吴敬《九章比类》与贾宪《九章细草》比较刍议

郭书春

(中国科学院自然科学史研究所,北京 100190)



吴敬《九章比类》与贾宪《九章细草》比较刍议

郭书春

(中国科学院自然科学史研究所,北京 100190)

吴敬的《九章筭法比类大全》的某些内容与贾宪的《黄帝九章筭经细草》基本一致,因此感到可以根据前者恢复后者的某些内容。但是所恢复的内容在贾宪《九章细草》中所占比重很小,不可能由《九章比类》完全恢复《九章细草》。

贾宪 吴敬 《黄帝九章筭经细草》 《九章筭法比类大全》

1 杨辉《详解九章筭法》的构成

自清道光二十二年腊月上海郁松年刊刻《宜稼堂丛书》本杨辉《详解九章筭法》[1]①以下将“《详解九章筭法》”简称“《详解九章》”,将“《宜稼堂丛书》本”简称“宜稼堂本”。郁松年刻以《详解九章》的时间为道光二十二年,以往定为1842年。近查,道光二十二年腊月已是1843年1月。起,学术界一直认为杨辉此书与《九章筭术》对应的卷二至十中,除《九章筭术》本文及其魏刘徽注、唐李淳风等注释外,全是杨辉所撰。换言之,杨辉《详解九章》含有《九章筭术》本文、刘徽注、李淳风等注释和杨辉详解4种内容。[2]20世纪80年代中叶,笔者重新考察杨辉《详解九章》的结构及杨辉自序,得出《详解九章》含有《九章筭术》本文、魏刘徽注、唐李淳风等注释、贾宪《黄帝九章筭经细草》(以下简称“《九章细草》”)和杨辉详解共5种内容的结论。[3]其主要根据是：

关于卷二至十的编纂,杨辉在《详解九章·序》中说,他“聊为编述,择八十题以为矜式,自余一百六十六问,无出前意,不敢废先贤之文,删留题次,习者可以闻一知十。恐问隐而添题解,见法隐而续释注,刊大小字以明法草,僭比类题以通俗务。”就是说,杨辉只取《九章筭术》246个问题中的80个作详解,余下的166个他并未详解,只是照录。

杨辉的另一段自述提供了寻找第五种内容的钥匙。他在《详解九章·纂类·序》中谈到详解《九章筭术》的底本时说：“向获善本,得其全经,复起于学,以魏景元元年刘徽等、唐朝议大夫行太史令上轻车都尉李淳风等注释、圣宋右班直贾宪撰草。”就是说,杨辉是以刘徽注、李淳风等注释、贾宪细草的《九章筭术》为底本撰写《详解九章》的。通过杨辉《详解九章》与《九章筭术》的对校,就会知道,杨辉照录了《九章筭术》本文、刘徽注和李淳风等注释的全部文字,那么对贾宪的《九章细草》,杨辉也不会删节,应该全部照录。

因此,笔者认为,《详解九章》与《九章筭术》对应的卷二至十中,杨辉的工作仅限于解题、注释、比类三项,都是用小字。就宜稼堂本而言,杨辉详解过的题目仅是其中有“解题”、“比类”的44个。而除《九章筭术》本文之外用大字排印的法(术)、草及新设的题目的作者不是杨辉,而是贾宪。就宜稼堂本而言,92个问题中用大字排印的法(术)、草全都是贾宪的细草。至于其中的小字,得具体分析,有的是贾宪的,有的是杨辉的。这个问题还值得进一步探讨。

因此,杨辉的《详解九章》不是为《九章筭术》做详解,而是针对贾宪的《九章细草》而作的。[4]

上述分析当然也适用于《永乐大典》所引杨辉《详解九章》*这部分内容见于《永乐大典》卷16343和卷16344,曾以《永乐大典算书》之名影印收入[5]。的内容[5]。那么,贾宪的《九章细草》与杨辉的《详解九章》一样,并未完全失传,目前仍存在约三分之二。这是研究贾宪和宋元数学的极为宝贵的资料。

