基于形函数插值的流线追踪方法

2016-12-22赵隆顺

特种油气藏 2016年6期

关键词：流线插值步长

刘洪，赵隆顺

(中国石油冀东油田分公司，河北唐山 063004)

基于形函数插值的流线追踪方法

刘洪，赵隆顺

(中国石油冀东油田分公司，河北唐山 063004)

油藏数值模拟中，压力和饱和度分布与流线有着密切的关系，流线在注水量劈分、注水效率计算方面具有重要的价值，目前计算流线主要通过流线数值模拟方法或采用欧拉法通过压力分布直接计算质点流速追踪流线。常规油藏数值模拟方法可以直接获取不同时刻压力场分布，但由于实际地质建模使用的网格步长太大，直接计算流线会产生极大误差。在采用油藏数值模拟方法获取油藏压力场分布的基础上，利用形函数插值理论对压力场进行插值加密，然后采用流线追踪算法计算油水井间流线的分布，达到常规油藏数值模拟技术也能计算流线的目的。建立的基于形函数插值的流线追踪算法简单易行，可以作为油藏数值模拟的一个后处理程序，相比流线模拟技术，该方法无需考虑模拟精度的问题，却能实现流线计算的目的，对实际油藏动态分析和油藏数值模拟历史拟合有重要的指导意义。

油藏数值模拟；流线追踪；形函数插值；有限差分法

0 引言

流线模拟方法将三维物理问题化解为流线组成的一维线段进行求解，极大提高了模拟速度[1]。同时，流线能直观反映注入水的运动规律，特别是可以确定水线的推进方向和距离，指导水淹图绘制，为开发调整方案编制提供动态指导[2]。国内外专家学者认为流线还可以在注水效率、注采分配、产量劈分方面有更广泛的应用，并介绍了利用流线进行动态分析的方法及应用效果[3]。

尽管流线模拟技术有很好的前景，但其精度的不确定性使得其无法取代常规油藏数值模拟技术的主导地位，只能作为常规油藏数值模拟方法的补充，无法得到深入的发展和应用[4]。目前，主流的商业化软件(如Eclipse)多数基于有限差分法理论，能给出各时刻压力和饱和度的分布，但是饱和度图不能像流线一样清楚地观察从注水井到采油井的流动过程。在油藏数值模拟的基础上，如果能够直接计算流线分布，不仅保证了模拟精度(常规数值模拟结果作为基础数据)，而且可以解决常规油藏数值模拟饱和度图像不能清楚观察从注水井到采油井流线的问题。

目前，追踪流线基本上采用压力梯度求矢量和确定质点速度方向的方法[5]。有限元理论中的形函数插值方法能有效实现模拟压力场任意点的属性插值[6]，从而实现压力或饱和度等属性场网格加密。因此，建立了基于形函数插值方法的流线追踪技术，给出通过油藏数值模拟压力分布计算流线的方法，通过实际油藏流线计算研究历史流线的分布，揭示了油藏开发过程中流线的变化规律，验证了油藏动态分析的结论，可有效地指导开发调整和综合治理。

1 流线追踪技术

流线是描述渗流场流体流动的有效工具[7-8]，其能直观反映油藏中流体在注入井与生产井之间的运动轨迹。

流线构造方法[9-10]：给定流线起点(x0，y0)，按式(1)、(2)计算沿x、y方向的压力梯度，式(3)给出了(x0，y0)处的压力梯度方向，即(x0，y0)处的质点运动方向。

(1)

(2)

▽pT=▽pxi+▽pyj

(3)

式中：▽px为x方向的压力梯度，MPa/m；▽py为y方向的压力梯度，MPa/m；▽pT为(x0，y0)处的压力梯度，MPa/m；p(x0，y0)为(x0，y0)处的压力，MPa；p(x0+Δx，y0)为(x0+Δx，y0)处的压力，MPa；p(x0，y0+Δy)为(x0，y0+Δy)处的压力，MPa；i、j表示不同方向。

