对易拉罐的优化设计研究

2016-12-15向国锐

西部皮革 2016年20期

关键词：罐体易拉罐侧壁

向国锐

(成都七中实验中学，四川成都 610000)

S1=πr2,S2=πr2,S3=2πrh

S=S1+S2+S3

S=2πr2+2πrh

minS=2πr2+2πrh

V2=V3=2πr2a

V材=V1+V2+V3=2πrha+8πra2+hπa2+4πa3+4πr2a

V材≈V=2πrha+4πr2a

minV=2ahπr+4aπr2

对易拉罐的优化设计研究

向国锐

(成都七中实验中学，四川成都 610000)

本文考虑了生活中已知容积(体积)的易拉罐材料最省问题，在容积不变的情况下，分别讨论了易拉罐材料的表面积以及体检的最优模型。利用极值存在原理，通过求导数的方法，分别给出了在不同情形下的易拉罐最优设计，同时得到用料最少时罐体的高与半径的关系。

容积；设计；易拉罐

1 问题介绍

在生活中随处可见的如加多宝、王老吉、可口可乐等易拉罐饮料，如果我们仔细观察，发现他们的形状大小极其相似,皆大体是一个直圆柱形状。那么为何规格也极其相似，我将就此形状建立相应的数学模型来说明材料最省的规格，给出优化方案。

2 模型的建立与求解

2.1 易拉罐的体积测量

选啤酒罐(罐上标量355毫升)作为材料，测量其真实容积，为了避免一次测试造成的人为误差，多次测量并求平均值作为最终容积。

将啤酒罐装满水后倒入500毫升量筒内，平视液面凹处并读数。重复上述操作十次，记录每次的读数，数据如表1所示。算出十次测量的平均值作为最终容积。

表1 啤酒罐容积的10次测量数据

求十次测量平均值并作为真实体积，得到容积平均值为364.95毫升。为了便于计算，下面将罐体容积按V0=365毫升进行计算。

2.2 易拉罐模型的建立与求解

易拉罐的上下底面可近视为圆面，侧壁是平滑的柱形，其底面与侧壁连接处的卷边以及上底面的拉环等小技巧设计所用的材料统统忽略，即把该易拉罐形状假设为圆柱体，只考虑构成这圆柱体所用的材料，并以此建立模型求出最优时的解。

2.2.1 忽略厚度的圆柱体模型的建立与求解

假设圆柱体各个面的厚度相同，并将厚度忽略不计。此时，设圆柱体高为h,底面半径为r，表面积为S(如图1所示)。圆柱体表面积大小即所用材料多少。

图1 忽略壁面厚度的罐体圆柱体模型

设S1,S2代表上下底面面积，S3代表侧面面积，则有

S1=πr2,S2=πr2,S3=2πrh

因为圆柱体的表面积为上、下底面面积和侧面面积之和，即

S=S1+S2+S3

故有，

S=2πr2+2πrh

从而得到在容积一定的情况下，表面积的优化模型为

minS=2πr2+2πrh

(1)

为了求解上述优化模型，先从(2)式中求得

(4)

将(4)式带入(1)式中，得

(5)

解得

(6)

将r的取值带入(4)式，得到

(7)

2.2.2 计入圆柱体厚度的模型建立与求解

在实际中圆柱体各面厚度并不相同，上下两底面厚度基本相同且大于侧壁的厚度,通过对易拉罐的实际测量,管壁厚度约为0.1毫米，罐盖和罐底的厚度是其他部分厚度的2倍左右。设侧壁厚度为a,上下两底面厚度为2a。圆柱体内部空间高为h,圆柱体内半径为r，易拉罐所用材料体积为V材(如图2所示)，易拉罐所用材料的体积V材大小即材料的用量。