2 《九章比类》与《九章细草》某些内容基本一致

笔者在得出上述结论后,在第一时间向严敦杰先生做了汇报,严先生赞赏有加,认为考证是严谨的,结论是正确的,并建议笔者看看可否通过吴敬的《九章筭法比类大全》[6](以下简称“《九章比类》”)恢复贾宪的《九章细草》。待笔者找来吴敬书的照片*自然科学史研究所图书馆藏吴敬《九章比类》的照片。吴敬该书在20世纪80年代以前所存印本极少,且尚未影印。本文所引据[6]影印北京图书馆藏本。一看,发现吴敬的数学水平很低,便否定了这种可能性,近三十年来再未考虑这个问题。

近年,笔者主持《中华大典·数学典》的编纂,发现吴敬《九章比类》的某些内容,包括一些算题和算法,与贾宪《九章细草》相同、基本一致或相似。大体有以下几种不同情况：

(一) 贾宪《九章细草》的方法与《九章筭术》相同者,吴敬《九章比类》与贾宪细草的注解基本相同

有的方法,《九章筭术》已经相当抽象,贾宪《九章细草》的方法与其基本一致,但其注解与刘徽注、李淳风等注释不同,提出了新的注解,实际上起“草”的作用。如盈不足章盈不足术的贾宪《九章细草》是：

法曰：置所出率，盈不足各居其下。所出率 盈所出率 朏①。以盈不足，盈，多也。不足，朏。令维乘四维而乘。所出率，各人出率。并以为实，并已乘所出率。并盈不足为法，相并即是人数。实如法而一。所出率为实，盈胐为法。有分者通之。有分者通,无分者不用。上文言单径之题也。盈不足相与同其买物者，盈不足又有买物之率，同列其位也。置位，所出率 人数 盈率所出率 人数 不足置所出率，以少减多，副置相减。余，以约法实，预为约，法求原。实为物价，法为人数。([1]，952页)

盈不足术在吴敬《九章比类》中的方法是：

法曰：置所出率，盈与不足各居其下。出率 盈率出率 不足以盈不足，令维乘四维乘即互乘。所出率，各人出数。并以为实，并已乘所出率。并盈不足为法，实如法而一。出率为实，盈朒为法。有分者通之，有分者通,无分不用。盈不足相与同其[买]*原印本脱“买”字，今校补。物者，盈不足又有买物之率，同列其位也。置位，所出率 人数 盈率所出率 人数 不足置所出率，以少减多，副置相减。余，以约法实，预为约，法求源。物价为实，人数为法。([6]，233页。)

不言而喻,吴敬《九章比类》与贾宪《九章细草》基本一致。

(二)《九章筭术》抽象性术文所属的例题都没有细草性质的术文,贾宪补充了细草,吴敬《九章比类》与之基本一致

如盈不足术的例题共买物问题,《九章筭术》没有术文,贾宪补充的细草是：

草曰：以盈不足，盈三文，不足四。令维乘所出率，维乘即是互乘。以盈三乘出七为二十一，不足四乘出八为三十二。并以为实，并得五十三。并盈不足为法,三四得七。实如法而一。实五十三为物价，法七为人数。([1]，952页。)

吴敬《九章比类》的解法是：

法曰：以盈不足，盈三文，不足四。令维乘所出率，盈三乘出七得二十一，不足四乘出八得三十二。并以为实，得五十三。并盈三不足四得七为法，三四得七。实如法而一。实五十三为物价，法七为人数。([6]，233页。)

两者基本相同。又如共买琎问题《九章筭术》亦无术文，贾宪补充的细草是：

草曰：有分者通之，出二分之一，盈四。二通，为八。出三分之一，少三。三通，为九。以盈不足维乘所出率，盈八，乘三分之一，得八。亏九，乘二分之一，得九。并之以为实，得十七为物价。并盈不足为法，出率分母三互乘盈八，分母二互乘亏九，并，得四十二为人数。以法除之，合问。([1]，953页。)

