分类讨论思想在数学教学中的应用

江苏省盐城交通技师学院 (224000)

沈桂兰●



分类讨论思想在数学教学中的应用

江苏省盐城交通技师学院 (224000)

沈桂兰●

分类讨论作为一种逻辑方法，是一种重要的解题策略，通过分类讨论，可以将问题化难为易，便于学生理解数学问题，使问题得到解决.本文对此进行了分析研究.

分类讨论；数学；教学；应用

一、分类讨论思想在函数中的应用

函数是数学学习阶段最重要的知识，也是难度最大的知识，学生理解和掌握的难度比较大.无论是在教学阶段还是复习阶段，对函数的教学展开都比较困难.教师在进行函数教学的时候，结合函数的特点，适当发挥出分类讨论思想的重要作用，让学生掌握分类讨论的解题方法，就可以让学生掌握解题技巧，将函数化繁为简，为学生理解和掌握函数知识提供充分的保障.

例题1 某商场推出两种优惠方法，甲种方法：购买一个书包赠送一支笔；乙种方法：购买书包和笔一律按九折优惠，书包20元/个，笔5元/支，小明和同学需购买4个书包，笔若干(不少于4支).(1)分别写出两种方式购买的费用y(元)与所买笔支数x(支)之间的函数关系式；(2)比较购买同样多的笔时，哪种方式更便宜.

教师先提示学生用一次函数知识解答数学问题，根据一次函数的特点，以及题目中“甲种方法”和“乙种方法”学生确定用分段函数的思想解答数学问题.其解题过程为：

解 (1)由题意，得y甲=20×4+5(x-4)=5x+60，y乙=90%(20×4+5x)=4.5x+72.(2)由(1)可知当y甲>y乙时5x+60>4.5x+72，解得：x>24，即当购买笔数大于24支时，乙种方式便宜．当y甲=y乙时， 5x+60=4.5x+72 解得：x=24，即当购买笔数为24支时，甲乙两种方式所用钱数相同即甲乙两种方式都可以．当y甲

由此可见，函数本身就包含分类讨论思想，在解决函数相关问题的时候，教师引导学生正确运用分类讨论思想解决数学问题，就可以迅速找出解题方法和解题思路，从而正确解答出数学问题.

二、分类讨论思想在排列组合中的应用

能否灵活运用所学知识解答实际问题，是关系学生学习水平能否迅速提高的关键性因素.数学解题实践应用中，发现大部分学生都不能灵活运用所学知识解决实际问题，使得解题目标难以实现，对提高学生的数学水平也形成了不利影响.排列组合是数学知识中既简单又繁杂的数学知识，学生理解难度比较小，但解题中需要注意的细节比较大，学生把握好各个细节问题，才能正确解答出数学问题.以教师引导学生学习习题2为例：

例题2 某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，需要增加多少种不同的车票？

由于题目中的限制条件比较大，要确保答案的完整性和准确性，需要学生用分类讨论的方法解决数学问题.

方法二：1.新站为起点，旧站为终点有3×7=21种，2.旧站为起点，新站为终点有7×3=21种，3.起点、终点均为新站有3×2=6种，以上共有21+21+6=48种.

由此可见，学生结合所学知识，灵活运用分类讨论思想，就可以正确解答出数学问题.同时，学生掌握分类讨论思想，可以让学生对数学问题的思考更加全面，有利于确保解题的准确性和可靠性.

三、分类讨论思想在数列中的应用

分类讨论思想在数列中的应用也比较广泛，数列主要分为等差数列和等比数列，在解决数列相关数学问题的时候，通常都会对不少于两种情况进行分类讨论，最后将答案集合起来，根据题目的要求，最终确定正确答案.

例题3 数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1(n≥1).(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn．

解 (1)因为an+1=2Sn+1，所以an=2Sn-1+1(n≥2).将①②两式相减得an+1-an=2an，即an+1=3an(n≥2)，又因为a2=2S1+1=3，所以a2=3a1，故{an}是首项为1，公比为3的等比数列,∴an=3n-1．

(2)设{bn}的公差为d，由T3=15，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，故可设b1=5-d，b3=5+d.又因为a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2，d2=-10.∵等差数列{bn}的各项为正，∴d>0，∴d=2，∴Tn=n2+2n.

由此可见，将分类讨论思想渗透到数学教学中，使学生掌握并灵活运用分类讨论思想解决实际问题，就可以为学生迅速明确题意，找出解题方法，进而为解答出数学问题提供充分的保障.

[1] 果宏宇. 数学中的分类讨论思想[J]. 数学学习与研究，2012(17)

[2] 江宝龙. 例说分类讨论思想在数学新教材习题中的渗透[J]. 考试周刊， 2012(21)

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