采用自适应遗传算法的机床公差分配研究

刘鹏,洪军,刘志刚,郭俊康,周强

(西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室,710049,西安)



采用自适应遗传算法的机床公差分配研究

刘鹏,洪军,刘志刚,郭俊康,周强

(西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室,710049,西安)

针对当前机床几何精度建模忽视装配过程中的调整量,以及机床公差分配时缺乏科学可行的方法问题,利用状态空间模型描述机床实际装配过程,考虑装配过程中的调整控制量,建立了更加准确的机床装配精度模型,并引入种群多样性指标,构建了用于机床公差分配的自适应遗传算法。以TGK46100精密卧式坐标镗床为研究对象,建立了装配精度要求与基础大件角度误差之间的映射关系,以零件加工总成本最小为目标函数,采用构建的自适应遗传算法,完成了该机床基础大件角度公差的分配。结果表明:与不考虑装配调整量的偏差累积方法相比,该方法放宽了零件加工精度,最大放宽幅度达到了36.4%,平均放宽幅度为12.0%,从而在满足最终装配精度要求的前提下,降低了零件加工制造成本,为机床公差分配提供了更加准确的精度建模方法和可行合适的公差分配方法。

公差分配;状态空间模型;自适应遗传算法

机床公差分配主要研究在一定装配精度约束下,同时保证一定的装配率,合理地分配各组成零件的公差,使得机床组成零件的加工成本达到最低[1]。进行机床公差分配首先需要建立机床精度模型,国内外学者对机床精度建模进行了广泛而深入的研究。Hocken用矩阵变换法建立了三坐标测量机的误差模型[2]。Kiridena等用D-H法建立了TTTRR、RTTTR、RRTTT形式的五坐标机床的空间几何误差模型,研究了定位误差与体积误差之间的映射关系[3]。Rahman等基于齐次坐标矩阵建立了多轴数控机床的准静态误差综合空间误差模型[4]。国防科技大学李圣怡等基于变分法与多体系统运动学,建立了多轴机床的通用精度模型,以三轴、五轴机床为例给出了理想运动模型、有误差运动模型和空间误差模型等的具体表达式[5-8]。2011年,Liu等详细讨论了数控机床各项几何误差特征之间的关系[9]。Zhu等于2012年基于多体系统模型,提出了一种面向数控机床几何误差辨识与补偿的综合建模方法[10]。2014年,Tian等借鉴机器人机构学中旋量理论提出了一种机床几何误差的构建方法[11]。2015年,Fu等基于运动微分矢量,提出了一种五轴机床的几何误差建模、辨识与补偿方法[12]。Zhong等基于多体系统理论和齐次坐标变换,对一种大型五轴加工中心的几何误差建模、变形及补偿方法进行了研究[13]。但是,这些精度模型不符合机床实际装配过程,忽略了装配过程中的修配刮研等调整量和装配过程中测量误差等因素[14]。

具体实现机床精度分配问题是一多元非线性函数在约束条件下求极值问题。在理论上往往把多元非线性极值问题归结为多元非线性方程组的求根问题,然后采用迭代法求解。但是,传统的求解算法,如牛顿迭代、最速下降法,需要将问题线性化,或者求解偏导数等,在某种程度上复杂化了问题,并增加了结果的不准确性,甚至在许多时候无法得到问题的最优解[15]。

因此,本文利用状态空间方法[14]对机床实际装配过程进行描述,使用最优控制方法获取机床装配过程中最优调整量,进而获得机床装配精度指标与组成零件误差之间的函数关系;然后,构建了基于浮点数编码的自适应遗传算法,实现对机床公差的最优分配;最后,使用该技术方案,对TGK46100精密坐标镗床进行了基础大件角度公差的分配。

1 机床装配精度与零件误差关系建立

1.1 机床装配过程的状态空间模型

在机床实际装配过程中,关注的是当前装配体的误差状态。该误差状态受到零件误差、调整刮研等影响,同时为了了解当前装配体的误差状态,会进行测量操作,而在测量时也会引入测量误差。机床装配过程中的误差状态变化如图1所示。

图1 机床装配过程中误差状态转移情况

装配过程的状态空间方程[16]为

X(k+1)=A(k)X(k)+B(k)u(k)+F(k)ω(k)

y(k)=C(k)X(k)+ν(k)

(1)