吴敬《九章比类》的细草是：

法曰：有分者通之。出二分之一，盈四，通得八。出三分之一，少三，通得九。以盈不足维乘所出率，盈八，乘三分之一，得八。少九，乘二分之一，得九。并以为实，得物价。十七。(并)盈分母二(牙)[互] 乘亏九得，十八。不足分母三(牙)[互] 乘盈八，得，二十四。并之得人四十二，合问。([6]，233页。)

两者仅有最后几句差别较大。

(三)贾宪细草在《九章筭术》之外补充了新的内容,包括某些概括性的总结和新设的题目,吴敬《九章比类》照录了这些内容

比如贾宪《九章细草》在勾股章中总结出勾股生变十三名图：*宜稼堂本“勾股生变十三名图”8字用大字,以下的解释的字号介入大小字之间,下面十三名图的段数用小字,笔者最初认为小字是版面所限,因而都是贾宪的细草,后来又认为是杨辉的详解。考虑到做这类概括性总结的往往出自贾宪,笔者目前仍认为是贾宪写的。

勾股生变十三名图：勾股弦并而为和,减而为较,等而为变、为段,自乘为积、为羃,有用而取,无用不取,立图而验之。

吴敬《九章比类》照录了这个“勾股生变十三名图”。

贾宪《九章细草》在《九章筭术》之外另设了若干新的问题,据宜稼堂本,勾股章新设了10个问题,据《永乐大典》卷16343,衰分章下半章新设了2个问题,据《永乐大典》卷16344,少广章新设了3个问题。比如勾股章新设的问题：

勾八尺,股一十五尺。问：为弦几何？

荅曰：十七尺。

弦十七步,勾八步。问：为股几何？

荅曰十五步

股十五尺,弦十七尺。问：为勾几何？

荅曰：八尺。

今有立木垂索,委地二尺。引索斜之拄地,去木八尺。问：索长几何？

荅曰：十七尺。

垣高一丈,欹木齐垣。木脚去本,以画记之。卧而较之,过画一尺。问：去本几何？

荅曰：四丈九尺五寸。

开门去阃一尺,不合二寸。问：门广几何？

荅曰：一片广五十寸五分。

[甲乙同所立,凡甲行七,乙行三。其乙东行,而甲南行十歩,斜之会乙。问：各行几何？]*宜稼堂本脱此31字,依吴敬《九章比类》校补。

荅曰：甲南行十步,斜之十四步半,乙东行十步半。

今有勾六步,股十二步。问：容方几何？

荅曰：四步。

木遥不知去远,如方立四表,相去各一丈。令右二表与所望木参直,人立左后表之左三寸,斜睹其前左表参合。问：木远几何？

荅曰：木去右前表三百三十三尺三分之一。

山不知高,东五十三里有木,长九十五尺。人立木东三里,目高七尺,望木末与峰斜平。问山高几何？

荅曰：一百六十四丈九尺三分尺之二。([1],974～985页。)

吴敬《九章比类》基本上照录,但是其“法曰”的文字与贾宪《九章细草》不同。

(四) 吴敬《九章比类》照录了贾宪《九章细草》的部分注解

贾宪《九章细草》有时对《九章筭术》做了新的注解,吴敬《九章比类》照录。比如对“方程”,贾宪《九章细草》云：

谓方者,数之形也。程者,量度之总名,亦权衡丈尺斛斗之平法也,尤课分明多寡之义。([1],962页。)

吴敬《九章比类》完全照录了贾宪细草的这个注解。

发现了吴敬《九章比类》与贾宪《九章细草》的某些相同、近似之处,使笔者想到了近三十年前严先生关于通过吴敬《九章比类》恢复贾宪《九章细草》阙失内容的教诲,虽不能完全实现,却有某种道理。

贾宪《九章细草》九卷目前阙失卷一、二两章的全部、卷三的衰分类、卷五约半卷(主要是委粟类等内容)以及均输章1个问题、方程章4个问题。

由于吴敬《九章比类》与贾宪《九章细草》现存部分的某些算法相同、相似,那么对贾宪《九章细草》上述部分的算法,可以试图借助吴敬《九章比类》恢复之。但恢复时必须十分慎重,这在下面还要谈。

