均匀介质中的介电常数和电势

孙锴

【摘 要】电介质的介电常数对电势的影响是电磁场中难点。本文从分析介质中极化电荷体密度分布的规律入手，得出了均匀介质中介电常数对电势的分布规律的影响。

【关键词】电介质;介电常数;极化电荷;电势

0 引言

静态场中，电荷q在介质中的电势为

式中？着是介质的介电常数。类似在电场强度、电容量等公式中也只要把原来真空中的？着改为？着介质的就是介质中适用的公式了。然而，为什么在介质中要把真空中的？着改为？着的真正原因，许多人都是模糊的，似乎？着只是介质的一个标志，以至于在稍微复杂的情况中就会出错。例如，空间内填满了介电常数分别为？着和？着的两种不同均匀介质，在介质中有一个点电荷q，许多人认为此点电荷在介质？着中激发的电势是

显然这是错误的。

1 介质中的极化电荷分布

一个区域内V的极化电荷总量QP与极化强度矢量P的关系是 （3）

式中积分曲面S是区域V的表面。由（3）式可以得到介质中的极化电荷体密度分布函数与极化强度矢量的关系是

（7）

（7）式表明了有两种原因可以使介质内部产生极化电荷体密度分布？籽。（7）式右边第二项，当？着为空间坐标的函数时，即不均匀介质，？荦？着不为零。此时只要有电场存在，？着沿电场方向有变化，介质中就有极化电荷产生。而且当与？荦？着的方向平行时极化电荷密度有极大值。 （7）式右边第一项表明只要介质内存在自由电荷密度？籽，无论介质均匀与否，都会伴有极化电荷产生？籽。均匀介质作为一般情况下的特例，？着为常数，（7）式右边第二项为零，即有

（8）式表明在均匀介质内部极化电荷？籽与自由电荷？籽的依存关系。由于？着≥？着，显然有极化电荷？籽与自由电荷？籽的符号相反，？籽的数值小于？籽;而且极化电荷的分布形状与自由电荷的分布形状完全相同。也就是说如果自由电荷是一个点电荷q，则极化电荷也是一个点电荷q，而且点电荷q与q点电荷在同一空间点。如果自由电荷均匀分布在一个半径为R圆线圈上，则极化电荷q也均匀分布在一个半径为R圆线圈上，而且两个不同电荷的圆线圈是重合的。

由（3）式还可以证明，介质表面的极化电荷面密度分布函数？滓

这里的是介质表面的法线方向的单位矢量。

2 介质中的电势

电势？渍与电荷？籽的关系是

此式表明电势？渍遵从叠加原理，（x，y，z）点的电势是空间各处的电荷在此点产生的电势的代数和。在介质中电势是自由电荷与极化电荷这两类电荷激发的电势的叠加。而对于体积无限大的介质，介质表面的面分布极化电荷？滓在无限远处，对电势？渍没有贡献

上式只考虑了均匀介质。即介质中的电势为

例如，介质中點电荷q的电势

注意到

这就是（1）式的结果。据此原理（2）式的正确表示是

3 建议

目前国内外流行的绝大多数电磁学教材都没有对（1）式中的？着物理实质作透彻的诠释。以至会引起有如（2）式中的误解。故建议在电磁学教材以及教学中，对电介质中的极化电荷作较为仔细的单明，并对极化点电荷（12）式作证明。（12）式也可以用电磁学中的高斯定理证明如下：

积分面S是包围点电荷q的闭合曲面。利用（5）式，并注意到只考虑均匀介质

利用（3）式有

整理即得（12）式

另外，与此同量异号的极化电荷则分布在介质的表面上。

【参考文献】

[1]虞国寅，周国全.电动力学[M].武汉：武汉大学出版社，2008.

[2]赵凯华，陈熙谋.电磁学[M].北京：高等教育出版社.

[责任编辑：张涛]