式中:X(k)为第k-1步装配后的装配体误差状态;X(k+1)为第k步装配完成后的装配体误差状态;u(k)为在第k步装配时,刮研、修配等调整量;ω(k)为第k步装配引入的零件误差;v(k)为测量时的噪声;A(k)为装配体特征矩阵;B(k)将u(k)从第k个零件的局部坐标系转换到基础坐标系;C(k)为输出矩阵,与所关心的特定特征面相关;F(k)将第k步装配时引入的零件误差从第k个零件的局部坐标系转换到基础坐标系。

1.2 机床装配精度成本函数

机床装配的目的之一是要在满足最终装配精度要求条件下,花费尽可能少的经济代价。结合装配过程中的测量、调整等,可以采用装配精度成本函数来表达,即

uT(k)R(k)u(k)]

(2)

式中:S表示最终装配精度对应的成本系数矩阵;yT(N)Sy(N)表示该装配精度需要的经济成本;Q(k)表示第k步装配时的装配精度对应的成本系数矩阵;yT(k)Q(k)y(k)表示第k步装配时,为了达到该精度需要的成本,权重矩阵R(k)为调整单位零件误差的成本系数矩阵;uT(k)R(k)u(k)为调整零件误差的成本,S、Q(k)与误差状态相关。

1.3 机床装配最优调整序列

根据式(1),可以将装配过程中的最优调整序列u(k)问题转化为离散随机线性系统最优输出问题。可以通过以下方法得到装配过程中第k步最佳调整量,即最优的装配调整序列为

(3)

K(k)=[R(k)+BT(k)P(k+1)B(k)]-1·

BT(k)P(k+1)A(k)

(4)

P(k)=Q(k)+AT(k)P(k+1)·

[I+B(k)R-1(k)BT(k)P(k+1)]-1A(k)

(5)

且有S=P(N)=Q(N),所以只要指定成本系数矩阵R、S、Q,就可以获得一组最优装配调整序列。

1.4 机床装配精度与零件误差关系建立

根据1.2、1.3节的方法,机床装配体误差的状态空间方程可以改写为

Xi(k)=A(k)X(k)+F(k)ω(k)

X(k+1)=[I-B(k)T(k)K(k)]Xi(k)

(6)

式中:T(k)是调整特征选择矩阵,非对角线元素均为0,通过给定对角元素为1表示对应几何特征在第k步可以进行调整,为0则表示对应特征不能被调整;随机变量Xi(k)的概率密度函数由ρ(k)=E[X(k)]以及D(k)=D(X(k))确定,D(k)表示机床装配精度的公差带,即误差状态的变化范围。

利用式(6),可获得公差带的表达式为

Di(k)=AT(k)D(k)A(k)+F(k)V(k)FT(k)

D(k+1)=[I-B(k)T(k)K(k)]·

Di(k)[I-B(k)T(k)K(k)]T

(7)

式中:V(k)表示零件误差ω(k)的协方差,ω(k)被定义为均值为0,且互不相关的零件误差向量

E[ω(k)]=0

(8)

初始的D(0)=0。

通过上述方法,便完成了机床装配精度指标与零件公差之间的函数关系建立。

2 自适应遗传算法构建

机床装配精度与零件公差的函数关系在忽略高阶项之后,形式变为

(9)

式中:m为每个零件考虑的精度项目个数;kij为第i个零件的第j项误差值系数;tij为第i个零件的第j项误差值,在本文所构造的自适应遗传算法中,tij为第i条染色体上第j个基因。

在实际加工制造中,零件角度公差越小,那么加工成本越高。本文通过调研昆明机床厂,发现该厂零件公差与加工成本在一定范围内近似为一反比例函数。这种公差成本函数是文献[1]中负幂成本函数的特殊情况。以机床装配体零件加工总成本W为目标函数,在上述情况下可以表示为

(10)

式中:n表示机床装配体零件个数;Cij为反比例函数系数,根据机床厂零件加工制造能力确定。

此时机床公差最优化分配问题转化为了一多元非线性寻优问题,传统的拉格朗日乘子法、变尺度搜索等方法已经不再适用。这里采用一种基于浮点数编码的自适应遗传算法来获得一组tij,既能满足机床装配精度要求,又能使得零件加工总成本最小。

2.1 初始零件误差种群产生方法

结合零件实际加工过程,组成机床的各个零件的可加工精度范围是不一致的,即遗传算法中染色体上各个基因片段的初值范围应该根据实际情况确定。每个基因的产生通过方程实现,即

