一类超椭圆曲线上的有理点

2016-12-15杨仕椿汤建钢

浙江大学学报（理学版） 2016年6期

关键词：有理素数整数

杨仕椿, 汤建钢

(1. 阿坝师范学院数学与财经系, 四川汶川 623000； 2. 伊犁师范学院数学与统计学院, 新疆伊宁 835000)

一类超椭圆曲线上的有理点

杨仕椿1,2, 汤建钢2*

(1. 阿坝师范学院数学与财经系, 四川汶川 623000； 2. 伊犁师范学院数学与统计学院, 新疆伊宁 835000)

设p为素数,r≥0是整数.利用广义Fermat方程的深刻结论证明了：若3≤q<100,q≠31,则当p≥5时,超椭圆曲线yp=x(x+qr)上仅有平凡的有理点y=0；当q=5,11,23,29,41,47,59,83时,给出了该超椭圆曲线所有的有理点(x,y).特别地,当q=3且r=1时,证明了超椭圆曲线yp=x(x+3)仅在p=2时有非平凡的有理点(x,y),并给出了此时所有的非平凡有理点.

有理点;超椭圆曲线;广义Fermat方程

0 引言

设x≥1,l≥2,k≥2,0≤d1<…

yk=(x+d1)…(x+dl)

(1)

有理点的研究引人注目[1-7].1975年,ERDÖS等[2]首先证明了超椭圆曲线(1)在dl=l时没有整点.随后,SANDER[3]，LAKHAL等[4],SARADHA等[5-6]以及BENNETT[7]均对超椭圆曲线(1)进行了深入细致的探讨和研究,获得了一系列结果.

当l较小时,曲线(1)上的有理点研究似乎会变得困难一些.SANDER[3]、LAKHAL等[4]分别研究了当l≤5时方程(1)的情形.2004年,BENNETT[7]获得了当l=3,4,5时方程(1)的大量整数解.最近,利用Fermat方程以及广义Fermat方程[8-9]等相关方程的深刻结论，沈忠燕等[10-11]求出了曲线yk=x(x+2),yk=x(x+2)(x+3)，yk=x(x+1)(x+3),以及曲线yk=x(x+2m)上所有的有理点,任霄等[12]求出了曲线yk=x(x+1)(x+3)(x+4)上当k≥3,k≠4时的所有有理点.

本文将运用沈忠燕等[10-11]的思路,利用广义Fermat方程的相关结论,考虑超椭圆曲线

yp=x(x+qr)

(2)

上的有理点,其中p,q均为素数,r为非负整数.对满足3≤q<100的素数,以及q∈{5,11,23,29,41,47,59,83}和q=3且r=1的情形分别进行研究,获得了一些相应的结论.

1 引理

引理1 令L和p均为素数,r为整数且3≤L<100,p≥5,0

xp+Lryp=zp

(3)

除L=31外无非零整数解(x,y,z).

证明见文献[13]中的定理15.5.3.

引理2 若p均为素数,且p≥11,0

xp+31ryp=zp

(4)

无非零整数解(x,y,z).

证明见文献[9]定理1.

引理3 若p均为素数,且p≡2,5(mod 9),则方程

x3+y3+cz3=0

(5)

在c=1,3,p,p2时(除c=2时的非零整数解(x,y,z)=(1,1,-1)外)，无非零整数解(x,y,z).

证明见文献[14]定理6.4.17.

2 主要结论及证明

定理1 设q为素数,且3≤q<100,q≠31,则当p≥5时,超椭圆曲线(2)上仅有平凡有理点y=0.若q=31,p≥11,则超椭圆曲线(2)上仅有平凡有理点y=0.

cpb2=dpa(a+qrb).

(6)

由于gcd(a,b)=gcd(c,d)=1,则gcd(b,a+qrb)=gcd(cp,dp)=1,因此,b2|dp且dp|b2,则b2=dp,于是方程(6)可化简为

cp=a(a+qrb), b2=dp.

(7)

令gcd(a,a+qrb)=gcd(a,qr)=qδ,显然0≤δ≤r.由方程(7)可得,当p≥3时,存在互素的整数x1,z1以及整数y1,k,使得

(8)

且

其中，当δ=0时,k=0,当δ>0时,k≥0.

若δ=0,令r=pl+s,0≤s

(9)

由引理1,可得当p≥5时,除q=31外,方程(9)无非零整数解(x2,y2,z2).若q=31,p≥11,由引理2,可得此时方程(9)也无非零整数解.因此,x1=y1=0,即a=c=0,代入式(2)，可得y=0.

若0<δ≤r,且pk-δ>0,令r=pl+s,0≤s

(10)

定理1得证.

定理2 设q∈{5,11,23,29,41,47,59,83},则超椭圆曲线(2)在p≥3时仅有平凡有理点y=0,在p=2时曲线(2)的所有有理点(x,y)满足

其中c1,c2为整数,且c1≠±c2.

证明由定理1可知,如果q∈{5,11,23,29,41,47,59,83},则超椭圆曲线(2)在p≥5时仅有平凡有理点y=0.

当p=3时,令r=3l+s,0≤s<3,l,s为整数,由方程(8),可得

(11)

其中0≤δ≤r,且当δ=0时,k=0,当δ>0时,k≥0.若δ=0,由于q≡2,5(mod 9),则由引理3，可得该方程没有非零整数解(x,y,z).若0<δ≤r,则采用与定理1类似的讨论方法,通过比较方程两边q的指数,利用引理3,同理可得方程(11)无非零整数解.

定理2得证.

采用与定理1、2类似的证明方法,利用引理1以及引理3中c=3的结论,同理可得:

3 问题

问题1 设p为素数,则超椭圆曲线yp=x(x+9)仅在p=2,3时有非平凡的有理点(x,y)?

问题2 设素数p≥3,则超椭圆曲线yp=x(x+14)仅在p=5时有非平凡的有理点(x,y)=(2,2)?

问题3 设p为素数,a为任意整数,则超椭圆曲线yp=x(x+a)上有哪些非平凡的有理点(x,y)?

以上问题有待进一步探索！

作者衷心感谢审稿专家的宝贵建议!

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YANG Shichun1,2, TANG Jiangang2

(1.DepartmentofMathematicsandFinance,AbaTeachersUniversity,Wenchuan623000,SichuanProvince,China; 2.CollegeofMathematicsandStatistics,YiliNormalUniversity,Yinning835000,theXinjiangUygurAutonomousRegion,China)

Rational points on a class of super elliptic curve. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(6):676-678

Letpbe a prime, andr≥0 be a integer. Using the deeply result of generalized Fermat equation, we prove that if 3≤q<100 andq≠31, then the superelliptic curveyp=x(x+qr) has only ordinary rational pointy=0 whenp≥5. Ifq=5,11,23,29,41,47,59,83, we give all of the rational points (x,y) in the superelliptic curve. Furthermore, ifq=3 andr=1, the superelliptic curveyp=x(x+3) has a non-trivial rational point (x,y) only whenp=2.

rational point; super elliptic curve; generalized Fermat equation