双扰动条件下水轮机竖向振动传导功率流分析

许新勇， 职保平， 蒋 莉,3， 吴珊珊

(1.华北水利水电大学 水利学院，郑州 450045； 2.黄河水利职业技术学院，河南 开封 475004; 3.大连理工大学 建设工程学部，辽宁 大连 116024; 4.水利部珠江水利委员会，广州 510611))



双扰动条件下水轮机竖向振动传导功率流分析

许新勇1， 职保平2，3， 蒋 莉1,3， 吴珊珊1

(1.华北水利水电大学 水利学院，郑州 450045； 2.黄河水利职业技术学院，河南 开封 475004; 3.大连理工大学 建设工程学部，辽宁 大连 116024; 4.水利部珠江水利委员会，广州 510611))

为分析水电站实际振动的复杂扰动对结构动力特性的影响，在单扰动分析的基础上，结合功率流、Kronecker代数、Hadamard积及随机摄动理论，推导了双扰动条件下的功率流随机参数结构分析方法，并应用于水电站竖向振动传导分析。通过水电站厂房结构振动分析表明，双扰动分析方法的结果是正确的，可分析各参数扰动对能量传导率的灵敏度问题。据此可更全面的分析水电站竖向振动的传递路径，同时为解决复杂扰动的水电站振动传递路径系统分析提供一种新的解决思路。

双扰动；功率流；随机参数结构；传导路径；水电站

振动传递分析属于振动控制的范畴，以功率流为代表的能量传导法在其领域发展迅猛，20世纪70年代后期，用功率流方法评价振动噪声得到广泛认可[1-2]，其中PINNINGTON等[3-4]对功率流的若干研究成果做了系统的归纳，并应用于机械振动传导及噪声分析中，并取得了显著成果。目前，功率流理论已在船舶减振隔振[5-6]、汽车制造及其噪声控制等研究领域得到应用，取得显著成果。

水电站这类巨型复杂结构，各部件生产、安装所导致的材料参数、几何尺寸、边界条件等均存在不确定性(如混凝土等材料参数)，该类不确定性与参数同步存在，属于乘性扰动，而测量所得的参数必然伴随着由噪声干扰(多机工作振动、桥机运行振动干扰等)、测试扰动(环境噪声、仪器噪声等)等引起的加性扰动[7]。水电站振动系统的各参数富含两类扰动性，属于典型的随机结构问题。结构参数的扰动性可能引起结构动力特性和动力响应的大幅度变化，使力学参数的随机性在一定条件下成为主导因素。

经过近半个世纪的发展，随机参数结构的研究主要发展了Monte-Carlo模拟[8-9]、摄动法[10-12]、随机摄动有限元、随机因子法[13]、区间因子法[14]等，这些方法均将各参数的扰动定义为单一扰动。但实际水电站振动分析时，各参数存在非常复杂的扰动性，针对多扰动的研究目前处于探索阶段，近年来，仅本文作者等[15-16]推导了两类扰动性的随机摄动法，并应用于水电站简化模型振动传导分析。

考虑参数扰动性的水电机组振动传导研究仅处于探索阶段，马震岳团队引入随机参数，针对机组-厂房耦合振动系统的振动传导路径进行解析分析[17-21]。功率流方法在传导分析中具有明显优势，在多扰动条件下的机组-厂房结构振动传导研究中引入功率流方法能避免高阶矩阵的偏导求解，为多扰动水电机组振动传导的研究提供一种新的分析方法，也能对水电站振动控制提供可相互验证的理论依据。

之前的研究中[15-16]，作者以摄动法为基础，针对简单结构，分析了复杂扰动条件下摄动法与Monte-Carlo模拟计算的差异，为本文提供了研究基础，由于分析模型随机参数多达42个，随机模拟法计算量将不可估计，方法不再适用，因此，本文仅分析考虑参数随机性的功率流分析。最终，本文在功率流理论、Kronecker代数、Hadamard积、摄动理论等方法的基础上，结合两类扰动性的特点，提出适用于水电机组的双扰动功率流分析方法，并进行理论分析和数值计算，给出随机路径的水力振动功率流的一阶矩及二阶矩的一般数学表达式，为研究参数具有两类不确定性的水电机组振动能量传导问题提供依据。