(11)

式中:bt,ij、bl,ij分别为第i条染色体第j个基因取值的上下限;r表示一随机数;c为一常数。

2.2 优选零件误差操作

机床公差分配问题受到装配精度要求Pi的约束,故首先需要将该问题转换为无约束问题。本文采用外点法实现转换。对于本文所述问题,外点法可定义为

(12)

式中:μ为惩罚系数;h(ti)为惩罚函数;ti为第i条染色体所有基因片段(ti1,ti2,…,tim)构成的向量,即第i个零件所有误差构成的零件误差向量。在公差分配过程中,h(ti)定义为

(13)

式中:δi为利用tij(j=1,2,…,m)计算得到的Ps与装配体要求的精度项目的差值;ci为一给定的常数。

(14)

式中:fl为第l个个体的适应度值;M是种群中个体的数目。

将这些概率映射到轮盘上,然后通过产生一随机数,即可实现选择操作。

2.3 零件误差染色体的交叉运算

假设用于交叉的两个基因为ta、tb,它们分别位于两条不同的零件误差染色体上,交叉运算之后变为新的基因

(15)

式中:α∈(0,1)为一常数,可以通过随机方法产生。

2.4 零件误差染色体的变异方案

采用非一致性变异方法,即在演化初期,变异范围相对较大,而随着演化的推进,变异范围越来越小。设某染色体上基因为ti=(ti1ti2,…,tik,…,tim),m为每条染色体上基因的个数,此时基因tik会发生变异,变异的规则为

(16)

Δ(ξ,y)=y[1-rξb]

(17)

2.5 自适应的交叉概率及变异概率

采用王成栋等提出的使用种群多样性的指标ξ[17]来动态调整交叉概率和变异概率,即当种群进化的多样性程度下降时,交叉概率和变异概率适当增大,以增加新个体的产生概率,克服早熟问题。自适应交叉与变异概率具体计算公式为

(18)

(19)

本文实现机床公差最优化分配的详细技术路线如图2所示。

图2 机床公差最优化分配技术路线

3 机床公差分配实例

本文以昆明机床厂生产的TGK46100精密卧式坐标镗床为例,对该机床完成基础大件角度公差的分配。该坐标镗床主要由床身、立柱、滑鞍,主轴箱、托板、工作台等6大基础部件构成,如图3a所示,机床的简化结构如图3b所示,主要装配精度指标如表1所示。

表1 TGK46100主要装配精度指标

(a)TGK46100精密卧式坐标镗床简图

0～6:装配特征面;A:床身;B:立柱;C:滑鞍;D:主轴箱;E:托板;F:工作台(b)TGK46100简化结构图图3 TGK46100精密卧式坐标镗床

假设该坐标镗床的装配顺序为:将床身A安装到地面上;将立柱B装到床身A上;将滑鞍C装到立柱B上;将主轴箱D装到滑鞍C上;将托板E装到床身A上;将工作台F装到托板E上。

装配完成之后,角度偏差可以表达为

(20)

式中:δi(N)(i=1,2,3,4,5,6)代表的是特征面1～6的偏差状态;ΔθA～F代表了零件A～F的零件误差。

(21)

式中:k表示装配过程中的第k步。

在装配第1步的时候,调整特征矩阵为

定义权重矩阵R来表征消耗的经济成本系数。注意到,该系数矩阵的取值与机床厂调整单位零件误差的难易程度密切相关。本文例子中所有R矩阵的取值是根据昆明机床厂实际调研分析所得。因为此时只有床身已经进入到装配,所以给未进入装配的零件分配一个较大的成本系数,取为500,所以

在第2步装配的时候,立柱装到床身上,所以调整矩阵和权重矩阵为

在第3步装配的时候,将滑鞍装到立柱上,调整起来相对困难,所以调整矩阵和权重矩阵为

在第4步装配的时候,主轴箱装到滑鞍上,此时调整矩阵和权重矩阵为

在第5步装配时,将托板装到床身上,调整起来相对困难,所以调整矩阵和权重矩阵为

第6步装配的时候,将工作台装到托板上,此时的调整矩阵和权重矩阵为

假设在装配过程中,不关心误差状态的变化,那么观测矩阵为零矩阵,根据该卧式坐标镗床的精度指标要求(见表1),装配完成后的观测矩阵为

Q1～Q6为零矩阵,Q7为机床装配精度成本系数矩阵,与机床厂的装配能力密切相关。通过调研昆明机床厂得到对角阵

Q7=diag([0.3,0.3,0.3,0.20,0.20,0.20,0.20,0.32,0.32,0.20,0.20])

