不确定市场环境下的企业家投资、消费和对冲研究进展

杜宏俊，费为银，沈明轩

(安徽工程大学 数理学院，安徽 芜湖 241000)



不确定市场环境下的企业家投资、消费和对冲研究进展

杜宏俊，费为银*，沈明轩

(安徽工程大学 数理学院，安徽 芜湖 241000)

企业家经常面临着来自商业投资中的不可分散的特定风险．将标准的实物期权方法推广到非完备的市场下，并且考虑企业家投资、消费/储蓄和投资组合选择等共同决策问题，允许代理人通过交易市场投资组合来部分对冲实物投资风险．在此背景下，首先介绍了金融市场上的最优投资组合和消费问题的研究现状．接着介绍了企业家投资、消费和对冲问题的研究进展，并给出了投资过程中允许通过交易风险资产对冲项目风险的模型．最后对所要研究模型分别给出了在通胀环境、Knight不确定和跳扩散等方面的拓展框架.

实物期权；投资组合；HJB方程；通货膨胀；非完备市场

1900年法国数学家Bachelier首次在《投机理论》中使用量化的布朗运动描述股票价格变化过程，这被认为是现代金融学的起源．不幸的是，在长达半个世纪的时间内这一工作一直没有受到学者的关注．直到1952年，Markowitz[1]提出了著名的投资组合理论(均值方差模型)，引发了华尔街的第一次金融革命，拉开了现代金融理论——数理金融发展的序幕．

最优消费和最优投资组合问题一直是金融领域的研究热点．回顾跨期投资组合的发展历程，自Merton[2]利用动态规划方法解决了在连续时间内最优消费和投资组合选择问题，使得对投资组合问题的研究迈出了重要的一步．Merton[2]在这方面做出的突出贡献为后来的学者研究跨期投资组合提供了借鉴．投资组合选择问题所涉及到的一般都是金融市场投资，很少涉及到商业投资等实物投资领域，然而实物投资行为在现代经济中已经扮演着越来越重要的角色．通常情况下，实物投资在现实实物投资项目中常常面临着未来投资的不确定性、收益的不确定性以及信息的不对称性．实物投资的3个典型特点：投资是部分或完全不可逆的、未来收益是不确定的、投资时间在某种程度上是灵活的．近30多年，大量文献旨在研究这3个特点对实物投资的意义，这些文献共同的视角就是将投资决策视为美式看涨期权，“美式”体现在行权时间选择的灵活性上．然而，最早把期权思想引入到该领域的是Myers[3]，他首次提出了把投资机会看作成长期权(Growth Options)，把许多企业资产特别是成长性的投资机会看作是看涨期权．Bernanke[4]是对不可逆投资最早做出贡献的，实物投资已经变成现代经济金融的主力军,因此对投资项目的价值评估自然而然地成为实物投资过程中的重要一环．

随着技术的日益进步及竞争的日趋激烈，简单地预测和分析预期现金流已不足以准确评估一个项目的价值及其潜在增长价值，从实物期权的角度对未来的投资机会进行评估，是一种更加有效的方法，并已经在现代公司关于资源配置的决策上取得了实质性的进步．为此，现在越来越多的研究致力于把实物期权方法用于不可逆的实物投资，关注的是企业家投资活动中的投资时间选择，即管理者等到影响重大的不确定消失以及项目收益更加明确时做出投资决策，在这一过程中等待可能产生更大的价值．然而，在等待的过程中，一旦项目的收益并未达到预期，管理者可以选择放弃这项投资，这样就拥有了一种隐性的防范损失的保险机制，从而达到保险的效果．

随着社会的不断进步，金融市场快速发展，金融市场环境变得越来越复杂，不确定因素以及突发事件频发，带来的风险严重影响到了金融市场，这些不确定因素给人们的投资、消费和生活都带来了不容忽视的影响，不确定因素逐渐引起了人们的广泛关注，故而研究不确定市场环境下的投资、消费和对冲具有极其重要的意义．