1 振动传递路径系统的功率流方法

功率是指单位时间内作用荷载所做的功即公式(1)，其中，Fi和Vi分别代表结构有限域对应的作用荷载和速度分量，功率能有效地反映出外荷载和结构响应的组合特征，也能反映出结构的阻抗特性，因此在结构振动传导中，对复杂结构中能量传导路径的识别意义重大。若在时域内对某时间段通过某截面或某区域的功率进行汇总，便可实现对复杂结构功率传导规律的分析。若结构荷载可简化为简谐荷载，其结构速度响应也呈简谐变化，则对某时段某点的功率流计算公式可表达为式(2)。将式(2)中的变量用复向量表示，并进行复数运算，可得式(3)的表达形式，右上角标带有*表示向量的共轭向量。

Pi=Fi·Vi

(1)

(2)

(3)

式中:Pi为T时间段内功率流的有效值，单位W；Fi为简谐荷载，复向量，单位N；Vi为结构某点的响应速度值，复向量，单位m/s；ω为简谐振动的角频率，单位rad/s；φ为速度与荷载的相位角，单位rad。β=V/F即是结构点导纳，1/β即为节点阻抗，可以通过实验的方法测得结构功率流的传导。若荷载激励用一个力的功率谱密度来定义，那么P(ω)就是功率流谱密度。

图1 伞式机组和厂房耦合系统简化模型Fig.1 Simplified model of the umbrella hydrogenerator unit and powerhouse coupling system

图2 功率流路径示意图Fig.2 The schematic diagram of Power flow path

图3 多层隔振系统及动力传递示意图Fig.3 The schematic diagram of Multi-layer vibration isolation system and power transmission

假设整个机组厂房结构只在水轮机转轮处受竖向简谐激励，如图1所示，且初始相位在整个过程中不发生改变，伞式机组的水电站水力振源的竖向振动可看作位于水轮机处的单振源多路径振动系统，将其简化成多路径的功率流系统，如图2所示。其中，轴系统主要包含受理源水轮机转轮质量、水体附加质量和1/2转子支架至水轮机处轴的质量m3，转子支架中心体质量、1/2支臂的总质量和1/2整个轴质量m2，转轮边缘处的集中质量m4，下机架靠近大轴处集中质量m5，与质量体m2通过推力轴承k51连接；励磁机转子带轴和1/2大轴顶部至转子支架的轴系质量及其他作用在大轴顶部的质量m1作为附加单元负载至转子中心体m2上；顶盖系统主要包含，质量体m3、顶盖靠近大轴处集中质量m6，中间由密封弹簧k61连接。

将各个部件分解成减振、隔振领域中的质量单元和隔振单元，即理论上将单元的振动能量分离计算，质量作为刚体单独作用，单元的刚度和阻尼组成隔振单元，此时利用功率流的相关理论计算得到两条路径的总功率流。由于水电站的机墩部分直接与地基部分相连，作刚性假设，因此不考虑基础作用。各路径内包含多个部件，将各路径看作多层隔振系统，即将图1中各个单元分解成图3形式，从而将各路径进行分解，各单元利用四端参数法的功率流方法可得：

(4)

(5)

式中:Fi，Fsi，Fi′，Fsi′分别表示各部件输入端和输出端的受力；Vi，Vsi，Vi′，Vsi′分别表示各部件输入端和输出端的速度；ksi，csi分别为隔振系统的刚度和阻尼。由式(4)、(5)可计算两条路径内部的各个单元的功率流，并最终得到每条路径传递至机墩的功率流：

(6)

(7)

式中:

(8)

(9)

由此可计算各路径功率为：

(10)

(11)

式中:Pzhou，Fzhou，Vzhou分别是通过轴系振动传递至机墩的功率流，力和速度；Pding，Fding，Vding分别是振动通过顶盖系统传递至机墩的功率流，力和速度，至此可得各路径的功率流排序。在振动传导的分析中，功率流的方法仅关注结构输入输出之间的能量关系，避免了求解整体结构的动力平衡方程及传递函数，即无需建立结构的整体刚度、阻尼、质量有限元矩阵，极大幅度降低了计算时间，提高了工程应用的计算效率，同时功率流方法也具有表征直观等多种优势。

2 基于双扰动的功率流路径排序

已有的研究中，针对随机参数结构的功率流分析都是针对单一扰动研究，且均是对加性扰动的研究。然而，实际中往往同时存在加性和乘性扰动，乘性扰动与加性扰动的处理方法不尽相同，目前没有方法对两类扰动量功率流的联合分析和研究。本文针对两类扰动量的特点，推导了计算动力特性的公式。

2.1 双扰动形式

将同时包含乘性扰动量和加性扰动量的时不变参数表示为：

x=xmxd+xa

(12)

