研究应用换元法培养创新思维

江苏省扬州市广陵区头桥中学(225109)

黄 慧●



研究应用换元法培养创新思维

江苏省扬州市广陵区头桥中学(225109)

黄 慧●

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法.我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，把它简化，使问题易于解决.本文应用换元法解因式，解方程，解证明题三个方面举例说明，供参考.

换元法；高次方程；无理方程；实数根

利用换元法解题，具有极大的灵活性.关键在于根据问题的结构特征，恰当地引入辅助未知数，达到以简驭繁，化难为易的目的.在具体应用时，换元的具体形式也是多种多样的.要在解题的实践中，不断摸索规律，积累经验，掌握有关的变换技巧，提高运用换元法解题的能力.

下面举例说明换元法在初中数学中应用.

一、用换元法分解因式

例1 把(x-4)(x-2)(x-1)(x+1)-72分解因式.

本题如果把括号、合并同类项以后，会得到关于x的四次式，分解起来比较困难.认真观察题目的结构，可以发现(x-4)(x+1)=x2-3x-4,(x-2)(x-1)=x2-3x+2,它们的二次项、一次项完全相同，这就具备了换元的条件，选用换元法进行降次处理，就使得分解变得简单易行.在设辅助未知数时，方法比较灵活，如可设y=x2-3x,或设y=x2-3x-4等，一般地，设y等于x2-3x-4和x2-3x+2的算术平均式比较简捷.

解 (x-4)(x-2)(x-1)(x+1)-72=(x2-3x-4)(x2-3x+2)-72

设y=x2-3x-1，则x2-3x-4=y-3,x2-3x+2=y+3

原式=(y-3)(y+3)-72=y2-9-72=(y+9)(y-9)=(x2-3x+8)(x2-3x-10)=(x2-3x+8)(x-5)(x+2)

总结提示 当在一个多项式中出现相同的部分时，一般可采用换元法来解决问题.

二、换元法在解方程中作用

掌握运用换元法解方程和方程组是初中数学的一个重点要求而在解高次方程、分式方程、无理方程时，要注意方程的特点创造运用换元法的条件往往会简化求解过程.

例2 解下列方程：①(2x2-3)2+6=4x2

解 原方程变形为(2x2-3)2-2(2x2-3)=0.

设y=2x2-3,原方程形变为y2-2y=0.

解这个方程，得y1=0,y2=2.

所以原方程有四个根：

三、证明题利用换元法十分简捷

例3 试证明关于x的方程(x-a)(x-a-b)=1的根一个比a大，一个比a小.

分析 本题的一般证明方法是求出两个实数根，再证明有一根大于a，另一根小于a.认真观察题目的结构，可以变形为(x-a)2-b(x-a)-1=0,可以实施换元.即要证一根比a大，一根比a小，可以转化为证明(x-a)(x2-a)<0.本题还可以借助于函数思想，利用换元法得到十分简捷的证明.

证法一 设x-a=y,原方程变形为y2-by-1=0 ①

Δ=(-b)2-4(-1)=b2+4>0,

∴方程①有两个不相等的实数根y1,y2.

由根与系数的关系，得y1·y2=-1<0,即(x1-a)(x2-a)<0.

∴原方程中一个根大于a，一个小于a.

证法二 设y=(x-a)(x-a-b)-1,即y=(x-a)2-b(x-a)-1.把y看作是关于x的二次函数.

当x=a时，y=-1<0.

∵y=(x-a)2-b(x-a)-1的图象开口向上∴图象与x轴的交点一个在x=a的左边，一个在x=a的右边∴(x-a)(x-a-b)=1的根一个大于a，一个小于a.

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1008-0333(2016)21-0033-01