品味“创新型”集合问题

2016-12-23四川省资阳市外国语实验学校641300蔡勇全

中学数学研究(广东) 2016年1期

四川省资阳市外国语实验学校(641300)蔡勇全

品味“创新型”集合问题

四川省资阳市外国语实验学校(641300)蔡勇全

“创新型”集合问题是近几年高考命题的热点,此类试题常常是以“新交汇”、“新定义”为背景,较好地考查了学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力,因而倍受命题者的青睐.本文在总结近几年全国各地高考试题或模拟试题的基础上介绍几种主要的“创新型”集合问题,旨在探索题型规律,揭示解题方法,供大家参考.

类型一、集合与合情推理

集合与合情推理“联姻”能命制出精彩的考题,而且多以元素与集合的关系、合情推理为交汇点,意在考查学生处理交汇性问题的能力、逻辑推理能力,此类题目的难度一般为中等或中等偏上.

例1(2014年高考福建卷理科第15题)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4}且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③ c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是___.

解析因为①正确,②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都不正确,则符合条件的有序数组为(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正确, ①②④都不正确,则符合条件的有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,①②③都不正确,则符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,符合条件的有序数组的个数是6.

评注此类题的易错点为:一是分类不严谨;二是审题不认真.解答本题时,若对“有且只有”这四个字不敏感,那么就不容易找到解题的突破口,因此,解题时,一定要认真审题,分类时要做到不重不漏,才不会陷入命题人设计的陷阱.

变式已知元素为实数的集合S满足下列条件:① 1,0∉S;②若a∈S,则

(1)若集合{2,−2}是S的真子集,求使元素个数最少的集合S;

(2)若非空集合S为有限集,则你对集合的元素个数有何猜想?并证明你的猜想正确.

(2)非空有限集S的元素个数是3的倍数.证明如下:

评注破解此类问题的突破口是:正确理解集合的有关概念,注意集合中元素的互异性,会用完全归纳推理方法判断集合中元素的所有可能取值,并注意分类与整合思想的运用.

类型二、集合与新定义

集合与新定义“交融”的考题,具有浓厚的时代气息,是一类难得一见的好题.此类试题常常以平面点集或数集、新定义(平面向量、函数、数列等)为交汇点,意在考查学生处理交汇性问题的能力、数形结合能力及运算求解能力,此类试题的难度一般为中等偏上,而且在客观题或主观题中均可能出现.

例2(2013年高考福建卷理科第10题)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(1)T={f(x)|x∈S};(2)对任意x1,x2∈S,当x1＜x2时,恒有f(x1)＜f(x2),那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )

A.A=N∗,B=N

B.A={x|−1≤x≤3},B={x|x=−8或0＜x≤10}

C.A={x|0＜x＜1},B=R

D.A=Z,B=Q

评注求解此类新定义的存在性问题的关键是:首先理清新定义的内涵;其次,针对选择题的特点,会利用特取法来实现快速智取,如本题,通过取特殊函数(注意此特殊函数应满足题设中的两个条件),就可较为容易地轻松破解此类难题.

变式设集合S={A0,A1,A2,A3,A4},在S上定义运算⊙:Ai⊙Aj=Ak,其中k=|i−j|,i=0,1,2,3,4,j=0,1,2,3,4,那么满足条件(Ai⊙Aj)⊙A2=A1(Ai∈S,Aj∈S)的有序数对(i,j)共有( )

A.12个 B.8个 C.6个 D.4个

解析因为(Ai⊙Aj)⊙A2=A1(Ai∈S,Aj∈S),所以Ai⊙Aj=A1或Ai⊙Aj=A3,因此|i−j|=1或|i−j|=3,满足i−j=1的有序数对(i,j)有4个,分别是(1,0),(2,1),(3,2),(4,3);满足j−i=1的有序数对(i,j)有4个,分别是(0,1),(1,2),(2,3),(3,4);满足i−j=3的有序数对(i,j)有2个,分别是(3,0),(4,1);满足j−i=3的有序数对(i,j)有2个,分别是(0,3),(1,4).综上,可得满足条件(Ai⊙Aj)⊙A2=A1(Ai∈S,Aj∈S)的有序数对(i,j)共有12个,故应选A.

