从鲁班发明锯子谈起——类比推理在小学数学教学中的运用

●冯回祥

从鲁班发明锯子谈起——类比推理在小学数学教学中的运用

●冯回祥

鲁班不仅是一名能工巧匠，而且是锯子的发明者。有一次，鲁班的手不小心被一片小草割破，他惊奇地发现，小草叶子的边沿布满了密集的小齿，原来是这些小齿把自己的手划破了，于是他便产生了联想，根据小草边沿的结构发明了锯子。在这里，鲁班用到的就是类比推理思想。类比在各种逻辑推理方法中是最富有创造性的一种方法，它在小学数学教学中有着十分广泛的应用。

一、类比的意义及其作用

所谓类比是根据两个或两类事物具有某些相同或相似的属性，其中一个（类）事物已知还具有另一属性，从而推出另一（类）事物也可能具有这一相同或相似的属性。可见，类比是用以推理的一种思维方法，用这样的思维方法进行推理通常就叫类比推理，有时简称类比或类推。

类比是理性思维的一种本能，它使人预感到经验所发现的某种事物具有某种特性，可以推论到同类的别的事物也具有同样的特性。因此，类比是一种从已知到未知，探求和发现新知识的富有成效的思维方法。人们类比水压发明了电压，类比人脑发明了电脑，类比水波发明了光波……正如贝弗里奇所说，“独创性常常在于发现原来认为没有关系的两个或两个以上的研究对象或设想之间的联系或相似之点”。在小学数学教学中，教师有意识地培养以至强化小学生的类比思维能力，使他们体验到发现和创新的快乐，对于发展他们的智能，激发他们学习数学的兴趣无疑是很有意义的。

《数学课程标准》（2011年版）中明确“归纳和类比是合情推理的主要形式”，并指出：第一学段“初步学会选择有用的信息进行简单的归纳和类比”；第二学段“进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力”；第三学段“体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力”。其目的是有序地培养学生的推理能力。

作为一种由特殊到特殊，由已知到未知，探索和发现新知识的主要的推理方法，类比推理是发现数学概念、推导定理、定义、运算法则的有效途径，是数学学习探索问题、分析问题、解决问题的重要思维方法。它可以帮助学生深入理解知识，进行发散性思维，培养合情推理能力。然而，笔者发现，在小学数学教学实践中，有些教师认为小学数学教学内容简单，没有运用什么数学思维方法，因此，他们在课堂教学时主要局限于解题的技能与技巧层面。虽然从知识层面来看，小学数学的教学内容是比较简单，但那里面处处蕴含着数学思维方法，在教学中需要教师去挖掘和渗透。

二、类比的方法策略

进行类比推理时，教师首先要引导学生在思维对象间进行比较，尽可能多地找出它们的相同点或相似点，从而确定两个（类）思维对象赖以进行类比的方向，然后以此为依据，推理出其中一个（类）对象。这是一个由特殊到特殊、由一般到一般的推理过程。它以比较为基础，同时也和抽象概括、归纳演绎等思维方法紧密相关，交叉应用。其次，我们要掌握类比的两个要领。

一是要善于观察。进行类比推理所依据的两种对象间的相同属性数量越多，结论的可靠程度越大。因此，要善于观察事物的特点，注意发现对象间的共同点或相似之处。

二是要善于联想。联想就是从一事物联想到与它性质相似的其他事物；从一种方式方法联想到与其他作用类似的其他方式方法；从一个概念联想到与它关系密切的一串概念。小学数学教学中有关联想训练的分类大致有以下几种：有定向联想，如由长方形面积公式推出平行四边形面积公式；有双向联想，如乘法分配律的正用、反用、变用；有接近联想，如由“下半年的产量是上半年的3倍”，可形成“下半年产量比上半年多2倍→下半年产量是全年产量的→下半年产量与上半年产量的比是3:1→上半年产量是下半年的→上半年产量比下半年少”等联想；有类比联想，如从等差数列求和公式（首项+末项）×项数÷2，想到梯形面积公式（上底+下底）×高÷2，从长方形面积公式“长×宽”，想到长方体体积公式“长×宽×高”等；还有对比联想，如圆周长公式与圆面积公式的对比；有关系联想，如由“求一个数的几倍用乘法”联想具有因果关系的“求一个数是另一个数的几倍用除法”，如建立“梯形”的概念后可联系前面学过的四边形，联想它们之间的关系是从属关系等。

