“充要条件”的判断方法

刘族刚

“充要条件”是高中数学课程中的重要内容，主要讨论命题的条件与结论之间的逻辑关系. 它不仅是解决数学问题时进行等价转换的逻辑基础，还是后面学习数学推理、数学证明等内容的基础，同时也是高考命题中实现知识交融交汇的重要载体. 因而，掌握“充要条件”的概念以及判断方法显得尤为重要. 本文对判断“充要条件”的几种常用方法加以盘点，仅供参考.

定义判断法

例1 设[an]是首项为正数的等比数列，公比为[q]，则“[q<0]”是“对任意的正整数[n]，[a2n-1+a2n<0]”的（ ）

A. 充要条件

B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件

D 既不充分也不必要条件

分析 要判断[p]是[q]的什么条件，就要看以下两个问题是否成立：一个是条件[p]能否得到结论[q]；另一个是条件[q]能否得到结论[p].

解 由题意得，[a2n-1+a2n=a1q2n-2（1+q）].

（1）又[a1>0]，[q2n-2>0]，∴[a1q2n-2>0].

但当[q<0]时，[1+q]的符号不能确定，从而[a2n-1+a2n<0]不一定成立，

即[q<0]不能得到[a2n-1+a2n<0].

（2）由[a2n-1+a2n<0]可得， [q<-1<0]，

所以，由[a2n-1+a2n<0]可以得到[q<0].

综上可知，正确选项为C.

答案 C

点拨 定义判断法是最直接、最常见的判别方法. 注意：若[p?q]为真，则以下说法是等价的：①[p]是[q]的充分条件；②[q]是[p]的必要条件；③[p]的一个必要条件是[q]；④[q]的一个充分条件是[p].

递推判断法

例2 若[A，B]都是[C]的充要条件，[D]是[A]的必要条件，[B]是[D]的必要条件，则[D]是[C]的什么条件.

分析 本题条件、结论都比较空洞、抽象，不能用具体命题[D?C]与[C?D]的正确与否去判断，宜采用“递推判断法”来解.

解 由已知得，[A?C]，[B?C]，[A?D]，[D?B]，如图.

由推理的传递性可知，[D?C]，同时[C?D]，于是[C?D]. 故[D]是[C]的充要条件.

点拨 对于较复杂的（如连锁式）推理关系的判断，一般可用递推判断法来解. 注意：充分条件具有传递性，即由[A1?A2?…?An]得，[A1?An]，亦即[A1]是[An]的充分条件. 必要条件也有传递性，即由[A1?A2?…?An]得，[A1?An]，亦即[A1]是[An]的必要条件. 同理，充要条件也有传递性.

集合判断法

例3 设[p]：实数[x，y]满足[（x-1）2+（y-1）2≤2]，[q]：实数[x，y]满足[y≥x-1，y≥1-x，y≤1，] 则p是q的 条件.

分析 此例直接求解较为困难. 由题中的不等式（组）联想到线性规划的知识，故作出可行域，利用集合间的关系（区域是否被覆盖）直观求解.

解 满足命题[p：]实数[x，y]满足[（x-1）2+（y-1）2≤2]的实数对[（x，y）]对应的点的集合[P]是以[D（1，1）]为圆心且过原点（半径为[2]）的圆及其内部（如图）.

满足命题[q：]实数[x，y]满足[y≥x-1，y≥1-x，y≤1]的实数对[（x，y）]对应的点的集合[Q]是图中的[△ABC]及其内部.

由图知，[Q?P]（即[Q]被[P]覆盖）.

即[q?p]，但[p]不能推出[q]，故p是q的必要不充分条件.

点拨 集合判断法的要点是：找出条件[p]和结论[q]表示的集合，利用集合之间的包含关系进行判断. 用集合法判断时，常与图示法结合，通过形象直观的图形，简化解题过程，降低思维难度. 一般地，若[p?q]，且[p≠q]，则[p]是[q]的充分但不必要条件. 若[q?p]，且[q≠p]，则[p]是[q]的必要但不充分条件. 若[p=q]，则[p]是[q]的充要条件. 若[p?q]，且[q?p]，则[p]是[q]的既不充分又不必要条件.

反例判断法

例4 若[a1，a2，b1，b2，c1，c2]均为非零实数，不等式[a1x2+b1x+c1>0]和[a2x2+b2x+c2>0]的解集分别为集合[M]和[N]，试判断“[a1a2=b1b2=c1c2]”是“[M=N]”的什么条件，并说明理由.

分析 判断一个较抽象、繁难的命题，往往可以尝试反例法（也称特殊值法），即列举一个（或多个）符合命题条件但又与该命题结论相矛盾的例子，从而说明该命题不成立.

解 由[x2-3x+2>0]与[-x2+3x-2>0]得，

[M=（1，2）]，[N=（-∞，1）?（2，+∞）].

显然，[a1a2=b1b2=c1c2=-1]，但[M≠N]，故命题的条件不是充分条件.

由[x2+2x+2>0]和[x2+2x+3>0]得，[M=N=R]，但[11=22≠23]，不满足[a1a2=b1b2=c1c2]，故命题的条件不是必要条件.

综上可知，“[a1a2=b1b2=c1c2]”是“[M=N]”的既不不充分又不必要条件.

点拨 “以例外证明规律”是一个简便而又实用的方法，通常一个例外足以反驳任何自封为规律或普遍性的命题. 判断一个命题为真命题，必须严格证明，但要判断一个命题为假命题，只需举一个反例就行. 换言之，要说明[p]不是[q]的充分条件，只要找到[x0∈xp]，但[x0?xq]即可. 特别的，对于[p]是[q]的不充分或不必要条件类的问题，列举反例是准确、快捷的方法.

等价转换法

例5 若命题[p：x≠3，或y≠4]，命题[q：x+y≠7]，则[p]是[q]的_______条件.

分析 题设与结论均为否定形式，加之有逻辑联结词“或”的出现，直接求解往往困难或容易出错，若利用“否定之否定是肯定”这个结论，则问题迎刃而解.

解 考虑逆否命题：[?q：x+y=7]，[?p：x=3，且y=4].

显然，[x+y=7]不能推出[x=3，且y=4]，但[x=3]，且[y=4]可以推出[x+y=7]，

即[?q]不能推出[?p]，但[?p]可以推出[?q].

所以[p]不能推出[q]，但[q?p].

即[p]是[q]的必要不充分条件.

点拨 当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系（特别是对于否定形式或“[≠]”形式的命题）时，可利用等价转换法来解决. 等价转换法是利用互为逆否的两个命题同真同假的特性，将已知命题转化为等价命题求解，即要判断[p]是[q]的什么条件，只需判断[?q]是[?p]的什么条件即可.

充要条件是数学中的一个重要概念，也是高考考查的一个重点内容. 在学习过程中，准确理解定义是基础，正确判断充要关系是重点，熟练应用充要关系解决相关问题是关键. 深刻理解充要条件的意义，掌握充要条件的常用判别方法，不但能有效地进行充要关系的判断与证明，更有助于提升数学逻辑思维能力、推理及论证能力.