分段线性压电能量收集器机电耦合建模

刘少刚, 程千驹, 赵丹, 冯立锋

(哈尔滨工程大学 机电工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001)



分段线性压电能量收集器机电耦合建模

刘少刚, 程千驹, 赵丹, 冯立锋

(哈尔滨工程大学 机电工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

为了减小现有分段线性压电能量收集器的纯机械模型理论值与实验值之间的误差，提出了装置的机电耦合模型，基于该模型给出了装置发电电压的幅频响应关系式，通过加工实验装置及搭建实验平台得到分段线性压电能量收集器发电性能实验结果。实验值与纯机械模型理论值、机电耦合模型理论值的对比表明：所提出的机电耦合模型相对于纯机械模型能够有效减小理论值与实验值之间的误差。在外部激振加速度为2 m/s2,撞击间距为1 mm条件下，装置发电最大电压值相对误差由15.81%减小到12.72%，工作频率宽度的相对误差由24.42%减小到4.41%。同时，对不同激振加速度及不同撞击间距的研究表明，所提出机电耦合模型更适用于分段线性压电能量收集器的进一步参数优化研究。

分段线性；机电耦合；振动；压电；能量收集；频带宽度

随着集成电路技术的快速发展，微电子元器件的能量损耗日益减小，同时与之相关的传统电池供能所具有的寿命短及更换程序复杂等缺点，促使人们开始探索利用环境中无处不在的振动能量为微机电系统供能的方法[1-16]。针对振动能量收集主要有磁电转换[7]、静电转换[8-10]及压电转换[11-16]三种转换机制，由于具有结构简单、能量密度高、寿命长、无电磁干扰等优点，基于压电转换机制的能量收集器受到广泛关注。

振动压电能量收集系统的前期研究主要针对悬臂梁贴附压电片的线性模型结构，然而随着研究的深入发现类似的线性模型结构通常只有较窄的工作频带，不适用于环境中振源常在一个区间内变化的实际情况。于是，大量研究人员开始通过引入磁力、机械力等作为非线性恢复力拓宽系统发电频率[16]。其中一种方法是通过引入撞块，将悬臂梁振动由线性振动改变为分段线性振动以拓展装置的工作频带宽度[7-15]。分段线性结构已被成功引入磁电[7]与静电[8-10]两种转换机制中，通过理论与试验研究表明，分段线性结构能够有效拓宽能量收集器的频带宽度。相对于磁电与静电两种转换机制而言，基于压电转换机制的分段线性能量收集结构的研究仍处于起步阶段，不同于线性压电装置中的机电耦合模型，分段线性压电能量收集器仍忽略压电片外接负载后产生的反馈于机械振动系统的阻尼，使用纯机械模型进行研究[12]，而近年来关于分段线性压电能量收集器的研究只注重通过实验探究其宽频俘能特性，所使用的理论模型仍为多年前提出的纯机械模型[13-15]。这造成了理论与实验值之间常存在较大误差，同时有悖于目前大多数压电结构开展多物理场机电耦合模型研究趋势。

针对上述问题，本文在考虑压电片产生的阻尼基础上，建立分段线性能量收集系统的机电耦合模型，通过加工实验装置及搭建实验平台得到实验与理论值对比，验证了机电耦合模型相对于纯机械模型的精度及分段线性装置拓宽频带的能力。

1 机电耦合建模

分段线性压电能量收集器的结构简图如图1所示。装置由一个主悬臂梁和一个撞击梁组成，主梁上贴附的压电片作为能量转换部件，主梁顶端作为振动质量的质量块与撞击梁之间有距离为d的撞击间隙。当质量块的振动幅值足够大时，其每个周期内都将与撞击梁发生碰撞，系统的振动将从线性状态转变为非线性振动中一种特殊的分段线性振动状态[10]。

图1 分段线性压电能量收集器结构简图Fig.1 Geometric construction of the piecewise-linear piezoelectric energy harvester