标准的实物期权方法有着极其严苛的条件约束，但现实中的市场是不完备的，因而在实际的研究中往往需要把标准实物期权方法推广到非完备市场环境下，得到非完备市场情形下相应的结论．

1 投资组合选择和消费问题的研究回顾

由于市场环境的不确定性导致了资产配置的多样化，资产如何进行组合才能使得投资者的利益最大化，如何在投资、消费之间分配资产使得投资者效用最大化，这一直都是金融界研究的重要课题．一些国外学者在Merton[2]研究的基础上探讨了动态投资组合决策.在动态投资组合决策研究中，Kim和Omberg[5]研究的是非短视行为，他们通过利用HARA效用函数得到了投资者在终端财富期望效用最大化下的最优资产组合选择．

在Merton解决了连续时间内的最优消费和最优投资问题的基础上，Duffie[6]等推广到带有随机劳动收入的情形，通过使用“粘性解”技术以及HJB方程得到随机控制问题的值函数，进而得出所要研究的最优投资消费．Wang[7-9]分别研究了在固定收入和随机收入的假设下，收入对最优消费、储蓄和投资决策的影响．但是对于随机劳动收入和CRRA效用函数消费的闭式解还没有人推导出来，Zeldes[10]使用的数值技术仅仅给出了一个近似解．

投资者投资和消费过程中往往面临着种种限制约束，比如借贷约束、流动约束等．Munk[11]认为连续时间最优的消费和投资组合选择的投资者有一个初始财富和不确定的收入流，且投资者不允许预支未来收入，最后证明由于不能预支未来收入，未来收入流隐含价值是远远低于完备市场情形下的．Ang[12]等提出了一种流动和非流动性资产的最优配置模型，流动性风险增加其状态相关性，风险规避降低流动和非流动资产配置,还研究了流动性约束时间对资产配置的影响．约束不仅体现在资产流动性上，对消费也有约束.He和Pearson[13]在无限维情形下，利用鞅方法研究了在不完备市场的情况下带有卖空限制的动态消费和投资组合问题．

国内也有很多学者在最优投资、资产配置方面进行了大量研究．王秋媛[14]等给出了不同条件下最优消费与投资组合的计算公式及相应最大消费效用期望值．李仲飞和汪寿阳[15]研究了摩擦市场中的最优消费-投资组合选择问题．刘宏建[16]等在Knight不确定环境下考虑投资者遗产和保险，研究了在3种不同借款约束下的最优消费与投资问题，借助于倒向随机微分方程(BSDE)理论求出了投资者最优消费和投资策略的显式表达式．

上述研究虽然也有在最大效用框架下研究投资、消费问题，但是均未考虑在实物投资下企业家面临的消费和投资组合选择，并且给出其最优消费和投资组合的问题．

2 企业家投资、消费和对冲问题研究回顾

金融市场离不开实体经济的繁荣，只有实现实体经济的良性发展，金融市场才会蓬勃发展，因此对实物投资的研究不可或缺．许多学者研究了不确定市场下的投资和消费，所涉及到的投资一般是金融市场上的投资，对象是众多的金融衍生品如股票、期权、基金和债券等，但是几乎很少涉及到实物投资．现实中，大多数企业家进行实物投资，因而在对企业家的投资和消费问题进行研究的过程中，不仅要考虑金融市场上的投资，还要考虑实物投资．

在Bernanke[4]最早对不可逆投资所做研究的基础上，对于完备市场情形Borison[17]给出了实物投资问题的一个很好的讨论和总结，并且为不可逆投资的发展做出了极为突出的贡献．虽然Borison[17]描述的实物投资方法看起来具有显著的不同，但是这些方法的本质都是通过帮助公司管理者进行投资选择，最终实现公司股东财富水平的最大化．

