处理三角恒等变换问题的三个视角

安徽省太和中学 阮 飞

处理三角恒等变换问题的三个视角

安徽省太和中学 阮 飞

三角恒等变换问题的综合性往往很强。解题时，我们首先要记住六组诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式，然后从角、函数和次数这三个视角进行分析，最后运用角的变换、切弦转换、降幂、升幂等技巧。下面结合典型例题予以说明，供同学们参考。

视角一：关注角之间的联系

角与角之间的差异和联系是决定三角恒等变换方向的第一个因素。为消除角与角之间的差异，常对角进行适当地变形转化，即进行角的变换，如：

答案 （1）-3 （2）1

视角二：关注函数之间的联系

函数之间的差异与联系是决定三角恒等变换方向的第二个因素。为消除函数之间的差异，常利用公式将正切与正弦、余弦互换，即切弦转换。

答案D

视角三：关注次数之间的联系

三角函数次数之间的差异与联系是决定三角恒等变换方向的第三个因素。为消除次数之间的差异，对于某些高次三角恒等变换问题，我们常常利用相关公式将其降幂，一般化为模型y=asin2x+bsinx+c（或y=acos2x+bcosx+c）和模型y=Asin（ωx+φ）+b（或y=Acos（ωx+φ）+b），利用一次函数、二次函数和三角函数的相关性质处理。公式及其变式在降幂过程中，常常发挥重要作用。而对于像这种含有根号的式子，则需进行整体平方运算。类似地，形如的式子，都可以进行平方运算。

例3 已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0）对∀x∈R恒成立，则A=_______，b=_______。

思路 降幂，利用公式2cos2x=cos2x+1消除2cos2x与sin2x次数上的差异，再利用辅助角公式消除等式两侧形式上的差异。

以上介绍了研究三角恒等变换问题的三个视角，解题的关键在于选择最优的视角分析已知与未知之间的差异和联系，进而利用恰当的公式和技巧消除它们之间的差异，这就需要我们熟练掌握三角公式的正用、逆用和变形用，有时候还需要多种技巧融为一体，共同发挥作用。