图2 纯机械等效集中参数模型Fig.2 Mechanical spring-mass-damper model

目前，关于分段线性压电能量收集器的纯机械等效集中参数模型如图2所示。图中，参数m表示主梁上的振动质量，系数k1、c1分别为主梁的等效刚度和等效阻尼。由于撞击梁的质量相对振动质量m，可忽略不计，因此撞击梁等效为弹性系数k2及阻尼系数c2。当装置基座受到谐波信号u0(t)作用时，振动质量m振动位移表示为u1(t)。设y0=u0及y=u1-u0，当y的幅值大于间隙距离d时，y的每个周期运动分为两个阶段：第一阶段，y值小于间隙距离d时，系统的刚度与阻尼保持为k1及c1不变；第二阶段，y值大于间隙距离d时，质量块与撞击梁将发生碰撞。由于碰撞所经历时间极其短暂，同时也为了便于对系统的运动过程进行建模与求解，可假设此处碰撞为完全非弹性碰撞[7-9]，即碰撞过程中，质量块将带动撞击梁一起运动，系统的刚度与阻尼变为k1+k2和c1+c2。图2对应的非线性运动方程为

(1)

式中：u0(t)=Ucos(ωt),U表示激励信号位移的振幅，ω表示激励信号频率，非线性项可以表示为

目前针对该装置的研究常在计算出方程(1)的位移运动表达式后，再通过压电片发电电压幅值与运动位移的关系求出装置的输出电压。该模型完全忽略了装置结构中压电片外接负载后产生的反馈于机械振动系统的阻尼，这与实际情况不符，从而也造成了实验值与理论值之间较大的误差。

为了更准确地研究分段线性压电能量收集器的发电及拓宽频带的能力，本文提出新的机电耦合等效集中参数模型如图3所示。

图3 机电耦合等效集中参数模型Fig.3 Electromechanical coupling spring-mass-damper model

其对应的非线性运动方程为

(2)

式中的非线性项与方程(1)中相同，式中新出现的参数v表示负载电阻RL两端的电压值。当负载电阻RL的值无限接近于无限大时，v表示压电片产生的开路电压。参数Cp表示压电片的电容量，Θ表示系统的电能转换系数，其值大小与压电片的压电常数d31呈正比。

2 电压幅频曲线求解

为了得到分段线性压电能量收集器输出电压的幅频特性曲线，本文将通过平均法对模型进行求解[17]。通过引入新的参数F表示运动方程中相对于线性项而言对系统的影响可忽略的项包括机械阻尼项，非线性项，外部激励项及压电阻尼项，非线性运动方程(2)可转化为

(3)

其中

忽略运动方程(3)中第一式的参数F，可求得其对应派生线性系统的解为

(4)

(5)

(ω-λ)sinθ

(6)

同时，将式(4)中解的形式代入非线性方程(3)中的第一式中可以得到等式：

(ω-λ)cosθ

(7)

(8)

(9)

将系统的解及v的表达式代入参数F中可以求得φ和φ*的表达式：

(10)

(11)

同时为了求得参数φ及φ*在一个完整周期的平均值，需要对非线性部分表达式f(A,θ)进行傅里叶变换。由于表达式f(A,θ)傅里叶变换式中的高阶谐波项相对于一阶谐波项而言，大小可忽略不计，f(A,θ)保留一阶谐波项的傅里叶表达式为

(k2cosθ-λc2sinθ)H]

将参数φ的表达式(10)代入平均值式(9)中可得到

ϑ-δe(A)A

(12)

新引入的参数δe(A)表示幅值A的等效衰减系数，其表达式为

同理将参数φ*的表达式(11)代入平均值式(9)中,可得到

ϑ+λe(A)-ω

(13)

新引入的参数λe(A)表示系统的等效线性固有频率，其表达式为

Uω2sinϑ=-2λδe(A)A

(14)

Uω2cosϑ=2λ(λe(A)-ω)A

(15)

