具有垂直传染和接触传染的传染病模型的稳定性研究

傅金波,陈兰荪

(1.福建师范大学闽南科技学院,福建泉州362332)

(2.中国科学院数学与系统科学研究院数学研究所,北京100080)

具有垂直传染和接触传染的传染病模型的稳定性研究

傅金波1,陈兰荪2

(1.福建师范大学闽南科技学院,福建泉州362332)

(2.中国科学院数学与系统科学研究院数学研究所,北京100080)

本文研究了一类具有垂直传染和接触传染的传染病模型.利用常微分方程定性与稳定性方法,分析了该模型非负平衡点的存在性及其局部稳定性.同时,利用LaSalle不变性原理和通过构造适当的Lyapunov函数,获得了平凡平衡点、无病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定的充分条件.结果表明当基本再生数小于等于1时,所有种群趋于灭绝;当基本再生数大于1和病毒主导再生数小于1时,病毒很快被清除;当基本再生数大于1和病毒主导再生数大于1以及满足一定条件时,病毒持续流行并将成为一种地方病.

传染病模型;非负平衡点;全局渐近稳定性

1　引言

生物动力系统的动力学性质历来受到学术界的重视[1-5].然而,考虑疾病对生物种群影响的相对较少.近年来,在生物动力系统中含有疾病影响因素的传染病模型已有了可喜的研究成果[6-12].在带有常数输入率的传染病模型中,基本再生数是一个重要的阀值,当基本再生数小于1时,疾病将趋于灭绝;当基本再生数大于1时,疾病将持续存在[13-14].但在输入率不是常数情形下的传染病模型中,系统却存在着后向分支现象[15].基于上述文献的建模机理,本文用N(t)=S(t)+I(t)表示t时刻的生物种群总数,S(t)表示该种群中的易感类,I(t)表示该种群中的染病类,建立具有垂直传染和接触传染的传染病模型如下

其中r为增长率,k为环境容纳量,d为自然死亡率,β为接触的比例系数,q为染病类中新生个体未染病的比例系数0＜q＜1,1-q为染病类中新生个体的染病速率,µ为因病死亡率,并且所有参数均为正数.

由N(t)=S(t)+I(t),模型(1.1)可化为如下等价系统

易见,系统(1.2)的可行域为D={(N(t),I(t))∈R2|0≤N(t)≤k,0≤I(t)≤k}.本文主要在可行域D内研究系统(1.2)的动力学性质.

2　平衡点的存在性

系统(1.2)的非负平衡点应满足下面的代数方程组

为着以下证明,定义基本再生数和病毒主导再生数分别为

以及如下记号

由方程组(2.1)易得如下结论.

定理2.1系统(1.2)存在平凡平衡点O(0,0);当R0＞1时,还存在无病平衡E0(N0,0).

下面讨论系统(1.2)在域D内地方病平衡点的存在性.一方面,当N0,I0时,由方程组(2.1)的第一个方程得等倾线

可见,当R0＞1时,f(N)是过O(0,0)和E0(N0,0)的开口向下抛物线.

情形1若σ2＞1＞σ1或σ1＞1＞σ2,则＜0.

(I)当R0＞σ2＞1＞σ1时,直线g(N)的斜率为正数.

(II)当R0＞σ1＞1＞σ2时,直线g(N)不在第一象限,此时f(N)与g(N)没有正交点.

情形2若σi＜1或σi＞1,i=1,2,则＞0.

(III)当R0＞1＞σi,i=1,2,时,直线g(N)的斜率为正数.

(IV)当R0＞σi＞1,i=1,2时,直线g(N)的斜率为负数.

另一方面,由f(N)=g(N)得代数方程a2N2-a1N+a0=0,其中

令

记正交点为E(N∗,I∗),记两个正交点为Ωi(Ni,Ii),i=1,2.综上分析,有如下结论.

定理2.2如果满足下列条件

(1)R0＞σ2＞1＞σ1,βk(r-d)=2+µ[βk-(1-q)r];

(2)R0＞1＞σi,R＜1,i=1,2;

(3)R0＞σi＞1,R＜1,i=1,2;

(4)R0＞σi＞1,R＞1,{βk(r-d)}2=L,i=1,2

之一,系统(1.2)在域D内部存在一个地方病平衡点E(N∗,I∗).

