超大规模集成电路多孔电介质介电常数与分形维数

唐燕妮

(长沙医学院基础医学院,410219)

超大规模集成电路多孔电介质介电常数与分形维数

唐燕妮

(长沙医学院基础医学院,410219)

技术的发展要求超大规模集成电路的特征尺寸进一步降低以提高元件密度，这就需要低介电常数（k）的多孔电介质的应用。而多孔介质的输运物理性质通常与其微结构有密切关系。本文在综述多孔电介质利用分形模型分析方法的基础上，利用分形几何理论，进一步把多孔电介质介电常数（k)与反映孔微结构的分形维数联系起来，更好地适应于实际中不均一不规则的多孔电介质介电常数的分析计算。

超大规模集成电路（ultra large scaled integration, ULSI）;多孔电介质（porous dielectrics）;分形维数（fractal dimension）;介电常数（dielectric constant）

0　引言

随着计算机技术的发展，超大规模集成电路需要进一步降低集成电路的尺寸，增加电路元件的密度，并突破当集成电路的特征尺寸达到0.25微米的尺寸时，器件内部金属连接线电阻和绝缘介质层电容形成的串扰、功耗以及延时等阻碍，具有较低介电常数的新材料则常常用来代替传统的二氧化硅材料。而在超大规模集成电路中，引入空气孔隙的多孔介质是降低介电常数最有效的办法。为了降低总介电常数，常常在材料中加入空隙，这种多孔电介质的介电常数常常基于理想球体孔进行模拟研究，这与真实的多孔介质材料是不一致的，因此具有局限性。为了能够更好地模拟和研究真实的多孔电介质材料，分形模型已被广泛应用，本文则在多孔电介质分形模型的分析基础上，重点讨论多孔电介质介电常数与分形维数的关系研究。

1　多孔电介质与分形

1.1多孔电介质概述

多孔介质（多孔材料）是内部包含许多微小空洞的固体材料体系，多孔电介质是多孔介质的一种。多孔介质多见于在各种保温材料、陶瓷材料、纤维制品以及电子元件中，而其中含有空气空隙的介质材料具有超低k的特性，可以通过甩胶技术或者化学气相沉积技术获得，这种介质的孔隙率表征了其空洞结构的特点。

介电常数k是超大规模集成电路中多孔电介质性能的重要参数。介电常数是综合反映电介质极化行为的宏观物理量，是两块金属板之间绝缘介质电容量与同样两块板之间空气或真空介质电容量的比值；介电常数越大表明电介质在电场作用下被极化的能力越强，反之亦然。而相同的尺寸下介电常数大的电容器电容量大，而对于相同电容量，介电常数大的元件尺寸小。

在超大规模集成电路中，为了满足憎水性、高杨氏模量、高机械稳定性等特性，就要求多孔电介质具有尽可能低的孔隙率。由于电介质中孔隙或空洞的结构复杂，其形状、大小各异，利用实验实际测量或简单理想模型模拟计算的介电常数往往很不准确，因为这种方法是将孔隙用理想的球状孔洞来代替，这种模型与实际偏差很大；在实际的多孔电介质中，孔隙是不均匀分布在介质中的。

通过分析对于多孔电介质介电常数的传统测量方法可以发现，每种测量方法都有其各自的使用条件和范围，而对于实际情况中不规则孔隙不均一分布的情况，传统的测量手段可能都不适应。

低浓度二氧化硅（silica)的分子动力学模拟表明，呈分形分布的孔可用于表征这类纳米多孔低k电介质。

1.2分形几何及分形维数

分形几何是几何学的新型门类，其研究对象是欧氏几何的一种子集，是其所在空间的紧子集，具有包括:1）任意小尺度下的比例细节；2）传统几何语言无法描述；3）自相似特征；4）“分形维数”严格大于其相应的拓扑维数；5）可能以变化的迭代产生等特点。