由于主梁是在共振区间内振动，等式(14)中的参数2λ可近似替换为2ω，同时等式(15)中的参数2λ可近似替换为λe(A)+ω。对方程组两边进行平方求和，可以得到幅值A相对于激振频率ω的幅频响应关系表达式：

(16)

根据v定义可以求得电压v幅值V与位移幅值A的关系式为

(17)

(18)

3 实验装置与实验测试

3.1 实验装置

分段线性压电能量收集实验装置如图4所示，其中主悬臂梁的尺寸参数为40 mm×20 mm×0.5 mm，主悬臂梁上等效振动质量为9.6 g，撞击梁的尺寸参数为55 mm×12 mm×1.5 mm，主悬臂梁与撞击梁间的间隔距离d分别取0.8 mm,1.0 mm及1.2 mm，主梁上贴附的压电片参数由厂家给出，包括等效电容Cp大小为25.7 nF，压电常数d31大小为170 pm/V,相对介电常数ε33大小为1 560。装置的主梁与撞击梁均由铝片加工而成，主梁上贴有一片由Smart Material公司制造的型号为M-2814-P2压电纤维片作为电能转换部件。主梁顶端处由螺栓组固定几片铝制质量片与梁一起作为等效振动质量。能量收集器实验装置的基座分为内基座与外基座两部分，主梁与撞击梁分别通过螺栓固定于外基座与内基座上，内外基座之间也由螺栓组连接，内基座可以通过调节螺栓组带动撞击梁上下移动，用以调整振动质量m与撞击梁间隙距离d。本实验中，通过调节内基座，控制间隙距离d分别为0.8 mm，1 mm及1.2 mm以研究撞击间距对系统输出电压影响。

图4 实验装置Fig.4 The experimental prototype

3.2 实验测试方法

实验装置的连接简图如图5所示。实验装置固定于型号为JZK-5的电磁激振器上，激振器由型号为DH1301的信号发生器提供激振信号进行振动。通常由信号发生器产生的激振信号需要通过功率放大器后才能驱动激振器振动，由于DH1301信号发生器自带一个小型功率放大器，因此其产生的信号可直接驱动激振器工作。通过D1301信号发生器调节激振频率从40 Hz逐步增大到60 Hz，进行扫频实验，在扫频过程中，固定于基座上的加速度测量仪DH151及与其相连接的动态信号分析仪DH5939D和PC端对激振信号的加速度大小进行实时监控， 通过反馈控制，保持激振信号的加速度大小在扫频过程中不变。本实验中，分别设定激振加速度值为1.8m/s2，2m/s2及2.2m/s2，来研究外部激振强度变化对系统输出电压的影响。系统的输出电压由数字示波器DS5202CA测量，电信号通过外接10MΩ信号探针替代负载，可近似测量系统的开路输出电压值。

图5 实验装置图Fig.5 The entire experiment setup

4 结果及讨论

分段线性压电能量收集器及其对应的线性能量收集器发电电压幅频曲线的理论计算结果与实验结果如图6所示。对比线性能量收集器的理论值与实验值可知得到的共振频率分别为46.9 Hz、44.9 Hz，两者之间存在4.26%的误差，造成误差的原因主要分两方面，一方面是由于实验测量尺寸与计算数据存在误差，另一方面是由于集中参数模型在计算过程中对实际装置的简化。同时线性能量收集器发电电压最大理论值与实验值分别为22.4 V和20.98 V，两者之间存在6.34%误差主要是由于压电片与悬臂梁之间存在粘结介质。

图6 系统输出电压幅频曲线Fig.6 The voltage amplitude-frequency response curve of the system

由图6可知，分段线性压电能量收集器发电电压基于纯机械模型与机电耦合模型的理论值幅频曲线与实验值幅频曲线都具有相同的变化趋势。当外部激励频率逐渐增大时，装置的发电电压幅值先沿着对应线性装置的电压幅频曲线轨迹逐渐变大。当外部激励频率增大到某一点位，使系统振动质量m的位移大于其与从动梁之间的距离d时，分段线性装置的电压幅值将不同于原线性系统先变大后急剧减小的变化趋势，而是随着外部激励频率增大呈缓慢上升变化，这一上升变化持续到当外部激振频率增加到某一点位结束。此时电压幅值发生跳跃现象，直接由高点位值急剧下降至线性系统对应的低点位值，之后再次沿着线性系统电压幅频曲线减小。对比幅频曲线变化可以清楚的观察到，相对于线性系统，分段线性装置能够在较宽的频率范围内输出较大的电压幅值。

