一类四阶非线性波动方程解的爆破与衰减

李宁,雷倩,杨晗

(西南交通大学数学学院,四川成都611756)

一类四阶非线性波动方程解的爆破与衰减

李宁,雷倩,杨晗

(西南交通大学数学学院,四川成都611756)

本文研究了非线性阻尼项与源项的竞争对具有强阻尼项的四阶波动方程解的影响.利用不动点原理和势井方法给出了方程局部弱解存在唯一性满足的条件,证明了当m＜p且初始能量E(0)＜0时,解将在有限时间内爆破.同时对m,p的大小关系不加任何限制但存在t0使0＜E(t0)＜d的情况下,利用稳定集,研究了整体解的存在性,并得到了解的能量衰减估计.最后借助修正的能量泛函,指出当m≥p时弱解也是整体存在的,推广并改进了文献[1-6]中的结果.

强阻尼项;四阶波动方程;势井;爆破;衰减估计

1　引言

本文将研究如下具有强阻尼项的四阶非线性波动方程的初边值问题

其中m,p＞1,Ω是Rn中具有光滑边界的有界区域.问题(1.1)描述的是粘弹性微观物体的实际运动过程.事实上,物体在运动时周围的介质产生的阻尼和力源,特别是强阻尼,对物体内部能量的积聚起着重要的耗散作用,因此在实际模型中需要加以考虑.

当方程(1.1)中的强阻尼项∆ut和线性项u缺失时,非线性弱阻尼项和非线性源项之间的相互作用对解的影响已被很多作者考虑过.2002年,Messaoudi在文[1]中指出当m≥p时,初始值的弱解是整体存在的,当m＜p且初始能量E(0)＜0时,解将在有限时间里爆破;同时,Messaoudi在文[2]中拓展了在文[1]中的结果,指出当初始数据选择合适的值时,不需讨论m,p的大小关系,得到了整体解的存在性定理和衰减估计.2008年,韩献军、薛红霞在文[3]中得到了类似的结论,他们利用势井理论构造了稳定集,在初值位于稳定集时,得到了弱解是整体存在的且具有衰减性质;2010年,尹丽、薛红霞、韩献军在文[4]中利用势井理论构造了不稳定集,证明了当m＜p且初始能量非负时,解将在有限时刻发生爆破.2009年,Chen和Zhou在文[5]中,对m＜p且初始能量为正的情形,证明了整体解的不存在性,关于解的爆破结论与文[4]中的结论是一样的.

2013年,在文[6]中,Chen和Liu考虑了二阶波动方程的情形,即方程(1.1)中的∆2u被∆u代替,同时线性项u缺失时,证明了局部解的存在唯一性,同时利用势井法,研究了整体解的存在性,解的多项式和指数衰减.最后指出当初始数据足够大或E(0)＜0时,能量将随着时间呈指数式增长.

以上文献[1-5]都是没有强阻尼项时的情形,研究非线性弱阻尼项的波动方程解的存在性、爆破及衰减估计,文献[6]研究了具有强阻尼项二阶的非线性波动方程.对带有强阻尼项四阶的非线性波动方程,目前结论很少且有很多问题有待解决.本文将在以上文献的基础上研究具有强阻尼项的四阶非线性波动方程(1.1)解的存在性、爆破和能量衰减.

2　局部解的存在唯一性

为证明局部弱解的存在性,下面先给出几个引理.

存在唯一的解u(x,t),并且满足

此引理的证明类似于文献[7]中第一章定理3.1的证明,略去证明过程.

并且成立能量等式

存在唯一的解{uµ}满足

下面证明{uµ}是

中的Cauchy列.为此,令U=uµ-uν,V=vµ-vν,则U满足下面方程

在方程(2.4)两端同时乘以Ut,并且在(0,T)×Ω上积分得

下面来估计(2.5)式的最后一项

其中c是一个仅依赖于Ω的常数.

由(|α|m-1α-|β|m-1β)(α-β)≥c|α-β|m及(2.6)式得(2.5)式变为

下面证明极限u(x,t)是方程(2.1)在以下式子意义下的弱解:即对每个θ∈(Ω),有

对几乎处处的t∈[0,T]成立.

事实上,在(2.3)式两端同时乘以θ,并在Ω上积分可得

令µ→∞,可知在C([0,T])中成立

且在L1([0,T])中成立

下证唯一性,取v1,v2,令u1,u2分别为方程(2.1)相应于v1,v2的两个解.令U=u1-u2,则

若v1=v2,则由(2.10)式可知U=0,即唯一性得证.

下面给出局部弱解存在唯一性的定理.

证取M＞0充分大,设X(M,T)是由Y中满足方程(2.1)中的初边值条件,并且满足下面条件的w组成的集合

定义映射u=f(v):X(M,T)→Y.其中u(x,t)是方程(2.1)的唯一解.

下面证明当M充分大,T＞0充分小时,f是一个从X(M,T)到X(M,T)的映射.

由能量等式(2.2)知

因此

其中c与M无关,选取M充分大,T＞0充分小,使(2.11)式成立,故f是一个从X(M,T)到X(M,T)的映射.

下证f是一个压缩映射.

在(2.13)式两端同时乘以Ut,并在(0,t)×Ω上积分,可得

由式(2.6)和(2.7)知

因此

选取T充分小使ΓTMp-1＜1,则由(2.15)式可知f是一个压缩映射.由压缩映射原理可知,存在唯一的u=f(u),即u是方程(1.1)的解,并由(2.14)式可知解的唯一性.

3　解的爆破

先给出证明解的爆破的一个有关引理.

证由Sobolev嵌入定理即可证明.