众所周知，现实中的金融市场总是存在着大量的约束限制，因此实际金融市场往往是非完备的，最多可以部分复制．在研究中，不完备性体现的是投资者承担市场风险而得到应有的风险回报，但是对于资产的特质风险并没有得到额外补偿．纵使完备市场对复制思想具有极其严格的要求，也不完全与现实环境无关．Kogan[18]提供了一个不可逆实物投资的一般均衡模型，投资的不可逆性是生产部门最主要的特征，限制着资本的积累，影响着公司的投资决策．其主要的贡献是分析了均衡性以及不可逆投资的影响．

对实物投资研究越来越多的落脚点是在投资时间的选择上，对投资量以及投资方式的研究均不是重点．Rhys[19]等通过引入首达时等方法为期权的最优执行时间选择提供了有力的理论依据，弥补了前期的实物期权模型在最优执行期权时间选择研究上的不足．Hugonnier和Morellec[20]是在非完备市场背景下关注管理人投资执行的问题以及控制挑战对管理人行为的影响．管理者会权衡自身的行权时间，较早地执行期权减少其所暴露的特定风险，与之对应的是增加了控制挑战成本的可能性．Henderson和Hobson[21]刻画了风险厌恶者拥有一个不可分割资产，选择何时卖出从而达到效用最大化需求．他们主要的贡献是发现了与直觉相反的事实，对于一个风险厌恶者，其最优行为却可能会增加博弈的风险．

基于静态确定性等价思想提出的效用无差别定价方法，是由Hodges和Neuberger[22]1989年提出的，被认为是解决非完备市场环境下投资、消费的最有价值的方法，这一方法被后来的学者广泛使用至今．Yang和Yang[23]、杨金强和杨招军[24]都考虑了部分信息下基于消费效用无差别定价的实物期权问题，区别在于杨金强和杨招军并没有考虑用风险资产去对冲的情形．然而他们虽然研究了非完备市场下没有对冲情形的实物投资，但也没有研究消费/储蓄决策以及消费/储蓄决策对商业投资和投资组合选择的影响．

在对非完备市场上的实物投资中研究对冲有着重要意义，因为市场的不完备性，企业家从事商业投资面临不可分散的特定风险，通过交易市场投资组合对冲商业投资风险，系统风险通过标准CAPM方法得以补偿，特定风险产生私人股本溢价，这就是学者把对冲引入商业投资研究中的原因．Henderson和Hobson[25]研究了如何处理一个不可交易资产，并把交易资产用作对冲风险的目的，他们的贡献是首次在著名的Merton投资模型中引入了第二个不可交易资产，并且检验了次最优对冲策略对代理人愿意支付的期权价格的影响．真正完整考虑企业家投资、消费和对冲的是Miao和Wang[26]．他们同样采用的是静态确定性等价思想提出的效用无差别定价方法，考虑非完备市场下企业家面对一项不可逆的实物投资，对是否允许通过市场投资组合对冲商业投资风险建立了不同的模型，并考虑了最优消费的问题，也研究了不同投资回报形式对执行投资时间选择的影响．Ewald和Yang[27]进一步假设实物投资项目价值服从均值回复的几何布朗运动过程，使得对项目价值模型更有意义，最后利用最优控制理论，从理论上推导了期权的最优执行时间和最优值的解析表达式．

通过上述大量文献的分析可知，在现实经济环境下考虑企业家进行商业投资，并且考虑企业家的消费和用于对冲的市场投资组合选择是具有现实意义的．商业投资行为的发生与否对消费和投资组合选择有着重要的影响，进而消费和投资组合的选择又影响着企业家的财富水平．在现实经济生活中，恰恰需要发展一个理论刻画特定风险在消费、投资和投资组合之间扮演的角色，正如Gentry和Hubbard[28]、Heaton和Lucas[29]等所做的工作．

