十字路口左转信号灯设计建模

邓勇



十字路口左转信号灯设计建模

邓勇

（喀什大学 数学与统计学院，新疆 喀什 844006）

探讨了十字路口合理安装和使用左转信号灯的规则．在建立此问题的数学模型时，仅使用了微积分基本定理．因此，可将其作为微积分或建模课程教学的一个很好范例．

冲突因素；微积分基本定理；交通建模

道路交通问题已成为一个复杂的社会系统，它不仅与市民的生活密切相关，而且关系到经济发展和社会进步．在城市繁华地带的上下班高峰期，通行不足百米的道路花费近半小时是常事．因此，解决城市交通拥堵问题已迫在眉睫．本文以十字路口是否需设置左转信号箭头为研究对象，通过建立和求解数学模型，为解决城市交通问题提供参考依据．

1　模型概述

通常，交通工程师把每小时左转车辆数和在相反方向直行车辆数的乘积定义为冲突因素[1]．在某十字路口，是否给北行左转车辆设置信号箭头，需要测出南向直行和北向左转车辆发生冲突的数量（东行和西行交通量与讨论问题无关）．假设在1 h内，有156辆车北向左转，同时有273辆车南向直行，则冲突因素为42 588；在左转车辆很多，但无相对直行车辆的情况下，冲突因素为0．此时，无需设置左转信号箭头．注意，在测量交通冲突时，用乘法比加法会产生更好的效果．因为，此交通问题类似于标准流行病模型，即新感染人数与感染人数和易感人数的乘积成正比．当易感人数或感染人数很少时，新感染人数几乎为零．所以，用乘法来刻画交通冲突较为恰当[2]．

在十字路口是否需设置左转信号箭头由其最小冲突因素所决定，而最小冲突因素又与十字路口的车道数和是否有专用转弯车道有关．如某条道路有4个车道，其中北行和南行各2条，但无专用北行左转车道．为保证工作日此十字路口至少错时2 h（未必连续），需设置北行左转信号箭头的最小冲突因素为45 000；若这条道路为2个车道，且无单独左转车道，则最小冲突因素为35 000[3]．

2　建模求解

2.1模型数据获取

在早晨7：00-9：00之间（上班高峰期），交通工程师将传感器放置在某十字路口（四车道），并测得每间隔15 min通行车辆的实际数据（见表1）．规定：冲突因素至少为45 000时，方可设置左转信号箭头．

表1　某十字路口7：00-9：00之间通过的车辆数

由表1可以看出，在7：00-8：00之间，共有310辆直行车和173辆左转车，冲突因素为53 630．在8：00-9：00之间，共有376辆直行车和189辆左转车，冲突因素是71 064．根据这2个数据，交通工程师得出结论：该十字路口的东行线必需设置左转信号箭头[4]．可见，用离散模型计算小样本数据的冲突因素还是可行的．然而，为有效处理大样本数据，并对模型进行更完整的分析，必须使用连续模型[5]．

假设每天的交通高峰期仅1次（如早高峰）．在此假设下，用二次多项式即可建立其交通模型．这是较简单的一种情况，现实中的模型绝非如此．但是，利用傅里叶级数总可将其转化为上述简单情况来处理．为方便操作，将表1的数据都乘以4．这样，每15 min一个周期就换算成了小时比率，并取比率为时间间隔的中点．如7：00-7：15间有66辆直行车，就用点（7.125，264）来表示．然后，由傅里叶分析可得．其中，初始数据和见图1a．类似可得和冲突因素函数（见图1b）．

图1交通数据的傅立叶分析

注意到，冲突因素函数的图像均位于阈值之上．这种现象并不奇怪，因为连续型数据与离散型数据要求设置左转信号箭头的条件完全一致．这种解释难免牵强附会，况且结论推导并不显然．如何给出其定量分析呢，一般地，需在[0，23]中找出2个至少间隔1 h的，满足．关于这点，可借助微积分，求满足条件的2个最大值．

2.2最大冲突因素

研究冲突因素函数的性质，必须对积分变限函数求导．由微积分基本定理并利用Leibniz求导法则[6]可得．

3　结束语

[1] 陈宽民，罗志忠．平面交叉口左转车流的特性分析及对策研究[J]．公路交通技术，2006（2）：114-118

[2] 杨开春，段胜军．交通流的红绿灯模型[J]．西安联合大学学报，2004，7（5）：41-45

[3] 李锐．城市道路交叉口交通信号控制理论与实践[M]．北京：冶金工业出版社，2015

[4] 徐秋丽，张召飞．关于廊坊市交通拥堵问题的数学模型的探究[J]．长春师范大学学报，2015，34（4）：12-16

[5] 张露娜，李曼瑄，管海滢，等．绍兴市区交通红绿灯配时优化模型研究——以大龙市场十字路口为例[J]．绍兴文理学院学报：自然科学版，2012，32（7）：40-44

[6] 王元恒，商建初，褚海峰．实用微积分教程[M]．杭州：浙江大学出版社，2011

[7] 黄云清．数值计算方法[M]．北京：科学出版社，2010

[8] 单雪红，张文军．数学建模思想融入微积分教学刍议[J]．曲阜师范大学学报：自然科学版，2015，41（2）：123-125

Modeling design on left-turn signal at the crossroad

DENG Yong

（College of Mathematics and Statistics，Kashgar University，Kashgar 844006，China）

The rule of reasonable installation and use of left turn signal lamp is discussed．It is only use the fundamental theorem of calculus in establishing the mathematical model of this problem．Therefore， it can be used as a good example for teaching calculus or modeling course．

conflict factor；fundamental theorem of calculus；traffic modeling

1007-9831（2016）09-0018-03

O29

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.09.006

2016-06-01

邓勇（1967-），男，四川遂宁人，教授，从事数学课程教学论研究．E-mail：dengy-ks@sohu.com