高考试题中立体几何的命题分析与思考——以2016年新课标文科数学全国卷为例

钟文强

(广东省佛山市南海区大沥高级中学，528231)



○高考复习研究○

高考试题中立体几何的命题分析与思考
——以2016年新课标文科数学全国卷为例

钟文强

(广东省佛山市南海区大沥高级中学，528231)

2016年全国卷数学试题与2015年相比较,体现了三个特点.第一是试题结构、题型保持相对稳定；第二是文理科的难度差距缩小,文科难度上升,理科难度有下降的趋势；第三是文科数学的难度上升,很大程度上是考查形式上的创新,这种创新主要体现在立体几何上．文科数学第11题通过截面来考查学生的空间想象力(补体),立体几何题第18题的条件设置新颖、运算难度大;立体几何强化对正投影的考查,突出考查垂直关系、证明中点、求体积等问题,这两题对学生而言难度较大．本文就2016年全国卷文科数学卷中的立体几何问题，从命题与解法两方面展开分析、思考与探讨．

一、命题特点

(1)试卷中立体几何板块考查了3道题,两道选择,一道解答题,题号分别是第7题、第11题与第18题,总分共22分,分值与往年持平,难度不断增加.与往年不同的是,今年不单独考查空间几何体与外接球的问题,三视图与球结合在一起考查,试题难度较小.选择题第11题考查空间点线面关系、平面与平面相交,异面直线所成角等综合问题,需要学生很强的空间想象、推理应用能力.第18题考查学生对平面几何知识的掌握,对常规概念的理解,对图形的变换应用,充分体现了新课标“能力立意”的要求，并在立体几何中达到创新．

(2)知识点的考查以课本为主,不脱离课本知识与考纲要求,概念的考查清晰合理，考查的图形正规传统(正方体与三棱锥),在传统与常规中进行创新．课本提出掌握空间点线面的一般方法是从构成平面的基本元素——点、直线和平面入手,研究它们的性质以及相互之间的位置关系,由整体到局部,由局部到整体,逐步认识空间几何体的性质(课本必修2第39页),第11题就以常规的图形正方体为载体．对于第18题中的概念正三棱锥,必修2课本没有直接的定义,但在必修2课本第37页第4题有正四棱锥的概念:底面是正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面的中心的四棱锥．由此类比,我们可以明确正三棱锥的概念:底面是正三角形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面的中心的三棱锥．又如正投影的概念,在平常的习题中少见,但课本必修2第11页也有明确的定义:在平行投影中,投影线正对着投影面时,叫做正投影,否则叫斜投影．很可惜的是,很多同学在考试过程中不明白什么叫正三棱锥,正三棱锥有什么性质,什么是正投影都不知道,如何可能又快又准地解题呢?

(3)本次考试的三道立体几何题,在命题设计上很好地体现了由各省市命题向全国卷试题的过渡.从评卷得分来看,第11题和第18题的平均得分都不是很高,给考生一种怪题的感觉.但只要深入研究分析就可以发现,这两道题的实际难度并不是很大,如果与各省市原来的试题比较,可能还会简单些,但为什么学生觉得难呢？这与我们平常的教学有关,很多一线老师在研究全国卷时,重点放在圆锥曲线、函数与导数,即倒数第二、第三题上,其实这两题的难度基本上是定死的,试题要平稳过渡,必然要另找载体.从新课标中的空间想象能力来看:能根据条件画出正确的图形,能正确分析图形中的基本元素及相互关系,能对图形进行分解、组合,对数学知识的迁移、融会的程度显示出创新意识的强度．这就说明了立体几何知识是最好的载体,从立体几何中创新,最符合新课标的精神．

二、试题解法研究

立体几何主要解决空间点线面的位置关系,这些位置关系有相交、平行、异面、特殊的垂直等.从基本方法来看,证明的理论依据主要还是依靠相关的定理、公理、定义,解决问题的手段还是要把空间问题化为平面问题,异面转化为共面相交,借助直观几何模型来解决．2016年高考文科数学中的立体几何问题的解决也不例外,找准问题突破口,一切问题就不是问题了．由于第7题比较简单,本文重点研究第11题和第18题的常规解法．

第11题 平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )

点评 此种方法能直观显示直线m,n,充分运用了面面平行的性质,异面直线通过平移变成共面直线,转化为解三角形问题,学生容易理解且解题方法准确．

第18题 如图2,正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.