在Miao和Wang[26]的研究基础上，其他学者也取得了不错的研究成果.Henderson[30]研究了企业家的风险厌恶和市场的非完备性对投资时间和期权价值的影响，允许用对冲来部分抵消投资回报的不确定性，他们发现风险厌恶和特定风险蚕食了期权价值，并且降低了投资临界值，主要贡献是找到一个参数域，在这个域内完备和非完备给出了不同的投资信号．相比于Miao和Wang[26]的研究，考虑企业家来自消费和投资的最大化指数效用服从的是算术布朗运动，由于算术布朗运动可取负这一弊端，他们在此基础上改进使用的是几何布朗运动，其中的模型更容易处理，并且可以导出适于静态比较的近似解，更加接近典范完备化模型过程．

国内也有学者研究并取得了一系列成果．Chen和Yi[31]研究在有限期限下的非完备市场下企业家投资、消费和对冲问题．他们的主要贡献是通过使用PDE技术把Miao和Wang在无限期限下得到的结果推广到有限期限下，并进一步优化了结果，证明最优执行边界是关于时间t递增的，并且在[0,T]内连续．

3 企业家投资、消费和对冲模型拓展

3.1 通货膨胀下的企业家投资、消费和对冲问题

目前我国资本市场还不够完善，投资渠道单一，使得投资者在面临通货膨胀时选择资产保值增值的比较少．同时，在国家持续不断改革开放和转变发展方式的大背景下，通货膨胀对投资者投资风险资产(股票、期货、基金等)的行为影响越来越大，因此在考虑投资的时候通胀因素不得不考虑进来．现如今，国内外越来越多的学者着手于对通胀的研究．针对消费篮子价格完全可观察和部分可观察的情形，Bensoussan[32]等分别给出了在通胀环境下的最优消费和投资策略．丁传明和邹捷中[33]研究了通货膨胀影响下的最优投资消费模型，他们在对金融市场的假设中假定通货膨胀或通货紧缩同时存在投资和消费市场上，并且建立了通货膨胀折扣率的随机模型及最优消费投资模型，利用鞅方法和随机分析理论进行求解．然而，Fei[34]研究的是在通胀条件下带有Markovian机制转换的最优消费和投资问题，假定通胀服从均值回复过程的最优消费和投资决策．Fei和Fei[35]研究了在通胀条件下带有Markovian机制转换的最优控制，并将其应用到投资组合决策中．费为银[36]等研究了投资者在通胀环境下带递归效用的最优消费和投资问题，根据假设的效用函数推导出最优消费和投资的精确解．费为银[37]等在资产价格跳扩散环境下，研究了通胀因素对投资者资产配置的影响，并且通过数值模拟进行了量化．

根据对上述文献的分析，在当前经济发展背景下，在对投资的研究中把通胀考虑进来更加接近真实的现状，这样也会使得模型更加贴近实际情形．基于Bensoussan[32]等及费为银[35-37]对通胀下的投资和消费的研究，将所要研究的模型中风险资产价格以及投资收益等在通胀下进行折现，得到真实环境中对应的资产价格和投资收益，再利用现代随机微分方程理论建立相应的HJB方程，通过求解可得到在企业家投资下的最优消费和最优投资组合选择．

