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第一讲数与式

2016-12-23邓革周

初中生 2016年15期
关键词:小提示根式代数式

文/邓革周

第一讲数与式

文/邓革周

数与式是初中数学的基础知识,它包括实数的有关概念和运算、代数式、整式、因式分解、分式及二次根式等.在中考试卷中,该内容所占的分值为18%左右.现以2015年中考数学试卷为例,将数与式的常考知识点归纳如下,供你复习时参考.

考点1正、负数及其应用

例1(1)(2015年广州卷)四个数-3.14,0,1,2中为负数的是().

A.-3.14B.0C.1D.2

(2)(2015年南通卷)如果水位升高6m时,水位变化记作+6m,那么水位下降6m时,水位变化记作().

A.+3mB.-3mC.+6mD.-6m

解析:(1)选A.

(2)因为上升记为“+”,所以下降记为“-”,水位下降6m记作-6m.选D.

温馨小提示:大于0的数是正数,小于0的数是负数,0既不是正数,也不是负数.在一对具有相反意义的量中,规定了其中一个量为正,则另外一个量为负.

考点2实数的概念及分类

A.4B.2C.1D.3

考点3相反数、倒数和绝对值

例3(1)(2015年咸宁卷)-6的倒数是.

(2)(2015年菏泽卷)如图1,四个有理数在数轴上的对应点M,P,N,Q,若点M,N表示的有理数互为相反数,则图中表示绝对值最小的数的点是().

A.点MB.点N

C.点PD.点Q

图1

图2

(2)如图2,∵点M袁N表示的有理数互为相反数,

∴原点的位置大约在O点,

∴绝对值最小的数的点是P点.选C.

考点4科学记数法

例4(1)(2015年长沙卷)2014年,长沙地铁2号线的开通运营,极大地缓解了城市中心的交通压力,为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑,据统计,长沙地铁2号线每天承载人数约为185000人次,则数据185000用科学记数法表示为().

A.1.85×105B.1.85×104C.1.8×105D.18.5×104

(2)(2015年攀枝花卷)已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3,则用科学记数法表示该数为().

A.1.239×10-3g/cm3B.1.239×10-2g/cm3

C.0.1239×10-2g/cm3D.12.39×10-4g/cm3

解析:(1)185000=1.85×105.选A.

(2)0.001239=1.239×10-3.选A.

温馨小提示:科学记数法是将一个数写成a伊10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.(1)当原数的绝对值大于或等于1时,n等于原数的整数位数减1;(2)当原数的绝对值小于1时,n是负整数,n等于原数中左起第一位非零数字前面0的个数(含小数点前的0).另外,如果所给数含有万、亿这样的数字单位,应先将数还原,再用科学记数法表示.1万越1×104,1亿越1×108.

考点5平方根、算术平方根、立方根

(2)(2015年安徽卷)-64的立方根是.

(2)因为(-4)3=-64,所以-64的立方根是-4.

温馨小提示:解答与平方根、立方根有关的问题时,应注意符号,不要出现如下错误:①27的立方根是±3;②=±8;③的平方根是±9.

考点6实数的大小比较(范围估算)

例6(1)(2015年武汉卷)在实数-3,0,5,3中,最小的实数是().

A.-3B.0C.5D.3

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.a>c>b

A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间解析:(1)选A.

(2)将a袁b袁c变形后,根据分子相同,分母大的反而小即可得出结论.

即a>b>c.选A.

温馨小提示:实数大小的比较方法有:(1)法则比较:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.两个负数绝对值大的反而小.(2)数轴比较:在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数.(3)差值比较法:设a袁b是任意实数,则a-b>0⇔a跃b;a-b<0⇔a约b;a-b=0⇔a=b.除此之外,还有商值比较法、平方法、倒数法等.

考点7实数的运算

温馨小提示:实数的混合运算,要明确有关概念、性质、运算法则和运算律,熟练掌握运算顺序.实数运算常常与绝对值、锐角三角函数、二次根式、指数运算结合在一起考查.注意:可以得出

考点8列代数式与求代数式的值

例8(1)(2015年恩施卷)随着服装市场竞争日益激烈,某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a元后,再次降价20%,现售价为b元,则原售价为()元.

(2)(2015年娄底卷)已知a2+2a=1,则代数式2a2+4a-1的值为().

A.0B.1C.-1D.-2

解析:(1)设原售价是x元,由题意得(x-a)(1-20%)=b,解得x=a+b.选A.

(2)∵a2+2a=1,∴原式=2(a2+2a)-1=2-1=1.选B.

温馨小提示:当字母的值不能或不易求出时,要仔细观察所求代数式与已知条件之间的内在联系,对所求代数式或已知条件变形,使变形后的式子可以整体代入求值.