其中分形维数是分形的重要几何参数，这是一种依赖于标度（Scale）的概念，即对于测量同一对象，用不同的单位进行测量。而对于分维的测量是现在材料学家最感兴趣的问题之一，目前常用的分维测量方法包括:1）计盒法测量，即用具有特征长度的基本图形度量分形图形，通过改变特征长度获得一组对应的计数，取对数并回归直线，得出维数；2）变码尺测量，也称之为海岸线法或者两脚规测长度法，即通过固定特征值，改变尺寸进行测量的方法；3）物理方法，这种方法又包括散射强度法、汞浸入法等。

对于精确自相似的谢尔宾斯地毯或海绵，分形维数满足如下计算公式：

对于统计自相似分形多孔介质的分形维度数和孔隙率满足以下关系：

2　介电常数和分形维数

对于一个真实的多孔介质，其微结构如孔的大小不是精确自相似的，而是统计意义上的自相似。

根据电介质串、并联法则，多个电介质并联连接时，其等效介电常数为

多个电介质串联连接时，其等效介电常数为

Tang等讨论用精确自相似的谢尔宾斯基地毯模型模拟多孔低k电介质进而得到其介电常数，结果与实验数据吻合较好。对于精确自相似的谢尔宾斯地毯模型的多孔电介质模型，根据文献，其孔隙率满足

XU等[3]提出了一个有关多孔低k电介质的分形-蒙特卡罗模拟方法。对于统计意义上的自相似分形多孔电介质模型，其孔隙率满足

式中各量代表意义同前。

结合方程（3）、（4）、（5）、（6），找出多孔电介质相对介电常数和分形维数关系的步骤如下（给定）：

a)选用前述介绍的测量分形维数的方法如散射强度法、汞浸入法等，测量实际多孔电介质薄膜的分形维数Df;

b)确定多孔电介质薄膜分布的最小和最大空气孔隙尺寸，根据方程（5）和方程（6）计算孔隙率（空气相）;

d）联立方程（3）和（4），得出多孔电介质的相对介电常数。

通过上述方法，可以用来进行统计自相似分形多孔电介质的介电常数进行计算，这种方法不仅适两相不同材料复合系统，对于多种材料复合系统也是适用的。

3　结论

本文在介绍多孔电介质的概念和特点的基础上，结合分形理论，提出了不同于传统多孔电介质介电常数分析计算方法的分形计算分析方法。从实际多孔电介质出发，利用分形理论和方法，把表征空隙微结构参量的分形维数引入进来，通过先测定电介质薄膜的分形维数，进而确定多孔电介质薄膜的相对介电常数。这种方法对于实际多孔电介质介电常数的计算来说是一种新的计算分析方法。

[1] 郁伯铭等著.分形多孔介质输运物理.科学出版社2014. 22

[2] 唐燕妮.多孔低k介电常数的自相似模型.华中科技大学硕士学位论文，2007

[3] 徐倩.多孔低k电介质介电常数的分形-蒙特卡罗模拟研究.华中科技大学硕士学位论文，2008

Very large scale integrated circuit porous dielectric permittivity and fractal dimension

Tang Yanni
(basic medical college of changsha medical college,410219)

The development of the technology requirement of very large scale integrated circuit feature sizes down further in order to improve the component density,which requires low dielectric constant(k)of the application of porous dielectric.Transport of the physical properties and the porous media usually have close relationship with its microstructure.Porous dielectric were reviewed in this paper by using fractal model on the basis of the analysis methods,using the theory of fractal geometry,the porous dielectric dielectric constant(k)and further reflect the fractal dimension of pore microstructure,better adapted to the actual inequality in an irregular porous dielectric permittivity of the analysis and calculation.

very large scale integrated circuit(ultra large scaled integration,ULSI);The porous dielectric (porous dielectrics);Fractal dimension(highest-resolution dimension);Permittivity (dielectric constant)

本论文由湖南省教育厅科研一般项目资助（编号：14C0127 和14C0126）