如果满足下列条件

(1)R0＞σ2＞1＞σ1,βk(r-d)＞2+µ[βk-(1-q)r];

(2)R0＞σi＞1,R＞1,{βk(r-d)}2＞L,i=1,2

之一,系统(1.2)在域D内部存在两个地方病平衡点Ωi(Ni,Ii),i=1,2.

推论2.1如果R0＞σi＞1,R＞1,{βk(r-d)}2＞L,i=1,2或

成立,系统(1.2)在域D内存在一个后向分支.

3　平衡点的局部稳定性

下面讨论系统(1.2)的平凡平衡点、无病平衡点和地方病平衡点局部稳定性.

定理3.1如果R0＜1(R0＞1),则系统(1.2)在域D上的平凡平衡点O(0,0)是局部稳定(不稳定).

证在点O(0,0)处,系统(1.2)的Jacobian矩阵为

特征方程为(λ-r+d)[λ-(1-q)r-(d+µ)]=0,特征值为

当R0＜1时λ1＜0,λ2＜0,平凡平衡点O(0,0)是局部稳定的;当R0＞1时,因λ1＞0,平凡平衡点O(0,0)是不稳定的.证毕.

定理3.2当R0＞1＞σi,i=1,2时,若R＞1(R＜1),则系统(1.2)在域D上的无病平衡点E0(N0,0)是局部稳定(不稳定);当R0＞σi＞1,i=1,2时,若R＜1(R＞1),则系统(1.2)在域D上的无病平衡点E0(N0,0)是局部稳定(不稳定).

证在点E0(N0,0)处,系统(1.2)的Jacobian矩阵为

特征方程为

得特征值

当R0＞1＞σi,i=1,2且R＞1时,总有

或者当R0＞σi＞1,i=1,2且R＜1时,也总有

故无病平衡点E0(N0,0)是局部稳定的;当R0＞1＞σi,i=1,2且R＜1或R0＞σi＞1,i= 1,2且R＞1时,λ2＞0无病平衡点E0(N0,0)是不稳定的.证毕.

定理3.3如果R0＞σi＞1,R＜1,i=1,2且rβ(2N∗-N0)＞µ[(1-q)r-βk]或R0＞1＞σi,R＜1,i=1,2且2N∗＞N0,则系统(1.2)在域D内的地方病平衡点E(N∗,I∗)是局部稳定的;否则,地方病平衡点E(N∗,I∗)是不稳定的.

证在E(N∗,I∗)点处,系统(1.2)的Jacobian矩阵为

特征方程为λ2+b1λ-b0=0,其中

特征值为

同时,注意y1=λ2是开口向上抛物线,y2=-b1λ+b0是直线,如果R0＞1＞σi,R＜1,i= 1,2且2N∗＞N0或R0＞σi＞1,R＜1,i=1,2且rβ(2N∗-N0)＞µ[(1-q)r-βk]成立,则b1＞0,b0＜0,进而特征方程具有两个负实根或一对带负实部的复根,系统(1.2)在域D内的地方病平衡点E(N∗,I∗)是局部稳定的.否则,即不满足上述条件中任意一条,系统(1.2)在域D内的地方病平衡点E(N∗,I∗)是不稳定的.证毕.

4　平衡点的全局渐近稳定性

定理4.1如果R0≤1且σi＞1,i=1,2或R0≤1且σi＜1,i=1,2,则系统(1.2)在域D内的平凡平衡点O(0,0)是全局渐近稳定的.

证当R0≤1且σi＞1,i=1,2时,定义Lyapunov函数V(t)=沿着系统(1.2)的解直接计算V(t)的右上导数有

使得V＇(t)=0只有平凡平衡点O(0,0),即系统(1.2)的最大不变集是平凡平衡点O(0,0)且它是全局吸引的.根据定理3.1和LaSalle不变性原理[16],系统(1.2)在域D内的平凡平衡点O(0,0)是全局渐近稳定的.

当R0≤1且σi＜1,i=1,2,时,定义Lyapunov函数V0(t)=N(t)+I(t),沿着系统(1.2)的解直接计算V0(t)的右上导数有

类似于上述方法,可知系统(1.2)在域D内的平凡平衡点O(0,0)是全局渐近稳定的.证毕.