考点9整式的有关概念

例9(1)(2015年通辽卷)下列说法中,正确的是().

C.3ab2的系数是3aD.xy2的系数是

(2)(2015年遵义卷)如果单项式-xyb+1与xa-2y3是同类项,那么(a-b)2015=.

解析:(1)选D.

温馨小提示:把握同类项的两个“相同”和两个“无关”:所含字母相同,相同字母的指数相同;同类项与字母的顺序无关,与系数无关.

考点10幂的运算性质

例10(2015年桂林卷)下列计算正确的是().

A.(a5)2=a10B.x16÷x4=x4C.2a2+3a2=6a4D.b3·b3=2b3

解析:(a5)2=a10.选A.

温馨小提示:幂的运算性质及整式的运算是中考的必考知识点.正确理解幂的运算性质、乘法公式是解题的关键.注意避免出现a3·a5=a15,x16÷x4=x4,(x2)3=x5,(xy)2=xy2等错误.

考点11整式的化简与求值

例11(2015年长沙卷)先化简,再求值:(x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy,其中x=(3-仔)0,y=2.

解析:(x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy=x2-y2-x2-xy+2xy=xy-y2,

∵x=(3-仔)0=1,y=2,∴原式=2-4=-2.

温馨小提示:整式的化简与求值,常涉及单项式乘以单项式、平方差公式、完全平方公式以及整式的加减等.掌握乘法公式是解题的前提,用整体法求值常能减少运算量.

考点12与整式有关的规律探究性问题

例12(2015年山西卷)如图3是一组有规律的图案,它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成,第(1)个图案有4个三角形,第(2)个图案有7个三角形,第(3)个图案有10个三角形……依此规律,第n个图案有个三角形(用含n的代数式表示).

图3

解析:∵第(1)个图案有3+1=4个三角形,

第(2)个图案有3×2+1=7个三角形,

第(3)个图案有3×3+1=10个三角形,

……

∴第n个图案有3n+1个三角形.填3n+1.

温馨小提示:从简单的情形入手,随着序号或编号的增加,分析后一个图形与前一个图形的变化情况,找出变化规律,从而推出一般性结论.

考点13因式分解

例13(1)(2015年宁夏卷)因式分解:x3-xy2=.

(2)(2015年宜宾卷)把代数式3x3原12x2+12x分解因式,结果正确的是().

A.3x(x2-4x+4)B.3x(x-4)2C.3x(x+2)(x-2)D.3x(x-2)2

解析:(1)x3-xy2=x(x2-y2)=x(x-y)(x+y).

(2)先提公因式,再利用完全平方公式分解.

原式=3x(x2-4x+4)=3x(x-2)2.选D.

温馨小提示:因式分解的步骤是一提(提公因式)、二套(套公式)、三验(检验是否分解彻底).套公式时要注意:若是两项,一般用平方差公式;三项,一般用完全平方公式.

考点14分式有意义、无意义及分式的值为0的条件

A.x=-2B.x≠2C.x>2D.x≠-2

(2)由分式的值为0得x2-5x+6=0,2x-6≠0.

由x2-5x+6=0,得x=2或x=3,由2x-6≠0,得x≠3.∴x=2.

温馨小提示:(1)分式有意义的条件是分母不等于0.(2)分式无意义的条件是分母等于0.(3)分式的值为0的条件是分子为0,分母不为0.(4)分式为正数的条件是分子、分母同号.(5)分式为负数的条件是分子、分母异号.

考点15分式的化简与求值

∵a与2、3构成△ABC的三边,且a为整数,

∴1<a<5,即a=2,3,4,

当a=2或a=3时,原分式没有意义,则当a=4时,原式=1.

温馨小提示:正确化简分式是解题的关键.求代数式的值有直接代入求值和整体代入求值两种方法,解题要根据题目的条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的值必须使原各分式都有意义,且除数不能为0.如本题,a不能取2和3.

考点16二次根式的概念,二次根式的性质

A.m>原1B.m≥原1

C.m>原1且m≠1D.m≥原1且m≠1

A.1B.-1C.2a-3D.3-2a

(2)当1<a<2时,a-2<0,1-a<0,

温馨小提示:(1)确定被开方数中字母的取值范围,可根据式子有意义的条件a≥0,解不等式即可.当有两个二次根式,两个二次根式都要有意义;分母中有字母时,还要考虑分母不等于零.这些情况需列出不等式组求解.(2)在化简时,要先判断a的符号,再去根号,特别地,当a<0时,它等于原a,不是a.

考点17二次根式的计算

温馨小提示:在二次根式的运算或化简中,乘法公式、因式分解等法则、方法均可使用.

责任编辑:王二喜

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