改进多点灰色模型的研究及应用分析

邱小梦 周世健 王奉伟 杨晓东

1 东华理工大学测绘工程学院，南昌市广兰大道418号，330013 2 流域生态与地理环境监测国家测绘地理信息局重点实验室， 南昌市广兰大道418号，330013 3 南昌航空大学校长办公室，南昌市丰和南大道696号，330063 4 同济大学测绘与地理信息学院，上海市四平路1239号，200092



改进多点灰色模型的研究及应用分析

邱小梦1,2周世健3王奉伟4杨晓东1

1 东华理工大学测绘工程学院，南昌市广兰大道418号，330013 2 流域生态与地理环境监测国家测绘地理信息局重点实验室， 南昌市广兰大道418号，330013 3 南昌航空大学校长办公室，南昌市丰和南大道696号，330063 4 同济大学测绘与地理信息学院，上海市四平路1239号，200092

针对传统多点灰色模型背景值求解方面存在的缺陷，采用自动寻优定权对背景值进行选择，使得实测值与拟合值的残差平方和最小，以提高多点灰色模型的预测精度。实例计算结果表明，与传统的多点灰色模型相比，背景值改进的多点灰色模型预测精度有很大的提高。

多点灰色模型；自动寻优定权；残差平方和

变形监测[1]常用的预测模型主要有传统灰色预测模型、时间序列分析、回归分析和神经网络等[2-6]，但大多只能用于单点建模与预测[7]。而实际工程中，监测点的变形发展规律都不是孤立的，各监测点之间相互影响，所以建立预测模型时应充分利用监测点之间的关联信息。多点灰色模型顾及各监测点之间的相互关联和影响，符合变形体的客观实际，提高了预测精度。尹晖[8]、王穗辉[9]、刘国华[10]分别建立了用于变形体变形资料分析预测的多点灰色模型。由于多点灰色模型是由传统的单点灰色模型扩展而来，所以同样面临着背景值改进、初始条件等问题，从而影响了建模精度。本文利用自动寻优定权[11]对背景值进行选择，使得实测值与拟合值的残差平方和最小。通过实例分析，改进后的多点灰色模型能够充分体现变形体的变形情况，具有较高的预测精度，是一种有效的变形预测方法。

1 改进的多点灰色预测模型的建立

(1)

式中，aij和bi均为模型参数。其矩阵形式为：

(2)

利用最小二乘法求解模型参数A和B的估值，传统的多点灰色模型背景值取值为：

(3)

式中，i=1,2,…n，k=2,3,…m。

(4)

(5)

式(1)可以写成离散化形式：

(6)

对式(6)进行累减还原得：

(7)

(8)

实际值与拟合值的残差平方和为：

(9)

(10)

(11)

式中，μ为背景值生成系数(权)，取值范围为[0,1]。从预测精度的角度选择μ的最佳估值，进行模型的精度分析与预测。选择最佳权的方法为：设μ的初始值为零，计算该权重下实测值与拟合值的残差平方和。在此基础上增加一个大于0的微小量Δμ(本文令Δμ=0.01)，利用μ=μ+Δμ 进行迭代，直到μ=1。上述方法可以计算不同权重下实测值与拟合值的残差平方和，取实测值与拟合值的残差平方和最小(即式(9)σ2最小)的权重为背景值的最佳权重。以此时对应的权求得合理的背景值，建立相应背景值的改进多点灰色模型。

2 工程应用

2.1 深基坑围护结构变形监测的应用

根据文献[2]，北京市地铁10号线熊奥区间工程采用明挖法施工，为确保结构及周围建筑物安全，需要对基坑进行变形观测。根据以往经验，可以将相关系数大于0.90的监测点归为一类。通过关联性分析发现，A、B、C 3个监测点之间观测数据的相关系数均大于0.90，所以选取这3个监测点作为实验数据，见表1。

表1 各观测点的实测值

变形点数n=3，共采用10个周期的数据，其中前8个周期用来建模(即m=8)，后2个周期用来检测模型预测的准确性。利用改进的多点灰色模型和多点灰色模型分别建模，结果见表2。

当μ=0.47时，改进的多点灰色模型的实测值与拟合值的残差平方和取得最小值为2.835。以B、C两个监测点为例，绘制出2种模型的预测值与实测值对比图。从表2、图1和图2看出，改