虽然图6中实验值曲线与两种模型理论曲线的变化趋势相同，但是各幅频曲线的最大电压值与工作频率宽度值并不完全相同。实验曲线、机电耦合模型曲线与纯机械模型曲线对应的最大电压值分别为16.67 V、19.1 V及19.8 V，可以计算得出，实验结果与机电耦合模型和纯机械模型理论结果在最大电压值上的相对误差分别为12.72%和15.81%，显而易见，相对于纯机械模型，机电耦合模型能够求得更准确的最大电压值。分析最大电压值误差的减小，主要是机电耦合模型考虑了压电片外接负载后产生的反馈于机械振动系统的阻尼，而在实际实验过程中，压电片产生的阻尼确实降低了振动能转化为电能的效率。另外，对比线性能量收集器与分段线性能量收集器的输出电压峰值的理论值与实验值误差可发现，线性系统的误差由6.34%扩大到分段线性的12.27%和15.81%。分析可知，分段线性能量收集器除了压电片与悬臂梁之间存在粘结介质造成的能量损失外，质量块与撞击梁之间碰撞也造成了能量损失，但在对分段线性系统建模时，对质量块与撞击梁之间碰撞所作假设忽略了碰撞所造成的损失，从而造成此处的输出电压峰理论值与实验值误差增加。

图6中实验曲线、机电耦合模型曲线与纯机械模型曲线对应工作频率宽度分别为6.5 Hz、6.8 Hz与8.6 Hz，工作频率宽度的相对误差分别为4.41%和24.42%，由此可知机电耦合模型能够求得的频率拓宽值误差较小。分析其减小的原因，需要结合最大电压值误差的减小与分段线性能量收集器的性质。在对分段线性能量收集器的研究中，研究人员已得出外部激振加速度的减小能够降低装置的发电最大电压，从而使装置工作频率宽度减小[9-10]，相对于纯机械模型而言，机电耦合模型能够求得更接近与实验的发电电压值，即求得较小的发电电压最大值，因此，相对应的工作频率宽度自然减小，从而更接近实验工作频率宽度。

保持与图6相同的实验参数不变，仅改变质量块与撞击梁之间的间隙，研究其对系统输出电压的影响，所得理论与实验的电压幅频曲线如图7所示。当撞击间距分别为0.8 mm、1 mm及1.2 mm时，对应系统输出电压幅频曲线峰值的实验值分别为14.92 V、16.72 V及18.49 V，对应频带宽度分别为12.4 Hz、6.5 Hz及2.3 Hz。理论值与实验值均表明，减小质量块与撞击梁之间的距离，有助于增大系统的工作频率宽度，但在一定程度上减小了系统输出电压值。同样由图7可知，撞击间距为0.8 mm时，实验结果与机电耦合模型和纯机械模型在峰值电压值上的相对误差分别为12.29%和14.35%，工作频率宽度的相对误差分别为3.88%和15.65%。撞击间距为1.2 mm时，实验结果与机电耦合模型和纯机械模型在峰值电压值上的相对误差分别为13.23%和16.25%，工作频率宽度的相对误差分别为11.54%和37.84%。这表明，在不同的撞击间距下，相对于纯机械模型，本文所提出的机电耦合模型均能求得更准确的电压值与频率值。

图7 系统在不同间隙距离下的输出电压幅频曲线Fig.7 The voltage amplitude-frequency response curves of the system with different gap distance

图8 系统在不同激振加速度下的输出电压幅频曲线Fig.8 The voltage amplitude-frequency response curves of the system with different excitation acceleration