为了下面证明中表达方便,这里定义与方程(1.1)相关的能量泛函为

令

证由能量等式可得

则对几乎处处的t∈[0,T),

故H(t)是递增函数,因此由式(3.2)、(3.3)和E(0)＜0可知,对任意的t∈[0,T),

定义

其中ε充分小,将在下文中选定,并且

对L(t)求导,并由方程(1.1)知

利用Young不等式

同时

将以上两个不等式带入(3.8)式得

取s=m+1+mα(p+1)≤p+1,由引理3.1和(3.7),(3.10)式知

选取K1,K2充分大,且K1＞K2,使在(3.12)式中系数为正,则可得

其中

当K1取定时,选取ε充分小使得(1-α)-K1≥0,且

故由(3.13)式知

因此可知

下面来估计(3.6)式中的第二项

由Young不等式可知

由(3.15)式可知

因此可得

由(3.14),(3.17)式可知

其中Γ是一个依赖于c,γ,ε的常数.令(3.18)式在(0,t)上积分得

4　整体解的存在性及其能量衰减估计

4.1准备工作

此部分先引入势井,同时给出相关引理.

定义与方程(1.1)相关的能量泛函为

记

势井深度

稳定集

其中

证由d的定义及微分知识可得到证明.

引理4.2 Wi为中的有界集.

证直接由Wi的定义可得到证明.

证假设存在t1∈[t0,Tmax)使得t∈[t0,t1)时,u(x,t)∈Wi,而u(x,t1)/∈Wi.由Wi的定义及J(u)和K(u)关于t的连续性知

(1)J(u(t1,·))=d或

(2)K(u(t1,·))=0.

根据E(t0)＜d和能量等式E(t1)=E(t0)-得

显然J(u(t1,·))=d是不可能的,即(1)式不成立.

若K(u(t1,·))=0.则

引理4.4在引理4.3的假设下,对任意t∈[t0,Tmax),问题(1.1)的解u(x,t)成立如下不等式

其中t∈[t0,Tmax).

证根据引理4.3得,对任意t∈[t0,Tmax),K(u)=+‖∆u≥0,则

其中t∈[t0,Tmax).

引理4.5在引理4.4的条件下,有

证由d的定义可得(4.2)式成立.由引理4.4知

则由Sobolev嵌入定理及(4.4)式得

进而

引理4.6设F:R+→R+为一个非增函数,若存在p≥1,A＞0,使得

则

其中c,λ是不依赖于F(0)的正常数.

此引理的证明见文献[8].

注引理4.5和引理4.6在能量衰减估计中有重要作用.

4.2整体解的存在性及其能量衰减估计

首先给出整体解的存在性定理.

证由引理4.4和E＇(t)＜0得

其中t∈[t0,Tmax),由上式和连续性原理[9]得到整体解,即Tmax=∞.故整体解的存在性得证.

下面作整体解的能量衰减估计.

其中C,λ是正常数,且C依赖于E(t0).

证以下要证明

成立,进而利用引理4.6,可得结论成立.

其中

将上式代入(4.7)式得

由E＇(t)≤0及(4.5)式得

类似的

又注意到0＜θ＜1,由引理4.5得

将(4.9)-(4.11)式代入(4.8)式得

由Young不等式及E＇(t)=-得

又由Young不等式,(4.5)式及E＇(t)≤0得

这里c(ε1),c(ε2)是依赖于ε1,ε2的正常数.

在(4.13),(4.14)式中令ε1,ε2充分小使得

因此由(4.12)-(4.15)式得

即(4.6)式成立,故由引理4.6得

其中C,λ是正常数,t∈[t0,∞),且C依赖于E(t0).

注在定理4.1中并没有限制m,p的大小关系,给出了整体解的存在性.下面将给出当m≥p时,定理2.1中给出的局部解也是整体存在的.

证考虑通常的能量函数

仅利用e(t)很难估计强阻尼项、非线性阻尼项和源项对整体解的影响,为此引进修正的能量函数

由能量等式知

故

由Young不等式和m≥p可知

这里讨论两种情况:当‖ut‖m+1＞1时,选取ε充分小使得

故F＇(t)≤c(ε)‖u‖.当‖ut‖m+1≤1时,可得F＇(t)≤εc(Ω)+c(ε)‖u‖.因此

故

由连续性原理可知定理4.2成立.

[1]Messaoudi S A.Global existense and nonexistence in a system of Petrovsky[J].J.Math.Anal.Appl., 2002,265(2):296-308.

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[3]韩献军,薛红霞.一类具有非线性阻尼和源项的Petrovsky方程整体解的存在性和渐进性[J].高校应用数学学报(A辑),2008,23(2):153-158.

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2010 MR Subject Classification:35L75;35B44

FINITE TIME BLOW UP AND DECAY ESTIMATES OF SOLUTION FOR A CLASS OF FOURTH ORDER NONLINEAR WAVE EQUATION

LI Ning,LEI Qian,YANG Han
(School of Mathematics,Southwest Jiaotong University,Chengdu 611756,China)

In this paper,we consider the fourth order wave equation with nonlinear damping and source term.We prove the existence of a local weak solution and show that this solution blow up in finite time if m＜p and the energy is negative.Furthermore,we discuss,for the evolution of solution enters into the stable set,the solution is global as well as a decay result regardless of any relations between m and p.At last we also show that the solution is global if m≥p,which extends and improves the results in[1-6].

strong damping;forth order wave equation;potential wells;blow-up;decay estimate

MR(2010)主题分类号:35L75;35B44O175.29

A

0255-7797(2016)06-1299-16

∗2014-06-11接收日期:2014-09-22

李宁(1990-),女,河南鹿邑,硕士,主要研究方向:偏微分方程.