分式方程中的易错点分析

阳 梅

(四川省凉山州西昌市西昌阳光学校 四川凉山 615100)

分式方程中的易错点分析

阳 梅

(四川省凉山州西昌市西昌阳光学校 四川凉山 615100)

在初中生现有的认真水平上，存在着一大部分学生不能理解解分式方程为什么要检验分式方程，为什么会产生增根？分式方程的无解的真正内涵是什么？下面我就列举几道相关例题来阐述上述问题。

首先，孩子们都知道如何去解分式方程。思想：把分式方程转化为整式方程。方法：去公母——在分式方程的两边每一项都乘以最简公分母，达到了把分式方程化为整式方程的目的，但问题也在于此步，因为原分式方程的分母都不为零，在化为整式方程时没限定最简公分母不为0，而解整式方程所得到的解可能就是原分式方程中分母为0的未知数的值，所以需要验根。当验根后最简公分母为0，即则此根为原分式方程的增根，若最简公分母不为0，则此根才为原分式方程的根，下面用两个例题来说明。

分析：要先化分式为整式，再由根为增根，解出m的值。

去分母：x+m=2x-2(注意：易漏乘常数项 )

X=m+2 (此时的增根为x=1)

∵原分式方程有增根

∴x=m+2=1

∴ m=-1

分析：因为解为非负数，很易求出解后令根≥0而忽略不等于正的那个增根。

去分母：(x+3)(x+1)=k+(x+2)(x-1)

x2+2x-3=k+x2+x-2

x=1+k

∵解为非负数

∴1+k≥0，∴k≥-1

又∵原公式中公母x≠1

∴K+1≠1 ∴k≠0

∴综上所述，k≥-1且k≠0

其次，分式方程的无解包含了两种情况，一种就是将分式方程化为整式方程后，这个整式方程方程无解。另一种就是将分式方程化为整式方程的，这个整式方程的解为原分式方程方程的增根，下面用两个例题来说明无解的两种情况。

分析：因为此处分式方程无解，所以要讨论两种情况。

正解 ：去分母：x-a=ax+a

(1-a)x=2a

①∵当整式方程无解时，即1-a=0, ∴ a=1

即0=2，不成立

∴找不到这样的X的值，使的0=2成立

∴无解∴ a=1

②是增根 即(1-a)x=2a (a≠1)

∴2a=-1+a

∴ a=-1

∴ 综上所述，要分式方程无解，则a=-1或1

分析：此处的无解也包括两种情况

去分母：2(x-1)-(x-m)=x(x-1)+x

整理得：x2-x+2-m=0

整式方程无解时，即△＜0

∴1-4(2-m)＜0

∴4m＜7

②当整式方程的解为增根时，即x=0或x=1是x2-x+2-m=0的根

∴ m=2

最后，通过以上几个例题来阐明解分式方程时为什么需要验根及增根的含义，以及在解分式方程中的无解所含的两种情况，所以在解含参数的分式方程时一定注意分式方程的增根问题，就大大降低这种题型的错误率。