一类中心循环的有限p-群的自同构群的研究

王玉雷,刘合国,吴佐慧

(1.河南工业大学数学系,河南郑州450001)

(2.湖北大学数学系,湖北武汉430062)

一类中心循环的有限p-群的自同构群的研究

王玉雷1,刘合国2,吴佐慧2

(1.河南工业大学数学系,河南郑州450001)

(2.湖北大学数学系,湖北武汉430062)

本文研究了一类中心循环的有限p-群G的自同构群.利用在G的导群上作用平凡的自同构以及环上的辛群和正交群,确定了G的自同构群的结构,这推广了Bornand的相应结果.

有限p-群;循环中心;辛空间;自同构群

1　引言和预备知识

文中p是一个素数,采用的术语和符号都是标准的,参照文献[1].

设G1和G2是任意两个群,并且Z1和Z2分别是G1和G2的中心子群,假设Z1和Z2是同构的,设θ:Z1→Z2是同构映射,称G1∗G2是G1和G2相对于Z1,Z2和θ的中心积,即G1∗G2是G1×G2关于正规子群{(z1,θ(z1)-1)|z1∈Z1}的商群.特别地,设G是任意一个群,中心积G∗G是借助于中心上的恒等映射所得,为了方便,对于任意n＞1,用G∗n标记中心积G∗(n-1)∗G,G∗1=G且G∗0=1.

一个有限p-群G是超特殊的,如果G＇=FratG=ζG都是p阶群.Winter[2]给出了超特殊p-群的自同构群.在文[1]中,一个有限p-群G称为广义超特殊的,如果G的中心是循环群且导群是p阶群.在文[3]中,确定了这种广义超特殊p-群的自同构群.显然,广义超特殊p-群的中心商群是初等Abel群并且幂零类是2,因此广义超特殊p-群真包含在中心循环的,幂零类是2的,并且中心商群是齐次循环的有限p-群中,这样一类有限p-群在文献[4]中给出,即X3(pm)∗n∗Zpm+r,其中n≥1,m≥1和r≥0,且

当p是奇素数时,这类群的自同构群被确定,即下面的命题.

命题1.1设p是一个奇素数,G=X3(pm)∗n∗Zpm+r,其中n≥1,m≥1和r≥0.假设

则Aut G=AutζGGAutζG,并且存在下面的正合列

在本文中,当p是奇素数时,借助导群的特点,重新刻画该类有限p-群的自同构群,进一步,确定这类有限2-群的自同构群.若m=1,则该类群是广义超特殊p-群.为了不至于重复文献[3]中广义超特殊p-群的结果,只考虑m≥2的情况,所得主要结果如下.

定理A设p是一个奇素数,G=X3(pm)∗n∗Zpm+r,其中m≥2,n≥1和r≥0.设AutG＇G={α∈Aut G|α在G＇上作用平凡},则

(i)Aut G/AutG＇GZpm-1(p-1).

(ii)AutG＇G/InnGSp(2n,Zpm)×Zpr.

定理B设G=X3(2m)∗n∗Z2m+r,其中m≥2,n≥1和r≥0.设AutG＇G={α∈Aut G|α在G＇上作用平凡},则

(i)Aut G/AutG＇GZ2m-2×Z2.

(ii)AutG＇G/InnGK×Z2r,其中K=Sp(2n,Z2m)(当r＞0时)或者O(2n,Z2m)(当r=0时).

为了得到结果,需要下面的引理.

引理1.1设m和r都是正整数,并且m≥2和r≥1.则

(i)(pm+1)pr=1(mod pm+r).

(ii)(pm+1)pr-1=1+pm+r-1(mod pm+r).

证根据二项式定理可得

若j=1并且i=pr,则

若j=1并且i=pr-1,则

若j=2并且i=pr-1,则0(mod pm+r)(当p是奇素数时)或者(2r-1-1)22m+r-2≡0(mod 2m+r)(当p=2时).

假设j≥3并且i=pr-1.注意到j!=其中3≤j≤pr-1并且(n＇,p)=1.则

从而

同理可得,若i=pr,则≡0(mod pm+r),其中j≥2.引理1.1得证.

2　定理A的证明

假设x1,x2,···,x2n-1,x2n,y是G的一组生成元,并且满足

定理2.1 AutG＇G◁Aut G并且Aut G/AutG＇GZpm-1(p-1).

证显然AutG＇G◁Aut G.由于p是一个奇素数,因此是一个循环群.设v是的一个生成元,定义映射

容易验证θ∈Aut G.任取α∈Aut G.因为G＇=〈ypr〉,所以存在0＜v1＜pm并且(v1,p)=1使得α(ypr)=(ypr)v1.从而存在0＜v2＜pm使得vv2≡(mod pm).由于

因此θv2α∈AutG＇G.从而Aut G=〈θ〉AutG＇G.