评注定义新运算在集合考查中是一种新的命题背景,引进新的集合运算,可以考查学生接受新知识的能力和对集合语言的阅读理解能力.解决这类信息迁移题的基本方法是以旧带新,即把新定义的运算纳入到已有的集合运算体系之中,并用已有的解题方法来分析、解决问题.

类型三、集合与简易逻辑

集合与简易逻辑“牵手”的考题,是不落俗套的好题,多以集合的运算、集合间的关系、简易逻辑知识为交汇点,意在考查学生处理交汇性问题的能力以及逻辑推理能力,此类题目的难度一般为中等或中等偏下.

例3非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则( )

A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件

B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件

C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件

D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是必要条件

解析A∪B=C,且B不是A的子集,说明集合C≠A,又A⊆(A∪B),所以集合A⊆C,这说明集合A的元素都在集合C中,但集合C中的元素至少有一个不在集合A中,故应选B.

评注本题的难点主要是对集合之间关系的分析,两个集合的运算产生的集合同这两个集合之间存在着必然的包含关系,如A与B均为A∪B的子集,A∩B既是A的子集,也是B的子集等等,这些常识是分析判断参与运算的两个集合中的元素与运算所得的集合元素之间关系的依据,也是解决这类问题的关键.

变式1(2013年高考四川卷理科第4题)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集,若命题p:∀x∈A,2x∈B,则( )

A.¬p:∀x∈A,2x∉B

B.¬p:∀x∉A,2x∉B

C.¬p:∃x∉A,2x∈B

D.¬p:∃x∈A,2x∉B

解析命题p的含义是对任意x∈A,一定有2x∈B,则其否定或否定形式¬p的含义应是并非对任意x∈A,都有2x∈B,即存在x∈A,使2x∉B,故应选D.

变式2(2011年高考天津卷文科第4题)设集合A={x∈R|x−2＞0},集合B={x∈R|x＜0},C={x∈R|x(x−2)＞0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析因为A∪B={x∈R|x＜0或x＞2},C={x∈R|x＜0或x＞2},所以A∪B=C,x∈A∪B是x∈C的充分必要条件,故应选C.

评注破解此类问题的突破口是:既能对集合之间的包含关系应用明晰,又能用特殊值法来判断特称命题的真假,还能准确理解充分条件、必要条件及充要条件的含义,才能对其关系进行准确的判断.

类型四、集合与其他知识

这里的其他知识是指向量、复数或三角函数等,集合与这些知识“相约”,往往能产生不可多得的佳题,此类试题常常以集合为背景,注重考查向量、复数或三角函数的应用性功能,较好地体现了高考“在知识网络交汇处设计试题、注重学科的内在联系和知识的综合性”,这也是近年高考命题的新特点和大方向,此类题目的难度一般为中等.

例4已知集合M={→a|→a=(2λ+1,2+2λ),λ∈R},另有集合则M∩N中的元素的模为____.

解析由于两个集合的交集中的元素是指这两个集合中相同的元素,基于此,M∩N中的元素是指集合M与N中相等的向量,根据相等向量的定义,只需(2λ+1,2+2λ)=(3λ−2,3λ−1),即解得λ=3,所以M∩N={(7,8)},故M∩N中的元素的模为

评注解答本题的关键是对两个集合的交集中的元素的理解.

变式1已知i为虚数单位,则集合M={a∈R|(1−ai)2为纯虚数}中元素的个数是___.

解析集合M中的元素是指字母a的取值,而字母a的取值又受制于“(1−ai)2为纯虚数”.因为(1−ai)2=(1−a2)−2ai,欲使(1−ai)2为纯虚数,则须1−a2=0且−2a≠0,解得a=±1,故M={−1,1},所以集合M中的元素个数为2.

评注解答本题的关键是对集合M中的元素是“谁”及纯虚数这一概念的理解.

变式2集合A=(x,y)|x2+8xsin(xy)+16=0,x∈中元素的个数是____.

解析显然x≠0,所以有