注：*为预测期数。

图2 点C两种模型预测值与实际值对比图Fig.2 Comparison between actual measurements and prediction curve of two models of the point C

进的多点灰色模型的预测精度要比多点灰色模型有很大的提高，这是因为改进的多点灰色模型以实测值与拟合值的残差平方和最小为约束条件，选取了合理的背景值。由表2可知，多点灰色模型的实测值与拟合值的残差平方和为5.569，而改进的多点灰色模型为2.835。由图1、图2可以看出，多点灰色模型的预测偏差很大，这是因为多点灰色模型虽然顾及了监测点间的相互关联和影响，但是仍受到背景值改进等因素的影响。综上可知，改进的多点灰色预测模型的预测效果比多点灰色模型更好。

2.2 滑坡变形监测的应用

根据文献[12]，三峡库区某牵引式滑坡后缘高程为380～400 m，前缘剪出口面临长江，高程约75 m。坡体上横纵布设的6个监测点能够控制坡体整体形变。通过关联性分析发现，A、B、D3个监测点的相关系数均大于0.95，所以选取A、B、D3个监测点在2006～2013-06的水平累积位移数据作为实验数据，如表3所示。

表3 各观测点的实测值

变形点数n=3，共采取8个周期的观测数据，其中前6期用来建模(即m=6)，后2期用来检测模型预测的准确性。利用改进的多点灰色模型和多点灰色模型分别建模，结果如表4所示。

表4 两种模型的预测值与实测值比较

注：*为预测期数。

图3 点A两种模型预测值与实际值对比图Fig.3 Comparison between actual measurements andprediction curve of two models of the point A

图4 点D两种模型预测值与实际值对比图Fig.4 Comparison between actual measurements and prediction curve of two models of the point D

当μ=0.43时，改进的多点灰色模型的实测值与拟合值的残差平方和取得最小值为8.658。以A、D2个监测点为例，绘制2种模型预测值与实测值的对比图。从表4、图3和图4可以看出，多点灰色模型的实测值与拟合值的残差平方和为11.563，改进的多点灰色模型为8.658。从2011年及2012年的拟合及预测残差可以看出，与改进的多点灰色模型相比，多点灰色模型的预测偏差较大，而改进的多点灰色模型的预测结果更稳定、更有效。

3 结 语

本文针对多点灰色模型背景值的缺陷，利用自动寻优定权方法对背景值进行选择，以实测值与拟合值的残差平方和最小为约束条件进行建模，提高了模型的预测精度。比较改进的多点灰色模型和多点灰色模型在深基坑围护结构变形和滑坡变形的预测结果看出，前者的预测精度有了很大的提高，是一种有效的变形监测预测方法。

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About the first author:QIU Xiaomeng, postgraduate, majors in data processing of deformation monitoring, E-mail: 1415519128@qq.com.

Research and Application of Improved Multi-Point Grey Model

QIUXiaomeng1,2ZHOUShijian3WANGFengwei4YANGXiaodong1

1 Faculty of Geomatics，East China University of Technology，418 Guanglan Road，Nanchang 330013，China 2 Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring，NASMG，418 Guanglan Road，Nanchang 330013，China 3 President’s Office,Nanchang Hangkong University，696 Fenghenan Road，Nanchang 330063， China 4 College of Surveying and Geo-informatics，Tongji University，1239 Siping Road，Shanghai 200092，China

In order to improve predictive accuracy ofthe multi-point grey model, background values are selected by automatic optimization weights such that the residual sum of squares of the actual and fitted values is minimal. Caseresults show that, compared with traditional multi-point grey model, prediction accuracy is greatly improved with the background values optimized grey model.

multi-point grey model; automatic optimization weights; residual sum of squares

National Natural Science Foundation of China, No.41374007；Innovation Fund Designated for Graduate Students of Jiangxi Province，No. YC2016-S292.

2016-07-26

项目来源：国家自然科学基金(41374007)；江西省研究生创新基金(YC2016-S292)。

邱小梦，硕士生，主要研究方向为变形监测数据处理，E-mail:1415519128@qq.com。

10.14075/j.jgg.2016.12.014

1671-5942(2016)012-1096-04

P207

A