(1)证明:G是AB的中点;

(2)在图2中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.

分析 条件分析:正三棱锥P-ABC⟹底面ABC为等边三角形,等边三角形四心(重心、内心、外心、垂心)合一,三个侧面三角形皆为全等的等腰三角形,即PA=PB=PC.由侧面是直角三角形可知PA,PB,PC三边两两垂直,进一步可得该三棱锥实为正方体的一部分．故可把图形进行翻转,得到一个如图3所示的三棱锥.

第(1)小题的简要解法:由已知可得点D为等边三角形ABC三边中线的交点,故连CD,并延长交AB于点M,则M为AB中点.因为PC⊥平面ABP,故CM在平面ABP上的投影为PM,因为点D在CM上,故点D在平面APB上的正投影E在线段PM上(如图4).从而证明了PE的延长线与AB的交点G为线段AB中点,方法合理简单．

第(2)小题同样容易解决,由PB⊥平面APC,故过E作EF∥PB交AP于F(如图5),则F为点E在平面PAC上的正投影(具体证明过程略)．下面求四面体PDEF的体积,由三角形重心性质知:

.

因为PA=6,∆ABP为等腰直角三角形,故

PF=EF=2.

点评 第一小题的解法类似演绎法中的三段论,在充分掌握正确的大前提下,小前题又成立,则结论成立,当然,能运用这种思路解题的前提是必须对相关的概念,一些重要平面几何的性质要相当熟悉,才能又快又准解答．

三、立体几何复习建议

(1)要复习好立体几何板块的知识,首先要复习好平面几何板块的性质．平面几何里面的概念定义直观,结论经典,图形简单,性质重要.平面几何的性质作为一种工具,在向量、解三角形、解析几何中都有很大的作用,故高中数学教材把平面几何证明选讲作为选考的内容,在试题中单独出现.由于功利的原因,很多学校引导学生在考选做题时,只选做极坐标系与参数方程,甚至有些学校完全不复习几何证明选讲,导致学生平面几何的性质掌握得很差,从而运用得也差．如2016年高考文科数学一卷选择题第5题,运用平面几何的性质很快就能解决．该题如下：

分析 由圆锥曲线性质，知

OB=b,OF=c,BF=a.

运用平面几何性质，易得

直接选择答案B．

(2)要重视课本定义及相关概念的教学．由于课改的原因,教材的版本经过多次修改,删减了一些常规概念或增加了一些抽象定义.因为从小学、初中到高中同时进行教材的改版,特别是分模块教学,让知识人为地割裂开来,使部分常用概念消失或隐藏在课本习题或补充说明中,或者在文科教材中不出现,只出现在理科教材中．这要求在复习教学中,要重视教材的应用,特别是教材中的每一个知识概念都必须要让学生清楚.如前面讲到的正三棱锥的概念,该概念是从课本正四棱锥的概念延伸出来的,而正四棱锥概念出现在教材必修2第一章的总复习题B组最后一题中.由于习题分A,B组,可能很多老师与同学都没有认真关注到该概念.数学概念的定义是很严谨的,如正三棱锥的概念,即使有的老师在教学过程中提到,但没有郑重强调,导致学生不明不白．

(3)在立体几何的复习中,除了要重视公理、定理、判定的复习外,更要注重模型的教学.立体几何涉及的是空间几何体,因为研究的方便,这些几何体必定是规则的或者是可以分割成规则的图形来研究.因此，在复习教学中,应充分利用几何模型的直观性来辅助解题．最常用的几何模型就是长方体与正方体,其次是底面为三角形、矩形或直角梯形的棱锥．空间几何体大部分是简单的,但由于视角的关系,对空间的点线面的位置关系把握不好,想象不到图形的本质与特点,这个时候利用模型的直观性来解题就方便很多了.第18题立体几何题在变换的过程中,其实就是运用了几何模型,把图形看作是正方体同一个顶点的三个面分割得到的特殊三棱锥翻转得到的．