明代数学落后,《九章筭术》在社会上已不流传,贾宪的《九章细草》大概亦不流传,吴敬作为知名数学家也读不到,他只能通过杨辉的《详解九章》了解《九章筭术》及贾宪细草的内容,因此他无法区分《九章筭术》的原题和杨辉详解中新设的问题(实际上是贾宪的),而将其统统归于“古问”。而与贾宪《九章细草》现存部分对应的吴敬《九章比类》的“古问”没有贾宪《九章细草》所没有的问题,换言之,吴敬《九章比类》的古问比《九章筭术》多出的部分等于少于贾宪新设的问题,因此可以根据吴敬《九章比类》的“古问”,排除《九章筭术》的原题,恢复贾宪新设的题目。

3 不可能由《九章比类》完全恢复《九章细草》

上面论及根据吴敬《九章比类》可以对贾宪《九章细草》进行恢复,但不容忽视的是两者还有相当大的差异。这起码体现在以下几个方面：

(一)题同法不同

吴敬《九章比类》各卷“比类”之前的“古问”诸题,与贾宪《九章细草》的题目基本相同,而方法却大都不同。上面所说的由吴敬的《九章比类》恢复贾宪新设的问题,应该说是比较可靠的,但实际上只能限于设问和答案。至于这些问题的解法,从两者能够对照的内容看,比如上述勾股章10个新设的问题,吴敬都提出自己的方法,而没有照录贾宪的方法。又如贾宪在少广章新设了开4次方的问题：

积一百三十三万六千三百三十六尺。问：为三乘方几何？

答曰：三十四尺。

……递增三乘开方法草曰：上商得数,下法增为立方,除实,即原乘意。置积为实。别置一算,名曰下法。于实末常超三位,约实。一乘超一位,三乘超三位。万下定实。上商得数，三十。乘下法,生下廉。三十。乘下廉,生上廉。九百。乘上廉,生立方。二万七千。命上商,除实。余五十二万六千三百三十六。作法商第二位得数：以上商乘下法,入下廉。共六十。乘下廉,入上廉,共二千七百。乘上廉,入方。共一十万八千。又乘下法,入下廉。共九十。乘下廉,入上廉。共五千四百；又乘下法,入下廉。共一百二十。方一、上廉二、下廉三、下法四退。方一十万八千,上廉五千四百,下廉一百二十,下法定一。又于上商之次续商置得数，第二位四。以乘下法,入廉。一百二十四。乘下廉,入上廉。共五千八百九十六。乘上廉,并为立方。一十三万一千五百八十四。命上商,除实,尽,得三乘方一面之数。如三位立方,依第二位取用。([5],1426页。)

贾宪是用增乘开方法求解的,吴敬不懂增乘开方法,他抄录了贾宪的题目和答案,却删去了贾宪的方法,而用传统开方法求解。

(二)方法部分相同而大部不同

《九章筭术》有的解法不够抽象,贾宪《九章细草》提出了抽象性术文,吴敬《九章比类》有的文字与之相同,但大部分不同。比如方程术,即现今之线性方程组解法,是《九章筭术》的最高成就。对方程术,刘徽注曰：“此都术也,以空言难晓,故特系之禾以决之。”都术就是普遍方法。这是说,《九章筭术》的方程术实际上是一种普遍方法,但因为太复杂,担心太抽象的表示使人难以理解,只好借助于禾实来表述。刘徽按普遍方法注解,但没有抽象出一般方法。贾宪细草则提出了抽象性术文：

术曰：排列逐项问数,命首位物多者为主,以邻行数增乘求等。余物与价亦例乘之。以原多物对减。其余次第增减,价可为实,物可为法而止。以法除之。([1],963页。)

贾宪的方法不仅抽象,而且不拘几行均适用。吴敬《九章比类》的方法是：

术曰：排列逐项问数,以右行首位上数为法,却以中左二行上数为法。仍行排列,再以中行中数为法,却以左行中数为法。价可为实,物可为法而止。以法除之。([6],248页。)