3.2 Knight不确定下的企业家投资、消费、对冲问题

现实生活中有很多现象已经不能够通过概率不确定给出合理的解释了，而Knight不确定却可以提供很好的理论支撑．Knight不确定是种没有确定概率分布的不确定，其概率分布是未知的，其本质并非未知而是不可知．自1921年Knight首次提出Knight不确定后，引起国内外学者的广泛关注，并且对Knight不确定下的最优消费和投资组合问题进行了深入的研究．Chen和Epstein[38]考虑了含糊的连续时间下跨期多先验效用模型, 给出了风险溢价和含糊溢价对超额收益率的解释．Fei[39]研究了带预期和含糊情形下的最优消费和投资组合问题．在Knight不确定环境下，费为银[40]等研究了投资者在通胀下的最优消费和投资决策，其中区别了含糊与含糊态度，研究使用的模型与Bensoussan[32]等的模型的主要区别是刻画了α-maxmin期望效用(即α-MEU)，这样不仅有助于在区别含糊和含糊态度的情况下解决带有通胀的最优消费和投资组合问题．韩立岩和泮敏[41]创造性地使用了Knight不确定的视角处理了带有随机波动率的期权定价问题，将Knight不确定的思路引入到期权定价问题上，丰富了Knight不确定的应用．然而，上述文献所研究的Knight不确定性均是指资产价格预期收益率，遗憾的是并没有考虑资产的价格具有Knight不确定性．为此，在对冲基金管理者最优投资策略问题的研究中，费为银[42]等考虑了风险资产价格具有Knight不确定性，并且得出在风险资产价格具有Knight不确定性下的基金管理者最优投资组合策略．

总之，对于投资和消费问题的研究，国内外的学者在Knight不确定下进行了深入的研究并已经取得了丰硕的研究成果．因此，在G-Brown运动环境下，对企业家投资、消费和对冲问题的研究中，可以考虑风险资产价格变化过程的波动率具有Knight不确定性，当然也可以同时考虑实物投资项目带来的收益过程的波动率具有Knight不确定性.结合国内外学者在这个领域取得的成果，可以得出相应的企业家实物投资下的最优消费和最优投资组合策略，具有更强的现实经济意义．

3.3 跳扩散下的企业家投资、消费、对冲问题

现实生活中各种突发事件频发，使得资产价格出现大起大落或不连续的跳跃变化，很有可能出现阻碍金融市场健康发展的不利情况，因此跳扩散风险对投资者的投资决策有着重要影响，对跳扩散的研究也越来越重要．近年来，在投资和资产配置等方面的研究中，跳扩散不断被引入模型中．

通过对期权和股价市场数据的研究，Eraker[43]发现了股票价格动态跳扩散的特征，并且建立了股票价格和股票价格波动率的非连续相关跳模型．Wu[44]重点研究了稀有事件风险，并且分析了跳对动态决策的影响，结果发现，跳风险使得投资者的投资决策更加地保守．费为银[45]等在跳扩散环境下研究了汇率变动对外商直接投资的影响，并且通过数值模拟分析表明不管跳的幅度和大小都会使得市场动荡更明显，从而进一步加大风险资产违约的风险，因此减少风险资产的配置．李文汉[46]等在风险中性的假设下，考虑了股票价格服从跳扩散过程的随机微分方程，并且得出了跳扩散影响下相应的欧式期权定价公式．费为银[47]等对动态资产配置问题的研究也考虑了突发事件发生带来的冲击，同时通过数值模拟定量地模拟了突发事件带来的量化影响.

通过上述的文献分析研究不难发现，跳扩散在现实研究中扮演着重要的角色，因而把跳风险引入到投资的研究中，尤其对于风险厌恶的投资者，跳扩散下的投资研究更有意义．近年来全球经济的不景气，预防性储蓄的需求日益高涨，投资者的风险厌恶程度随之提高，跳风险所带来的影响也随之放大．在Miao和Wang[26]的研究模型中，由于突发事件的发生，模型中的商业投资机会发生重大变化，投资回报产生跳跃变化，对期权的执行时间产生影响，进而影响投资前后的最优消费和投资组合选择.在已有的研究成果中，考虑在企业家的预期值函数最大化的目标下，通过动态规划方法等导出最优投资组合选择和消费，最后通过使用Matlab软件模拟跳扩散的幅度和大小对最优投资消费产生影响．因而在企业家投资、消费和对冲问题的研究中把跳扩散因素考虑进来具有理论基础和现实可行性．