三、类比在数学教学中的应用

1.运用类比，激发学习兴趣。

例如，写出以下奇妙的得数：

这类题组是训练学生从“类比”前面几道算式中的运算符号、数据变化规律，推测写出后面几道算式的得数，然后可让学生分组核对结果是否正确。它既可以帮助学生巩固四则混合运算的顺序、运算技能，又可以培养学生类比推理的能力，促使学生猜想，并从中欣赏到“数学美”，从而激发起学生学习数学的兴趣，唤起学生强烈的求知欲。

2.运用类比，讲清意义。

例如，教学《一个数乘以分数》，教材设计了三幅图（一桶水有12L），第一幅图求3桶水有多少升？第二幅图求桶水有多少升？第三幅图求桶水有多少升？其编排意图是要求从“类比”这三幅图的问题、算式及运算意义之间的联系中得出一个数乘以分数的意义。

3.运用类比，导出性质。

在教学《比的基本性质》时，学生刚开始接触比和比例，感觉有些困难，但学生对于除法和分数的性质是相当熟悉的。教师可以让学生“类比”除法、分数和比之间的关系,见下表:

引导学生根据分数的基本性质导出比的基本性质,会发现学生很自然说出了比的基本性质，即“比的前项和后项都乘以或者除以相同的数（零除外），比值不变”。这样的讲授使新知识不新,旧知识不旧,学生容易理解和接受。学生在学习新知识时，教师如果能合理应用旧知识进行类比,就能使学生学得轻松，学习效果也好。

4.运用类比，得出法则。

如，在教学《三位数乘多位数》时,可以将三位数乘多位数同两位数乘多位数进行类比,引出“用乘数哪一位上的数去乘,乘得的数的末位就要和哪一位对齐”,从而引导学生类推出三位数乘多位数的法则。又比如将小数四则运算与整数四则运算类比,以小数乘法运算与整数乘法之间的类比为例。如:

教师先引导学生观察左右两个乘法式子的相同点和不同点,发现除了6.8和68不同外,其余都相同,而学生已经学过整数乘法运算法则,会计算68× 4,于是教师可以让学生猜测如果将6.8扩大10倍变成68,那么左边式子的计算方法与右边式子的计算方法完全相同,这时应提醒学生注意由于一个因数扩大了10倍,积也相应扩大10倍,要想得到原题的结果,应把所得结果272缩小10倍,即是27.2。这样的教学将新旧知识类比分析,能让学生理解新知识更透彻,同时教师也能突破难点,降低教学难度。

5.运用类比，推导公式。

实践告诉我们，类比推理是人们探索发现、解决问题一种卓有成效的思维方法。人们日常的学习与生活中处处充满着类比。当学生具备了类比意识，在遇到一个新问题后，就会自然想到用以前解决过的问题进行类比，从中发现内在关联，找出共同特点，挖掘出事物的本质规律特征。如，在教学圆柱体侧面积时,学生已有长方形面积的知识,教师可以先引导学生动手操作,观察认识圆柱体侧面部位,然后展开圆柱体的侧面,将曲面转化到平面上,让学生感知其侧面展开图是一个长方形。再让学生类比长方形的长和宽与圆柱体相应部位的关系,由长方形的长(a)相当于圆柱体底面的周长（2πr），长方形的宽(b)相当于圆柱体的高（h），从而由长方形面积公式s=ab推出圆柱体的侧面积公式S=2πrh。通过这样的类比，学生不但加深了对公式的理解，而且也自然记住了公式，根本不需要去死记硬背。