吴敬《九章比类》的第一句和后三句话与贾宪虽一字不差,但其抽象程度不够,而且像《九章筭术》第一题那样仍是针对3行方程而言的,在消元方法上更是舍弃了贾宪方法的精髓,反映了吴敬的数学水平远低于贾宪。显然,像这类情况,无法由吴敬《九章比类》恢复贾宪《九章细草》的方法。

(三)吴敬舍弃了贾宪若干抽象性方法

还有一部分问题,《九章筭术》只给出了演算细草,贾宪细草总结出抽象性术文,吴敬《九章比类》没有采用贾宪的方法。比如《九章筭术》勾股章引葭赴岸等5个问题的术文都给出了演算细草,刘徽指出它们都是已知勾与股弦差求股、弦的问题,但没有改写《九章筭术》的术文,贾宪则给出了相当抽象的“股弦较与勾求股法”：

股弦较与勾求(弦)[股]*弦,系“股”字之误,依算法校正。法曰：勾自乘,以股弦较自乘减之,余为实。勾幂内有股弦较乘股一段,乘弦一段。上问求股,以股弦较自乘减积,正余二段股。倍股弦较为法。数中有二段股弦较乘股,故倍较也。实如法而一。除得股长。([1],975页。)

贾宪还提出了将此法应用于各个问题的细草,比如引葭赴岸问题的细草是：

草曰：勾自乘,半池方自之得二十五尺。以股弦较自乘减之,出水一尺自之一尺。余为实。二十四尺。倍较为法。倍出水为二尺。除之,得股。即深一丈二尺。([1],975页。)

贾宪还给出了由竹高折地、户高多于广、持竿出户等问题抽象出来的“股弦和与勾求股法”、“勾股较与弦求股法”、“勾弦较股弦较求勾股法”及分别应用于这些问题的细草。但是,对这些抽象性方法,吴敬《九章比类》都没有采用,吴敬对这些问题提出的细草也与贾宪《九章细草》不同。

显然,在这些情况下无法依据吴敬的《九章比类》恢复贾宪的《九章细草》。

由此可见,吴敬尽管引用了贾宪《九章细草》的部分内容,但是由于他的数学水平太低,不能理解贾宪高超的数学思想和数学贡献,《九章比类》是一部比《九章细草》低得多的著作,因此根据吴敬的《九章比类》可以恢复贾宪《九章细草》的某些内容,但是它们在贾宪细草中所占比重很小,无法从整体上由吴敬的《九章比类》恢复贾宪的《九章细草》。

1 杨辉.详解九章算法[M].//郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷.第1册.郑州：河南教育出版社,1993.

2 钱宝琮主编.中国数学史[M].//收入郭书春、刘钝等主编.李俨钱宝琮科学史全集.第5卷.沈阳：辽宁教育出版社,1998.

3 郭书春.贾宪《黄帝九章算经细草》初探——《详解九章算法》结构试析[J].自然科学史研究.1988,7(4): 328～334.

4 郭书春主编.中国科学技术史·数学卷[M].北京：科学出版社,2010.

5 永乐大典算书[M]//郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷.第1册.郑州：河南教育出版社,1993.

6 吴敬.九章算法比类大全[M].郭书春主编.中国科学技术典籍通汇·数学卷.第2册.郑州：河南教育出版社,1993．

A Preliminary Discussion on the Comparison between Wu Jing’sJiuzhangBileiand Jia Xian’sJiuzhangXicao

GUO Shuchun

(InstitutefortheHistoryofNaturalSciences,CAS,Beijing100190,China)

Some of the content of Wu Jing’sJiuzhangSuanfaBileiDaquanand Jia Xian’sHuangdiJiuzhangSuanjingXicaoare basically the same. This indicates that the content of the latter could be restored according to the former. However, the recovered content only constitutes a small proportion of Jia Xian’sJiuzhangXicao. It is impossible to restore completely theJiuzhangXicaoby using theJiuzhangBilei．

Jia Xian, Wu Jing,HuangdiJiuzhangSuanjingXicao,JiuzhangSuanfaBileiDaquan

2015- 10- 21；

2016- 06- 16

郭书春, 1941年生,山东胶州人,研究员。

N092∶O112

A

1000- 0224(2016)02- 0167- 08