3.4 考虑融资决策下投资、消费、对冲问题

在Miao和Wang[26]的研究中进行了很多严格的假设，在投资决策过程为了分析的方便采用了CARA效用函数，忽略了财富对投资决策的影响．进而，假设投资者在执行投资时，总有足够的资金去执行投资，即使投资者自身财富不足以支付投资成本时，总可以从市场上无条件的以无风险利率借入资本，从而忽略了融资约束对投资的影响．然而，这并不符合实际情况，投资者个人财富对其投资行为极其重要．现实中，投资者往往因为资金问题错过很好的投资机会，加上央行宏观调控收紧银根的时候，投资者很难从市场融得到资本．在这方面已经有很多学者做了大量研究．例如，Chen[48]等通过风险债务多元化收益，刻画了最优资本结构，并且表明了这个不可分散风险对消费、投资组合、融资、投资、商业退出的影响．然而，费为银[49]等进一步在对红利和退休的最优消费与投资研究中引入了借贷约束这一条件，详细地分析了借贷约束对投资者的最优投资消费的影响．

当前全球经济整体不景气，资金短缺严格制约着投资的发生，研究融资约束对研究投资消费具有很强的现实意义，所以在对Miao和Wang[26]模型的拓展中需要考虑融资约束因素对投资-消费的影响.当企业家在执行投资时持有的资金并不足以支付成本，此时融资成本很大程度上决定着投资时间，甚至因为资金不足，高额的融资成本使得企业家放弃项目投资．

4 小结

简要回顾了现代投资理论的发展历史以及实物投资的发展历程．阐述了金融市场上投资组合选择和最优消费问题的研究现状，并且给出了国内外相关学者在这方面的研究成果．其次，考虑企业家投资、消费和对冲问题，总结了国内外学者在这方面的研究成果，着重阐述了风险厌恶的代理人在非完备市场下允许对冲的投资、消费问题的研究模型，并且给出了最优消费和投资组合问题的基本分析过程．最后，对所要研究的模型在几种不同框架下进行了展望，给出了可行性分析，并进一步提出了改进的研究思路．

在Miao和Wang[26]的研究中，只考虑了投资者的预防性储蓄动机以及风险厌恶程度等因素，而通过对上述文献的研究和分析不难发现，现实生活中更多的因素，比如通胀、Knight不确定和跳扩散以及融资决策等因素都会不同程度地影响到企业家的投资决策．因此，可以在Miao和Wang[26]的研究基础上做进一步的研究：第一，将通胀因素考虑到企业家的投资决策中，探讨不同程度的通货膨胀对风险投资和消费的影响；第二，可以研究跳扩散环境下跳的幅度和方向如何影响企业家在风险资产上的投资权重；第三，在Knight不确定环境下，通过引入G-布朗运动来对企业家的投资、消费和对冲进行研究．

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Research Advance on Entrepreneurs Investments Consumption and Hedging under Uncertain Market Environment

DU Hong-jun,FEI Wei-yin*，SHEN Ming-xuan

(College of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University, Wuhu 241000, China)

Entrepreneurs often face undiversifiable idiosyncratic risks from their business investments.The standard real options approach is extended to an incomplete markets environment for analyzing the joint decisions of business investments,consumption/savings,and portfolio selection.And the agent can trade the market portfolio to partially hedge against investment risk.Under this context,the status quo of the study on the optimal portfolio and consumption problem was firstly introduced.And then the more detailed introduction was made about entrepreneurs' investment、consumption and hedge research progress,and a commercial investment model with a lump-sum investment payoff and partially hedge against investment risk was presented.Finally,the expansion of the framework of the model under inflation,Knightian uncertainty and jump diffusion environment was put forward.

real options;portfolio;HJB equation;inflation;incomplete markets

1672-2477(2016)05-0068-07

国家自然科学基金资助项目(71571001)

杜宏俊(1990-)，男，安徽六安人，硕士研究生．

费为银(1963-)，男，安徽芜湖人，教授，博士．

O211.63； F830.9

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