2.2 双扰动功率流传导路径排序

根据随机摄动法方法进行拓展，推导了含双扰动的功率流随机摄动法，其计算步骤如下：

受乘性扰动、加性扰动影响的参数，其数字期望为：

E(x)=E(xmxd+xa)=E(xmxd)+E(xa)=xd(13)

式中：E(x)为x的数学期望。若乘性因子与加性因子独立不相关，根据Kronecker代数以及Hadamard积、随机摄动理论得：

Var(x)=E{[x-Ex][2]}=E{[(xm-1)xd+

xa][2]}=(σxm)[2]°(xd)[2]+(σxa)[2]+

2×[σxm°xd]⊗σxa

(14)

EP=E[Pm(x)Pd(x)+Pa(x)]=

E[Pm(x)]E[Pd(x)]+E[Pa(x)]=Pd(x)

(15)

根据Taylor展式，将P在Pd处一阶展开得

(16)

忽略扰动的高阶项O((xm-1)xd+xa)得：

(17)

利用协相关函数得

2×[σxm°xd]⊗σxa}

(18)

(19)

式(19)为P对x的各项偏导数，即对各个参数的灵敏度，可利用Mathematica软件的符号运算求得。将式(19)代入式(18)即可得到考虑对每个参数随机量的总功率的方差。

定义功率流传递率为：

(20)

式(20)中:Pout，Pin分别为输出和输入功率流根据随机变量概率分析的代数综合法(algebra synthesis method)，传递率的期望和方差为：

(21)

(22)

式中：ρ为传递与输入功率流的相关系数。正态分布除以常数时，仍为正态分布。而E(Pin)、E(Pout)对于确定系统而言均是可知的确定部分，因此传递率的方差仍服从正态分布。通过求解不同路径的传递率即可得出振动路径在频域内的梯度排序。

3 水电站仿真分析

某巨型水电站伞式机组为例，该机组单机引用流量为423.805 m3/s，最大水头为226 m，最小水头为155 m，该电站进口段蜗壳直径达7.0 m，振动传递路径如图1所示，不考虑蜗壳及其下部结构影响，假设激励为单频简谐激励，各参数均值由水电站施工设计图和实际质量折算得到：m1=8.28×104，m2=1.042×106，m3=3.29×105，m4=9×105，m5=1.2×105，m6=1.15×105，m7=4.79×106，质量m的单位为kg；k1=7.26×1010，k3=5.72×1010，k4=2.32×1010，k51=2.20×1012，k52=9.41×109，k61=1.73×108，k62=1.73×1010，刚度k单位N/m；c1=5.48×106，c3=4.11×106，c4=1.02×107，c51=2.57×107，c52=7.51×105，c61=2.23×105，c62=9.99×104，阻尼c的单位为N·s/m；随机参数服从正态分布，其中油膜、水封刚度获取较难，且刚度随时间变化，取值误差较大，因此取包含推力轴承的竖向刚度k51和顶盖与转轮之间的密封等效竖向刚度k61乘性随机量的方差为0.15；顶盖上承载的控制部件等附加部件较多，致使刚度不确定，取等效弯曲刚度k62的乘性随机量的方差为0.1；其余参数的乘性随机方差为0.05。加性随机量中包含环境噪声和测量噪声，同时随机量幅值的大小与测量量程有关，因此根据各参数的均值分别取质量的加性随机变量方差为104和刚度的加性随机变量方差为108。公式推导采用Mathematica软件，功率计算由Matlab程序完成，其生产随机扰动样本数为10 000，生成期望、方差的误差小于10-4。

图4给出采用单扰动与双扰动形式计算能量传递率期望的相对误差，可以看到在期望计算中顶盖系统相对误差在4×10-4%左右，而轴系统由于传递部件较多，相较于顶盖系统其相对误差在9×10-4%左右；图5给出采用单扰动与双扰动形式计算能量传递率方差的相对误差，其中，顶盖系统在100～300 rad/s范围内出现较大波动，且误差范围为-0.7%至1%，而顶盖系统相对误差在3.8×10-4%左右。

图4 单双扰动计算传导率期望的相对误差Fig.4 The relative error of single and double disturbance calculating conductivity expectations

图5 单双扰动计算传导率方差的相对误差Fig.5 The relative error of single and double disturbance calculating conductivity of variance

图4、图5中的差异一方面由在计算过程中引入参数存在极值点以及扰动相关考虑不完善等因素造成的，另一方面与扰动变量有关，多次生成扰动计算结果与图4、图5基本吻合。期望和方差的相对误差图表明，采用双扰动形式计算与单扰动形式计算结果极为接近。