如果θu∈〈θ〉∩AutG＇G,那么

因此pr(vu-1)≡0(mod pm+r),即vu-1≡0(mod pm).从而pm-1(p-1)|u.显然θpm-1(p-1)∈AutG＇G,这说明〈θ〉∩AutG＇G=〈θpm-1(p-1)〉.结果可得Aut G/AutG＇G〈θ〉/〈θpm-1(p-1)〉Zpm-1(p-1).定理2.1得证.

其中[a,b]=(ypr)t,0≤t＜pm.容易验证f是一个交错双线性型.令i:=xiζG,显然, G/ζG的一组基1,2,···,2n-1,2n满足

设Ψ:AutG＇G-→Aut(G/ζG)和Φ:AutG＇G-→AutζG是自然诱导同态.定义一个同态映射

对于任意α∈AutG＇G,有[α(a),α(b)]=α[a,b]=[a,b],其中a,b∈G,从而

定理2.2 KerΘ=InnG.

证显然,InnG≤KerΘ.任取α∈KerΘ,假设α(xi)=xiysi,α(y)=y,其中0≤si＜pm+r,i=1,2,···,2n.由于

因此pr|si.从而|KerΘ|≤p2nm.显然|InnG|=p2nm,因此KerΘ=InnG.定理2.2得证.

定理2.3 ImΨ=Sp(2n,Zpm).

证任取T∈Sp(2n,Zpm).设T在G/ζG的一组基{i|i=xiζG,i=1,2,···,2n}上对应的矩阵是A=(aij).

定义映射

其中0≤ai＜pm,i=1,2,···,2n,0≤c＜pm+r.

注意到(aij)是一个非奇异矩阵.容易验证φ是一个双射.因此φ是G的一个自同构当且仅当φ是一个同态映射.根据φ的定义,下面的结论成立.

(4)φ(y)=y,

称上面的φ是T在G上的诱导映射.

任意g1,g2∈G,假设g1=则

其中ye=

设ai+bi=ri+pmsi且e=t1+tpm+r,其中0≤ri＜pm,si∈Z,0≤t1＜pm+r,t∈Z,则

从而φ∈AutG＇G,并且Ψ(φ)=T.结果可得ImΨ=Sp(2n,Zpm).定理2.3得证.

证定义映射

容易验证σ是G的一个自同构.因为G＇=〈ypr〉和σ(ypr)=σ(y)pr=(ypm+1)pr=ypr,所以σ∈AutG＇G.

若r=0,则ζG=G＇,那么σ是恒等自同构.下面不妨假设r＞0.

由引理1.1可得(pm+1)pr≡1(mod pm+r)和(pm+1)pr-1≡1+pm+r-1(mod pm+r).由于

因此Φ(σ)的阶是pr.

任取α∈AutG＇G,则α(ypr)=ypr.设α(y)=yu,其中0≤u＜pm+r.因为ypr= α(ypr)=α(y)pr=yupr,所以pm+r|pr(u-1),即pm|(u-1).设u=1+pmu＇,其中u＇∈Z.根据引理1.1,容易验证upr=(1+pmu＇)pr≡1(mod pm+r),因此Φ(α)pr(y)=αpr(y)= yupr=y,这表明Φ(α)是一个p-元素,从而ImΦ是一个幂指数为pr的p-群.由于AutζG是pm+r-1(p-1)阶循环群,从而ImΦ=〈Φ(σ)〉Zpr.定理2.4得证.

3　定理B的证明

假设x1,x2,···,x2n-1,x2n,y是G的一组生成元,并且满足

定理3.1 AutG＇G◁Aut G并且Aut G/AutG＇GZ2m-2×Z2.

证由于G＇=〈y2r〉,因此AutG＇Z∗

2m.由AutG到AutG＇的诱导同态可得AutG/AutG＇G同构于的一个子群.根据Z2m-2×Z2,假设Z∗2m=〈r1〉×〈r2〉,其中r1:=3和r2:=2m-1的阶分别是2m-2和2.

定义映射

和

容易验证θ1和θ2都是G的自同构.

如果m=2,那么θ1=θ2.任取α∈Aut G.因为G＇=〈y2r〉,所以存在0＜t＜4并且(t,2)=1使得α(y2r)=(y2r)t.从而存在0＜t1＜4使得≡t-1(mod 4).由于

为了方便,不至于引起混淆,仍用定理A中的记号,定义同态映射

其中Ψ:AutG＇G-→Aut(G/ζG)和Φ:AutG＇G-→AutζG是自然诱导同态.

根据定理2.2,同理可得KerΘ=InnG.

定理3.2若r＞0,则ImΨ=Sp(2n,Z2m).

