x+6-3x-9=x2-9，

温馨小提示：解二元一次方程组是送分题，解方程组的根本方法是消元.解分式方程的步骤：①去分母，把分式方程化成整式方程；②求出整式方程的解；③检验；④结论.解分式方程一定要验根.

考点3一元二次方程的判别式及根与系数的关系

（2）（2015年十堰卷）已知关于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2+2=0．

①若方程有实数根，求实数m的取值范围；

②若方程两实数根分别为x1、x2，且满足求实数m的值．

（2）①∵关于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2+2=0有实数根，

∴Δ≥0，即（2m+3）2-4（m2+2）≥0，∴m≥-．

即（2m+3）2-2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=-14（舍去），∴m=2．

温馨小提示：求一元二次方程字母系数的取值范围通常需要利用根的判别式，注意二次项系数不为0.利用根与系数的关系求字母的值，需要解方程，字母的值一定要满足判别式大于或等于零，不满足的要舍去.

考点4方程（组）的应用

例4（2015年连云港卷）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．

（1）求每张门票的原定票价；

（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．

解析：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张团体门票的票价为（x-80）元，根据题意得解得x=400．

经检验，x=400是原方程的根．

答：每张门票的原定票价为400元．

（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得400（1-y）2=324，

解得y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）．

答：平均每次降价10%．

温馨小提示：方程（组）的应用是中考命题的重点.解题的关键是寻找等量关系.要检验方程的解是否符合实际情况，对于分式方程，要检验是否为增根.

考点5不等式的性质

例5（2015年乐山卷）下列说法不一定成立的是（）．

A.若a＞b，则a+c＞b+cB.若a+c＞b+c，则a＞b

C.若a＞b，则ac2＞bc2D.若ac2＞bc2，则a＞b

解析：只有选项C不一定成立．因为当c=0时，若a＞b，ac2越bc2．选C．

温馨小提示：要注意不等式性质中“同”“都”等关键词，当两边同除以负数时，不等号要改变方向.另外“0”是一个特殊的数，以防掉进“0”的陷阱.

考点6不等式（组）的解集

解：由①得，x＜2，由②得，x≥-2，故不等式组的解集为：-2≤x＜2．

温馨小提示：在数轴上表示不等式的解集时，解集包含这个数用实点，不包含时用虚点，去分母时，不要漏乘不含分母的项.

考点7确定字母的取值范围

例7（2015年恩施卷）关于x的不等式组｛3x-1＞4（x-1），的解集为x＜3，那么m的取值范x＜m围为（）．

A.m=3B.m＞3C.m＜3D.m≥3

温馨小提示：解一元一次不等式组时，先分别求出每个不等式的解集，再借助数轴找出它们的公共部分，即确定出不等式组的解集，进而求出字母系数的取值范围.

考点8不等式的应用

例8（2015年东营卷）东营市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，车费为15.5元，那么x的最大值是（）．

A.11B.8C.7D.5

解析：设甲地到乙地的路程是x千米，依题意，得

8+1.5（x-3）≤15.5，解得x≤8．选B．

温馨小提示：列出不等式是解题的关键.

考点9不等式与方程的联合应用

例9（2015年眉山卷）某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元．求：

①购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？

②工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元，则工会最多可以购买多少支钢笔？

解析：①设一支钢笔需x元，一本笔记本需y元．

②设购买钢笔的数量为m，则笔记本的数量为80-m，由题意得

16m+10（80-m）≤1100，解得m≤50．

答：最多可购买50支钢笔.

温馨小提示：注意利用“少”“没满”“少于”“不超过”等关键词语列不等式.

责任编辑：王二喜