同样，保持与图6相同的实验参数不变，仅改外部激振加速度大小，研究其对系统输出电压的影响，所得理论与实验的电压幅频曲线如图8所示。当外部激振加速度分别为1.8 m/s2、2 m/s2及2.2 m/s2时，对应系统输出电压幅频曲线峰值的实验值分别为15.58 V、16.72 V及18.15 V，对应频带宽度分别为2.9 Hz、6.5 Hz及10.4 Hz。理论值与实验值均表明，增大外部激振加速度，有助于增大系统的工作频率宽度及输出电压值。由图8可知，外部激振加速度为1.8 m/s2时，实验结果与机电耦合模型和纯机械模型在峰值电压值上的相对误差分别为12.42%和16.24%，工作频率宽度的相对误差分别为9.38%和34.09%。外部激振加速度为2.2 m/s2时，实验结果与机电耦合模型和纯机械模型在峰值电压值上的相对误差分别为10.59%和13.98%，工作频率宽度的相对误差分别为3.70%和15.45%。这表明，在不同的外部激振加速度下，相对于纯机械模型，本文所提出的机电耦合模型同样能减小纯机械模型的理论误差。

5 结论

针对现有分段线性压电能量收集器的纯机械模型理论值与实验值存在较大误差，本文提出了该装置的机电耦合模型，基于平均法给出了装置发电电压的幅频响应关系式，通过加工实验装置和搭建实验平台得到装置能量收集性能的实验值，通过对比实验值、纯机械模型与机电耦合模型理论值可知：

1)相对于线性能量收集系统，分段线性能量收集器能够有效拓宽工作频率宽度；

2)减小撞击间距，增大外部激振加速度均能增大系统的工作频带宽度；

3)针对不同的撞击间距及外部激振加速度，分段线性压电能量收集器的机电耦合模型均能够有效减小理论值与实验值之间的误差，因此，机电耦合模型更适用于装置的进一步参数优化研究。

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Electromechanical coupling modeling research on the piecewise-linear piezoelectric energy harvester

LIU Shaogang, CHENG Qianju, ZHAO Dan, FENG Lifeng

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

In this study, we propose an electromechanical coupling model to reduce the errors between the theoretical and experiment values of the pure mechanical model of the present piecewise-linear piezoelectric energy harvester. The amplitude-frequency response equation of voltage is provided on the basis of the electromechanical coupling model. The experiment results on the generating performance of the piecewise-linear piezoelectric energy harvester are obtained by processing the experimental unit and constructing the experiment platform. The comparison between the experimental and theoretical values of the pure mechanical model and the theoretical value of the electromechanical coupling model shows that the electromechanical coupling model can effectively reduce the errors between the experimental and theoretical values in comparison with the pure mechanical model. The relative errors of the voltage peak value decreased from 15.8% to 12.72% with an external excitation acceleration of 2 m/s2and the impact distance of 1 mm. Accordingly, the relative errors of the frequency bandwidth reduced from 24.42% to 4.41%. Moreover, the investigations on different excitation accelerations and strike intervals show that the proposed electromechanical coupling model is more applicable to further research on the parameter optimization of the piecewise-linear piezoelectric energy harvester.

piecewise-linear; electromechanical coupling; vibration; piezoelectric; energy harvesting; frequency bandwidth

2015-11-16.

日期：2016-09-28.

国防技术基础科研项目(Z192013B001).

刘少刚(1962-)， 男，教授，博士生导师，博士.

刘少刚，E-mail: liushaogang@hrbeu.edu.cn.

10.11990/jheu.201511034

TB123;TN384;O322

A

1006-7043(2016) 11-1573-07

刘少刚, 程千驹, 赵丹, 等. 分段线性压电能量收集器机电耦合建模[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2016, 37(11): 1573-1579. LIU Shaogang, CHENG Qianju, ZHAO Dan, et al. Electromechanical coupling modeling research on the piecewise-linear piezoelectric energy harvester[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(11): 1573-1579.

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160928.1419.056.html