证定义Z2m-模G/ζG上的交错双线性型f:G/ζG×G/ζG-→Z2m;(aζG,bζG)t,其中[a,b]=(y2r)t,0≤t＜2m.根据定理A,同理可得ImΨ≤Sp(2n,Z2m).

任取T∈Sp(2n,Z2m).设T在G/ζG的一组基{i|i=xiζG,i=1,2,···,2n}上对应的矩阵是A=(aij).

定义映射

其中0≤ai＜2m,i=1,2,···,2n,0≤c＜2m+r,并且c＇≡c+(mod 2m+r).

注意到(aij)是一个非奇异矩阵.容易验证φ是一个双射.因此φ是G的一个自同构当且仅当φ是一个同态映射.根据φ的定义,下面的结论成立.

(4)φ(y)=y.

(5)

根据定理2.3的证明,同理可得φ∈AutG＇G,并且Ψ(φ)=T.结果可得ImΨ= Sp(2n,Z2m).定理3.2得证.

如果r=0,那么G=X3(2m)∗n,此时,G＇=ζG=〈y〉Z2m,在Z2m-模G/ζG上定义一个二次型,对任意:=xζG∈G/ζG,有

则有下面的定理.

定理3.3若r=0,则ImΨ=O(2n,Z2m).

证任意α∈AutG＇G,x∈G,则α(x)2m=α(x2m)=x2m,因此即 q(Ψ(α)())=q(),因此Ψ(α)∈O(2n,Z2m),由此可得ImΨ≤O(2n,Z2m).

任取T∈O(2n,Z2m).设T在G/ζG的一组基{i|i=xiζG,i=1,2,···,2n}上对应的矩阵是A=(aij).

定义映射

其中0≤ai＜2m,i=1,2,···,2n,0≤c＜2m+r.

从而[φ(g1),φ(g2)]=[g1,g2].

类似于定理2.3的证明,同理可得φ∈AutG＇G,并且Ψ(φ)=T.总之,ImΨ= O(2n,Z2m).

证定义映射

容易验证σ1是G的一个自同构.因为G＇=〈y2r〉和σ1(y2r)=σ1(y)2r=(y2m+1)2r=y2r,所以σ1∈AutG＇G.

由引理1.1可得(2m+1)2r≡1(mod 2m+r)和(2m+1)2r-1≡1+2m+r-1(mod 2m+r).

由于

因此Φ(σ1)的阶是2r.

任取α∈AutG＇G,则α(y2r)=y2r.设α(y)=yu,其中0≤u＜2m+r.因为y2r= α(y2r)=α(y)2r=yu2r,所以2m+r|2r(u-1),即2m|(u-1).设u=1+2mu＇,其中u＇∈Z.从而Φ(α)(y)=y2mu＇+1,其中0≤u＇＜2r,因此|ImΦ|≤2r,结果可得ImΦ=〈Φ(σ1)〉Z2r.定理3.4得证.

[1]Robinson D J S.A course in the theory of groups(2nd ed.)[M].New York:Springer-Verlag,1996.

[2]Winter D.The automorphism group of an extraspecial p-group[J].Rocky Mountain J.Math.,1972, 2:159-168.

[3]Liu H G,Wang Y L.The automorphism group of a generalized extraspecial p-group[J].Sci.China Math.,2010,53(2):315-334.

[4]Bornand D.Elementary abelian subgroups in p-groups of class 2[D].Lausanne:cole Polytechnique Fdrale de Lausanne,2009.

[5]海进科,王玉雷.有限群的Coleman外自同构群是p＇-群的一些充分条件[J].数学杂志,2008,28(6): 653-658.

2010 MR Subject Classification:20E36;20F28

A STUDY ON THE AUTOMORPHISM GROUP OF A CLASS OF A FINITE P-GROUP WITH A CYCLIC CENTER

WANG Yu-lei1,LIU He-guo2,WU Zuo-hui2
(1.Department of Mathematics,Henan University of Technology,Zhengzhou 450001,China)
(2.Department of Mathematics,Hubei University,Wuhan 430062,China)

In this article,the automorphism group of a class of a finite p-group G with a cyclic center is researched.With the automorphisms which act trivially on the derived subgroup of G,symplectic group and orthogonal group over a ring,the structure of the automorphism group of G is determined,which generalizes the related results of Bornand.

finite p-group;cyclic center;symplectic space;automorphism group

MR(2010)主题分类号:20E36;20F28O152.3

A

0255-7797(2016)06-1273-10

∗2015-08-27接收日期:2015-12-03

国家自然科学基金资助(11301150;11371124);河南省自然科学基金资助(142300410134; 162300410066).

王玉雷(1979-),男,河南南阳,副教授,博士,主要研究方向:代数学.