在此基础上,设床身的角度误差为t1,立柱的角度误差为t2,滑鞍的角度误差为t3,主轴箱的角度误差为t4,托板的角度误差为t5,工作台的角度误差为t6。这六大基础部件的角度误差由3项组成,即

将这些数据引入到式(7)进行迭代,其中式(7)中矩阵A为单位矩阵,矩阵B与矩阵F相等,均为式(20)中的系数矩阵。忽略高阶项,得到该精密卧式坐标镗床装配精度指标与零件公差项目之间的函数映射关系为

(22)

建立零件加工总成本函数,其中m=3,n=6,代表TGK46100的6个基础部件,且每个基础部件有3项角度公差。设置遗传算法的基本参数如表2所示。

表2 自适应遗传算法参数取值

采用Matlab编写求解代码,实现该公差分配方案,自适应遗传算法的收敛情况如图4所示。

可以发现,本文所构建的自适应算法收敛性良好,得到的分配结果如表3所示,利用该结果,根据式(22)计算得到的装配精度指标均满足表1所列的装配精度要求。表3中第4列是采用李圣怡等提出的基于变分法与多体系统运动学的机床精度建模方法[8],构建了TGK46100偏差传递精度模型,然后利用本文提出的自适应遗传算法进行计算,采用相同算法参数得到了分配结果。从表3中可以发现,不考虑装配调整量的偏差累积方法对零件加工精度提出的要求高,制造难度加大,而本文方法则放宽了零件精度要求,最大放宽幅度达到了36.4%,平均放宽幅度为12.0%,在同样满足装配精度要求的前提下,大大降低了零件制造成本。

4 结 论

本文建立了机床装配精度的状态空间模型,考虑了实际装配过程中多种影响装配精度的因素,与传统偏差累积传递模型相比,更加符合机床装配实际;在引入种群多样性指标的基础上,构建了用于机床公差分配的自适应遗传算法,且算法收敛速度快,为多元非线性函数在约束条件下寻优提供了一种可行快捷的思路;通过精密机床公差分配实例,验证了状态空间法构建的精度模型的正确性以及自适应遗传算法的有效性,分配结果与依靠多体系统偏差累积方法得到的结果相比,零件精度要求得到放宽,最大放宽幅度达到了36.4%,平均放宽幅度为12.0%,在满足装配精度要求的前提下,实现了降低制造成本的目标。

表3 TGK46100基础大件公差分配结果

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(编辑 赵炜 杜秀杰)

Research on the Tolerance Allocation of Machine Tools Based on Adaptive Genetic Algorithm

LIU Peng,HONG Jun,LIU Zhigang,GUO Junkang,ZHOU Qiang

(State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

The current modeling methods of machine tool’s geometric precision often ignore the effects of adjustment, lacking of scientific and feasible approaches to allocate the tolerance of machine tools. This paper adopts the state space model to describe the actual assemble process of a machine tool, and the adjustments in the assemble process are considered. Thus a more accurate model is set up. By introducing the index of the species diversity, an adaptive genetic algorithm for tolerance allocation is built up. The method was applied in the tolerance distribution of the angular tolerance in TGK46100. Firstly, the relationship of assembly accuracy requirements and angle error of large parts is constructed. Then taking the total cost of parts machining as the objective function and using the adaptive genetic algorithm, the optimal angle tolerance is obtained. The results show that, compared with the deviation accumulation method without considering the assembly adjustment, the machining accuracy of parts is relaxed and the maximum relaxation rate reaches 12%, with an average of 36.4%. Hence the parts manufacturing cost is reduced when the final assembly accuracy requirements are met. This research provides an accurate modeling method for machine tools’ tolerance distribution.

tolerance allocation; state space model; adaptive genetic algorithm

2015-06-19。 作者简介:刘鹏(1992—),男,硕士生;洪军(通信作者),男,教授,博士生导师。

时间:2015-11-04

网络出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20151104.2222.004.html

10.7652/xjtuxb201601018

TH161

A

0253-987X(2016)01-0115-09