定理4.2如果R0＞σi＞1,R＜1,i=1,2或R0＞1＞σi,R＞1,i=1,2,则系统(1.2)在域D内的无病平衡点E0(N0,0)是全局渐近稳定的.

证将系统(1.2)改写为等价系统

(1)当R0＞σi＞1,R＜1,i=1,2时,构造Lyapunov函数

沿着系统(4.1)的解直接计算V1(t)的右上导数有

易见{(N,I)T∈D:(t)=0}={(N0,0)},即无病平衡点E0(N0,0)为最大不变集,而且它是全局吸引的.根据定理3.2和LaSalle不变性原理[16],系统(1.2)在域D内的无病平衡点E0(N0,0)是全局渐近稳定的.

(2)当R0＞1＞σi,R＞1,i=1,2时,构造Lyapunov函数

沿着系统(4.1)的解直接计算V2(t)的右上导数有

同样地,系统(1.2)在域D内的无病平衡点E0(N0,0)是全局渐近稳定的.证毕.

定理4.3如果(1)R0＞σi＞1,R＜1,i=1,2,rβ(2N∗-N0)＞µ[(1-q)r-βk]且σi,R＜1,i=1,2,2N∗＞N0且[(d+µ)-(1-q)r]+2βI∗≥[βk-(1-q)r]则系统(1.2)在域D内的地方病平衡点E(N∗,I∗)是全局渐近稳定的.

证将系统(1.2)改写为如下等价系统

在条件(1)下,定义Lyapunov函数

沿着系统(4.2)的解计算V3(t)的右上导数有

在条件(2)下,定义Lyapunov函数

沿着系统(4.2)的解计算V4(t)的右上导数有

其中在条件(2)下

同样地,在条件(2)下系统(1.2)在域D内的地方病平衡点E(N∗,I∗)是全局渐近稳定的.

5　结论

研究结果表明:基本再生数是该系统中生物种群持续生存的阀值,病毒主导再生数是疾病在该系统中是否流行的阀值.如果满足定理4.1的条件,则该系统中的生物种群将趋于灭绝;如果满足定理4.2的条件,则该系统中的病毒很快将被清除;如果满足定理4.3的条件,则该系统的易感类和染病类均将持续存在,并将趋于一组稳定的定值上,此时流行性疾病成为一种地方病.关于有两个地方病平衡点情况不予讨论,显然它们是不稳定的.据此,在生物动力系统的流行病学分析中,要持续关注基本再生数和疾病流行的阀值,尤其是垂直传染和接触传染等影响因素.

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2010 MR Subject Classification:34D20;34D23

ON THE STABILITY PROPERTY OF A EPIDEMIC MODEL WITH VERTICAL TRANSMISSION AND CONTACT TRANSMISSION

FU Jin-bo1,CHEN Lan-sun2
(1.Minnan Science and Technology Institute Fujian Normal University,Quanzhou 362332,China)
(2.Academy of Mathematics and Systems Science,Chinese Academy of Sciences, Beijing 100080,China)

In this paper,a class of epidemic model with vertical transmission and contact transmission is established.By means of qualitative method and stability method of ordinary differential equations,the model and the existence of nonnegative equilibrium point are analyzed. And by constructing proper Lyapunov function and LaSalle invariance principle,sufficient conditions of the global asymptotic stability of the trivial equilibrium point,disease-free equilibrium point and endemic equilibrium point are obtained.The results show that when the basic reproduction number is less than or equal to 1,all populations tend to be extinct;when the basic reproduction number is greater than 1 and virus dominant reproduction number is less than 1, the viruses was quickly cleared;when the basic reproduction number is greater than 1 and virus dominant reproduction number is greater than 1 and satisfy certain conditis,the viruses continue to prevail and will become a local disease.

epidemic model;nonnegative equilibrium point;global asymptotic stability

MR(2010)主题分类号:34D20;34D23O175.13

A

0255-7797(2016)06-1283-08

∗2015-11-30接收日期:2016-06-28

国家自然科学基金(11371306);福建省教育厅自然科学基金(JA13370;JAT160676);福建师范大学闽南科技学院青年骨干教师重点培养对象(mkq201006).

傅金波(1978-),男,福建南安,副教授,主要研究方向:生物数学.