又如，在学习圆柱体积时，学生已经熟悉掌握了长方体和正方体的计算公式，已经会用“底面积×高”进行计算。同理类比到圆柱也是柱体，也可用“底面积×高”的公式计算圆柱体积。接下来，教师就可以放手让学生自己进行“类比——验证”的探索过程。先将圆柱“切、拼”转化为长方体，再根据长方体体积的计算公式推导出圆柱体积的计算公式。这样，不仅降低了新知识的理解难度，而且使公式的推导变得顺理成章、简洁自然。

6.运用类比，总结解题方法。

解决数学问题的教学，如果能用系统论的观点，按题材、结构、发展变换、互逆及转化编成题组，让学生运用类比方法练习解答，效果一定会很好。当然，运用类比法解决数学问题，关键在于寻找一个合适的类比对象。

在数学解题过程中，面对一道陌生的题目，人们常常会产生一种“似曾相识”的感觉。两类不同的应用题总有一些类似的成分。如果我们分析比较这些类似点，找出两者之间的共同特性，就可能得出令人欣喜的结果和方法。通过比较和联想，将一类数学问题的解题技巧与方法迁移到另一类数学问题的解决上去，让学生触类旁通，巧妙迁移，可以有效提高学生解题能力。

例如，鸡兔同笼题和行程问题都是小学数学中常见的应用题。在学完前者后，教师就可以出示下题，引导学生找出两者之间的共同点。如，某人爬山，早晨7时开始上山，每小时走3km，到了山顶休息1小时。下山每小时走5km,下午1时回到山下，共走了19km。问上山和下山的路程各多少km？这道题表面上看是行程问题，但其实不过是一道典型的鸡兔同笼题的变型题。通过分析可以得出二者的相似之处：上山时速为3km，下山5km，与“单只鸡与兔的脚的数目”相当。全程除去休息共用13-7-1=5小时，相当于鸡兔的总数。全程19km相当于“鸡兔的总脚数”。上山和下山所用时间各多少，相当于“鸡兔各几只”。

由此可见，该“行程题”的解答与“鸡兔同笼”题的解法完全相同。这样，通过类比发现问题，引导学生思考探究、应用迁移、归纳总结、自主构建知识。如此，既可激发学生的求知欲，启迪学生的思维，培养学生自主构建知识的能力，也可以顺利实现从“旧知”向“新知”的“知识迁移”。

同理，在小学数学中,“工程问题”中的三个数量有“工作效率×工作时间=工作总量”这样的关系。而“行程问题”中的三个量也有类似的关系，即速度×时间=路程。因此，工程问题的解法可以类推到行程问题中去。这样，通过类比沟通了两类不同的应用题,总结出两类题目可以用同样的数学方法解决,从而达到举一反三的效果，避免陷入题海战术，使学生的学习变得更加轻松。

类比推理是一种或然推理，依次得出的结论可能是正确的，也可能是不正确的。它的真实性要经过论证和检验,才不会造成失误和差错。比如，将100增加10，然后再减少10，结果等于100。如果将此整数运算规律类比到分数和百分数的运算，得出“100增加10%,然后再减少10%，结果仍为100”，就成为一个错误的结论。但在小学数学中,一般不涉及证明方法。因此,在教学中，既要重视类比推理的应用，又要防止学生乱用类比造成错误。对类比推理得到的结论,教师要提醒学生养成检验的习惯，学会用实例进行检查，以提高类比推理的能力。

类比推理不仅使数学知识容易理解，而且使有关定律、法则、公式等有规律的知识记忆变得自然和简洁，从而有效激发起学生的创造力。正如美籍匈牙利数学家乔治·波利亚所说，“我们应该讨论一般化、特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉”。

因此，在小学数学课堂教学中，只要我们结合学生实际，优选教学策略，引导学生大胆类比，自主探究，寻找规律，就会点燃学生思维的火花，就能夯实学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，为最终培养学生批判性思维和创新精神打下良好的基础。

（作者单位：华中科技大学附属小学）

责任编辑严芳