图6给出采用双扰动形式分析的竖向振动路径功率传递率的期望排序，图7给出振动路径功率传递率的方差排序。轴系统传递率期望与方差均大于顶盖系统，轴系统与顶盖系统的传递能量比为142 862：1，轴系统与顶盖系统的传递率期望比为213 399：1；相较于随机摄动法计算的传递率而言[7,21]，两条路径的传递比约为摄动法计算的平方，这是由于功率流由力和速度构成，而传递力并不考虑速度的因素，因此，结果也将引入速度的倍数关系。图6、7表明顶盖系统传递率远小于轴系统，这是符合实际规律的，在传统分析中不考虑顶盖系统是可以满足精度分析要求的，但为分析高阶阵型、结构振动形态、区分振动传导路径等问题时，特别是为使测试数据与仿真分析相对应时，考虑顶盖系统是十分有必要的。

图6 双扰动计算各路径传递率期望Fig.6 The expectations of double disturbance calculating the path passing rate

图7 双扰动计算各路径传递率方差Fig.7 The variance of double disturbance calculating the path passing rate

4 结 论

实际测试环境中，扰动成分复杂的，干扰源也不能确定，单扰动量进行分析，存在一定的局限性，因此，在作者之前研究的基础上，本文进一步推导了双扰动形式的功率流随机参数结构分析方法，并将其应用于水电站竖向振动传导分析，其研究不仅仅完善了随机参数结构振动分析方法，并为研究多扰动条件下水电站振动传导问题提供了新的思路，本文主要得到以下结论：

(1) 利用功率流理论、Kronecker代数、Hadamard积、随机摄动理论等方法，推导双扰动功率流随机参数分析方法，其计算与单扰动基本保持一致，表明推导形式和计算过程是正确的，可用于分析富含两类扰动(突变信号、环境噪声、仪器噪声等)的路径传递能量、传递率及其数学特征值等问题的解析计算方法。

(2) 竖向振动传导分析中，轴系统传递率远大于顶盖系统，传统分析中，忽略顶盖系统是可行的，但随着电站的巨型化，顶盖系统负载的附加质量越来越大，在进一步精确分析时，有必要考虑顶盖系统对整个机组-厂房耦合结构振动的影响。

(3) 分析结果表明，参数的随机性对结果具有一定的影响，参数扰动性的确定，特别是推力轴承、密封及其油膜力的扰动范围，对结果影响较大，因此，参数扰动性的确立要更为慎重，也是未来工作的方向。

(4) 水电站机组与厂房的振动传递路径是一个复杂的过程，通过对水电站竖向振动模型在频域内传递功率的灵敏度以及功率的传递率分析可以清晰了解竖向振动中各个传递路径的贡献度，为研究整个水电站机组厂房的传递路径以及振动调控打下基础。

[1] GOYDER H G D, WHITE R G. Vibration power flow from machines into built-up structures: partⅠandⅡ [J]. Journal of Sound and Vibration, 1980,68:59-75.

[2] WOHLEVER J L, BEMHARD R J. Mechanical energy flow models of rods and beams [J]. Journal of Sound and Vibration, 1992，153(1):1-19.

[3] PINNINGTON R J, WHITE R G. Power flow through isolators to resonant and nonresonant beams [J]. Journal of Sound and Vibration,1981, 75(2):179-197.

[4] PINNINGTON G R. Vibrational power transmission from finite source beam to an infinite receiver beam via a continuous mount[J]. Journal of Sound and Vibration,1990，137(1):117-129.

[5] 殷学文，崔宏飞，顾晓军，等. 功率流理论、统计能量分析和能量有限元法之间的关联性[J]. 船舶力学, 2007,11(4): 637-646. YIN Xuewen, CUI Hongfei, GU Xiaojun, et al. Relevancy among power flow theory, statistical energy analysis and energy finite element method [J]. Journal of Ship Mechanics,2007, 11(4): 637-646.

[6] 赵群，张义民，赵晋芳. 频域内振动路径的功率流传递度排序[J]. 航空动力学报, 2009(5): 1177-1181. ZHAO Qun, ZHANG Yimin, ZHAO Jinfang. Powerflow transfer ratio of vibration path systems in frequency range [J]. Journal of Aerospace Power,2009(5): 1177-1181.

[7] 职保平. 基于复杂扰动的水电机组与厂房振动传导研究[D]. 大连:大连理工大学，2014.

[8] SINGH B N, YADAV D, LYENGAR N G R. Natural frequencies of composite plates with random material properties using higher-order shear deformation theory [J]. Int. J. Mech. Sci., 2001, 43:2193-2214.

