随机地震作用下三维桁架结构拓扑优化

洪 晨 李栋泓

(华南理工大学土木与交通学院,广东 广州 510640)



随机地震作用下三维桁架结构拓扑优化

洪 晨 李栋泓

(华南理工大学土木与交通学院,广东 广州 510640)

建立了以结构体积最小为目标、指定节点响应方差为约束的优化模型，采用时域显式法分析了随机地震作用下结构响应及其灵敏度，并结合全局收敛的移动渐进线法(GCMMA)求解了结构拓扑优化问题，最后通过三维桁架结构数值算例验证了该拓扑优化的可行性。

拓扑优化，三维桁架结构，时域显式法，随机地震作用

0 引言

结构拓扑优化在结构设计中具有良好的实用性，已经成为当今结构优化设计领域中的一个研究热点。目前，结构拓扑优化研究大多集中在静力领域，动力学拓扑优化的研究成果相对较少；而在实际工程中，结构不仅承受静荷载，而且还受到地震、气流等产生的随机动力作用的影响。因此，开展随机荷载作用下的结构拓扑优化研究具有重要的工程应用价值。

近年来，苏成,徐瑞[1]从时域角度出发，提出了非平稳随机振动分析的时域显式法，该方法在大型复杂结构分析过程中表现出良好的计算效率[2]。Z.Q.Hu,C.Su等[3]采用直接微分法求解灵敏度方程，提出了非平稳随机振动灵敏度分析的时域显式法。

因此，本文建立以结构随机响应为约束、结构体积最小为目标的优化模型，并采用上述时域显式法分析结构随机响应及其灵敏度，最后结合全局收敛的移动渐近线法(GCMMA)[4]求解结构拓扑优化问题。

1 优化模型的建立及求解

以结构体积最小为优化目标，指定节点位移方差最大值不超过预定限值为约束条件，分别以杆件截面面积及节点坐标为设计变量，则其优化模型可以表达为如下形式：

(1)

2 结构动力响应及其灵敏度分析

2.1 动力响应分析的时域显式法

考虑n维自由度的线性结构系统，地震作用下的动力学方程可以表示为：

(2)

由文献[1]可得，当系统初始状态V0为零向量时，第i时刻结构系统状态Vi在时域内可显式表达为：

Vi=BiRi

(3)

其中，

(4)

在分析过程中，通常并不需要求解所有响应向量，从而第i时刻结构某自由度的响应方差可表示为：

cov(vi,vi)=φBicov(Ri,Ri)(φBi)T

(5)

其中，φ为某自由度响应的定位向量，其元素由0和1组成。

2.2 动力响应灵敏度分析的时域显式法

基于以上动力响应时域显式表达的基本思路，同理可得动力响应灵敏度的时域显式表达。设θ代表线性结构的某设计变量，动力学方程式两端对θ求偏导，且假设地震加速度与设计变量无关，整理可得：

(6)

对比上式发现，两式仅荷载项不同，因此，当系统初始状态灵敏度∂V0/∂θ为零向量时，由文献[3]可得第i时刻结构响应灵敏度的时域显式表达为：

(7)

其中，

(8)

(9)

将公式整理可得第i时刻结构某自由度响应方差灵敏度的计算表达式：

(10)

3 数值算例

g(t)=δ(e-β1t-eβ2t)

(11)

(12)

其中，ωg为地基土卓越频率，取14 rad/s；ζg为地基土阻尼比，取0.6;S0为地面水平运动加速度的谱强度因子，均取0.05 m2/s3，Δt为计算时间步长，取0.05 s。

表1 优化前后结构的位移方差及总体积

参数σ2Axmax/m2σ2Aymax/m2总体积/m3优化前6．06×10-106．06×10-10242．4优化后4．91×10-114．91×10-11164．3

4 结语

本文建立以结构随机响应为约束、结构体积最小为目标的优化模型，采用时域显式法求解结构随机响应及其灵敏度，并结合全局收敛的移动渐近线法(GCMMA)求解优化问题，通过数值算例验证该方法可以很好的推广到空间桁架结构的随机动力拓扑优化问题中。从上述的图表中可得，空间桁架结构在满足位移方差约束的条件下，结构材料总用量得到了节省，优化后的结构拓扑布局较为合理，对工程结构的优化设计具有一定的指导意义。

[1] 苏 成,徐 瑞.非平稳随机激励下结构随机振动时域分析法[J].工程力学,2010,27(12):77-83.

[2] 苏 成,徐 瑞,刘小璐,等.大跨度空间结构抗震分析的非平稳随机振动时域显式法[J].建筑结构学报,2011,32(11):169-176.

[3] Z.Q.Hu,C.Su,T.C.Chen,et al.An explicit time-domain approach for sensitivity analysis of non-stationary random vibration problems[J].Journal of Sound and Vibration，2016(382)：122-139.

[4] K.Svanberg.A class of globally convergent optimization methods based on conservative convex separable approximations[J].SIAM J.Optim，2002(12)：555-573.

[5] Cacciola P,Colajanni P,Muscolino G.A modal approach for the evaluation of the response sensitivity of structural systems subjected to non-stationary random Processes[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2005(194):4344-4361.

Topology optimization of 3D truss structures under random seismic excitations

Hong Chen Li Donghong

(SchoolofCivilEngineeringandTransportation,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou510640,China)

The optimization model of 3D truss structures is formulated by taking volume minimization with displacement constraints. Then, the time-domain explicit method is applied to solve the stochastic response and the sensitivity with respect to the design parameters, and combined with the Global Converged Method of Moving Asymptotes(GCMMA) to solve the topology optimization problem. Finally, the numerical example illustrates the computational efficiency of the proposed topology optimization.

topology optimization, 3D truss structures, time-domain explicit method, random seismic excitations

1009-6825(2016)30-0055-02

2016-08-16

洪 晨(1991- )，男，在读硕士; 李栋泓(1990- )，男，在读硕士

TU311

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