按式(4)、(5)可确定流线下一点的位置(x1，y1)，将(x1，y1)作为起点，重复以上流线计算方法，即可追踪从(x0，y0)点出发的流线。

(4)

(5)

式中：Δs为搜索步长，m。

2 基于形函数插值的网格加密技术

追踪流线需要获取油藏任意点的压力和饱和度，因此，需要一种压力场和饱和度场插值算法来辅助流线追踪。对实际油藏进行数值模拟研究时，若网格步长太小，则大幅度增加计算量，而网格步长太大，又极大影响数值模拟的精度，因此，实际地质模型平面网格步长一般为25 m×25 m。

该精度对于区块模拟已足够，但对于流线追踪来说还不够。为解决该问题，引入有限元形函数[6]插值方法，对数模粗化的网格压力饱和度等属性进行插值加密，以获取油藏任意点的压力和饱和度分布。对于二维平面问题，使用4节点线性单元(图1a)能很好满足要求(相应的，三维问题使用8节点线性单元)，二维母单元是(ξ，η)平面上的2×2的正方形，其中-1≤ξ≤1，-1≤η≤1。

图1 二维平面问题的母单元

各节点线性单元形函数分别为：

(6)

(7)

(8)

(9)

在获得数值模拟压力分布后，对实际的地质模型进行形函数加密。加密前，平面上网格步长为25 m×25 m；加密后，平面上网格步长为5 m×5 m，网格数增加25倍。由于是对数值模拟结果进行加密，因此，并没有增加数值模拟的工作量，没有耗费时间。由图2知，基于形函数插值加密算法后，不仅减小了网格步长，而且保证了属性分布的连续。

3 流线计算示例

选取1注3采井网地质模型开展数值模拟研究。模拟参数如下：水平渗透率为20×10-3μm2(不考虑非均质性)，储层孔隙度为0.2，网格尺寸为3 m×3 m×3 m，油井均以10 m3/d定液量生产，注水井以注采比为1进行同步注水，设置P1井生产6个月后关井、P3井生产1 a后关井，模拟生产3 a，模拟得到生产3、9、15个月后的油藏的压力分布(图3)。

图2 形函数插值加密效果对比

图3 数值模拟压力分布

以注水井为中心画圆，等距选择圆上若干个点作为起点，根据商业化油藏数值模拟软件得到的压力分布进行追踪，可以得到该模型的流线计算结果(图4)。由图4可知，油井生产制度的变化对流线有显著的影响，对于实际地质模型，如果得到了不同时刻的油藏数值模拟结果，通过流线追踪技术即可获取相应流线分布。

图4 流线追踪计算结果

4 应用实例

高深北区高66X1断块是一个典型的复杂断块油藏，目前注入水无效循环严重，油井普遍见水，累计存水率仅为0.54，近1/2的注入水被采出。从示踪剂测试数据来看，注采受效方向多，而且水淹速度快。根据渗透率场和油藏数值模拟得到的压力场，分别计算了各小层流线分布(图5)，借助流线分布可以确定不同小层注水的连通方向，进而为注采调控和综合治理提供决策依据。

Ⅱ18小层：G166-52注水井目前在该层注水，周围邻井生产该层的是G166-51、G166-53、G166-50井，G166-51、G166-53井与G166-52井之间有流线连通。

图5 典型小层2015年12月流线计算结果

Ⅱ22小层：G166-41井和G166-43井目前在该层注水，周围邻井中G166-63、G166-53、G166-51、G166-42、G66X1井生产该层。其中，与G166-41井有流线连通的井有G166-42、G166-51、G66X1井；与G166-43井有流线连通的井有G166-42、G166-53、G166-63、G66X1、G166-51井。

Ⅱ23小层：G166-41井和G166-43井目前在该层注水，周围邻井中生产该层的有G166-42、G66X1、G166-53井。其中，与G166-41井有流线连通的井有G166-42、G66X1井；与G166-43井有流线连通的井有G166-42、G166-53、G66X1井。