[9] POPESCU T D. Detection and diagnosis of model parameter and noise variance changes with application in seismic signal processing [J]. Mech. Syst. Sig. Pr.,2011,25(5):1598-1616.

[10] KAPLUNOV J D, NOLDE E V, SHORR B F. A perturbation approach for evaluating natural frequencies of moderately thick elliptic plates [J]. J. Sound Vib., 2005, 281(3/4/5):905-919.

[12] MADANI M, FATHIZADEH M, KHAN Y, et al. On the coupling of the homotopy perturbation method and laplace transformation [J]. Math. Comput. Model., 2011, 53(9/10):1937-1945.

[13] MA J, GAO W, WRIGGERS P, et al. The analyses of dynamic response and reliability of fuzzy-random truss under stationary stochastic excitation [J]. Comput. Mech., 2010, 45(5):443-455.

[14] GAO W, SONG C M, TIN-LOI F. Probabilistic interval response and reliability analysis of structures with a mixture of random and interval properties [J]. Comput. Model. Eng. Sci., 2009, 46(2)：151-189.

[15] ZHI B P, MA Z Y. Disturbance analysis of hydropower station vertical vibration dynamic characteristics: the effect of dual disturbances [J]. Structural Engineering and Mechanics. 2015, 53(2): 297-309.

[16] ZHI B P, MA Z Y. Path transmissibility analysis considering two types of correlations in hydropower stations [J]. Journal of Applied Mathematics, 2013, 802546.

[17] 马震岳, 董毓新. 水电站机组及厂房振动的研究与治理[M]. 北京: 中国水利水电出版社,2004:34-35.

[18] 马震岳, 董毓新. 水轮发电机组动力学[M]. 大连: 大连理工出版社, 2003:197-199.

[19] 徐伟，马震岳，职保平. 基于功率流理论的大型水电站厂房结构脉动压力频响分析[J]. 水利学报,2012(5):615-622. XU Wei, MA Zhenyue, ZHI Baoping. Analysis on frequency response to pulsating pressure in large hydropower house based on the theory of power flow[J]. ShuiLi XueBao, 2012(5):615-622.

[20] 徐伟，马震岳，职保平. 水压脉动能量传导对水电站厂房墙体影响分析[J]. 水力发电学报, 2013, 32(2): 233-239. XU Wei, MA Zhenyue, ZHI Baoping. Analysis on power flow transmission of pressure fluctuation along the walls ofhydropower house [J]. Journal of Hydroelectric Engineering, 2013, 32(2): 233-239.

[21] 职保平，马震岳，吴嵌嵌. 考虑顶盖系统的水轮机竖向振动传递路径分析[J]. 水力发电学报, 2013, 32(3): 241-246. ZHI Baoping, MA Zhenyue, WU Qianqian. Study on transfer paths of vertical vibrations in the head cover system of turbine [J]. Journal of Hydroelectric Engineering, 2013, 32(3): 241-246.

Vertical vibration power flow of a water turbine under double-disturbance condition

XU Xinyong1, ZHI Baoping2,3, JIANG Li1,3, WU Shanshan1

(1.School of water conservancy, North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450045；2. Yellow River Conservancy Technical Institute, Kaifeng 475004；3. Faculty of Infrastructure Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024；4. Pearl River Water Resources Commission of the Ministry of Water Resources, Guangzhou 510611)

Here, the effects of structure parametric disturbances on the dynamic characteristics of a practical hydropower station’s powerhouse were analyzed. The power flow analysis method of random parametric structures under double disturbances was deduced based on the analysis of single disturbance, and combining with power flow, Kronecker algebra, Hadamard product and the random perturbation theory. The application of the stochastic perturbation method was expanded. The correctness and feasibility of these formulas were validated by analyzing a hydropower station’s powerhouse vibration model. The study provided a new way to accurately analyze the transfer paths of vertical vibration in hydropower stations.

dual disturbances; power flow; stochastic perturbation method; transfer path; hydropower station

国家自然科学基金(U1404529；51379030)；河南省基础与前沿技术研究项目(142300410176)；河南省高校青年骨干教师资助计划项目(2015GGJS-102)；河南省教育厅重点科技项目(13A570715)；华北水利水电大学青年创新人才计划(70421)；感谢水资源高效利用与保障工程河南省协同创新中心支持

2015-08-05 修改稿收到日期：2015-10-09

许新勇 男，博士，副教授，1978年生

职保平 男，博士，讲师，1981年生

TV731

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.010