一道焦半径拓展题的探究

倪铭宏

(江苏省靖江高级中学高三学生，214500)



○学生习作○

一道焦半径拓展题的探究

倪铭宏

(江苏省靖江高级中学高三学生，214500)

一、问题的提出

二、问题的思考

我从多方面进行了探究.探究中发现都与一个等式有关，我们就先来证明这一等式，为了便于说明，不妨称之为椭圆焦半径倾斜角等式.

而当α大于90°时，在∆PF1L中，有

三、问题的解决

下面借助“椭圆焦半径倾斜角等式”，解决|PQ|+|PM|的取值范围问题.

解 设∠PF1F2=θ,∠PF2F1=γ,|PF1|=r1,|PF2|=r2.

由“椭圆焦半径倾斜角公式”，可得

在∆PF1F2中，由余弦定理，得

设t=r1r2,则t=r2(2a-r2),

结合a-c≤r2≤a+c,可得b2≤t≤a2.

四、问题的反思

思考1 “椭圆焦半径倾斜角等式”的证明可以用极坐标来完成，这里只简单说明.以椭圆的左焦点为极点，x轴正方向为极轴的方向建立极坐标系，则椭圆方程为

思考2 用余弦定理证明

事实上，用余弦定理化去cos β,cos α，得

思考3 用基本不等式证明

又∵|PQ|+|PM|=|QF1|+|MF2|+|PF1|+|PF2|=|QF1|+|MF2|+2a，

当且仅当r1=r2时，取等号.

我还进行了其它方面的探索，有些还不成熟，但是通过这样的探索，有很多感悟，最重要的感悟是：数学虽然较难，但是经过探索后，有一种成功的喜悦.