高中数学教学中数形结合思想的应用

乔军

数形结合是数学解题中常见的一种方法，不仅是对基本数学的一种掌握，更是优化解题的重要途径之一.利用常规手法去解决一些比较困难的高中数学问题，可能显得比较棘手.而且有些难题用普通的代数方法去解答会显得尤为困难，也不能让学生得到更深层的理解.如果巧妙地将数形结合和代数、几何的问题相结合，就可以让代数的难题得到很好的诠释，不仅能使高中数学中复杂化的问题，得以明了、简化，还可以使学生绕过数学中的各种障碍，脱离繁琐的推导.所以将数形结合的方法运用在高中数学当中是最恰当不过的了.

一、数形结合在高中数学教学中的作用

在学习数学的过程中，可利用“形”来表达相应的几何图形，通过数形结合的方法来解决数学问题的话，大大降低学生的学习难度；还能够使学生开拓自己的思维，丰富学生的学习方法，树立全新的学习意识.数形结合解题思想的应用也是特别广泛的，可以解决许多高中数学问题：如集合问题、函数问题、方程问题等.

二、数形结合在高中数学教学中的应用

1.数形结合在集合中的应用

集合作为高中数学最基本的概念，有许多学生在刚刚接触集合的时候，无法准确地抓住其中的要领.在集合运算过程中常借助于数轴、Venn（维恩）图来处理，不仅能让学生对集合的知识点理解得更透视更直观，更让运算变得更加快捷明了.

解析如图1，一般情况下用画Venn（维恩）图的方式将A*B的区域画出来，然后再并上A，去掉（A*B）∩A的部分，即为所求（A*B）*A=B，根据题目定义可知答案选B.

2.数形结合在函数中的应用

比如在处理高中三角函数问题的时候，学生应记住sinx，cosx，tanx相关的函数性质.在记忆过程中可以运用数形结合的方式解决问题，这样既省时而且特别轻松.而记住这些函数性质时，可以将具体的图形画出来，就可以很轻松地进行记忆和区分函数的单调性、奇偶性等其他问题.简单地说，就是利用函数图象然后与数形结合的方法进行解题，将复杂的代数问题转化为平面几何问题来处理.但是解决问题不是只靠记住一幅图就可以解答清楚，它是要利用具体图形更直观地将问题呈现出来，再进行数学公式推导才可以得出答案.举个最近几年高考常出现的抽象函数的问题：

例2设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，在区间 [a，b]（a

f（x）g′（x）>0，且f（x）g（x）有最小值-5，则函数y=f（x）g（x）在区间[-b，-a]上

A.是增函数且有最小值-5

B.是减函数且有最小值-5

C.是增函数且有最大值5

D.是减函数且有最大值5

3.数形结合求取值范围

这类例子考查学生对零点、导数在函数中应用的灵活性，结合数形结合的方法，借助求导求极值得出函数的图象特征，进一步求出题目要求的答案.

例5已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是

通过此次对本课题的研究，认识到数形结合的形象与抽象的交叉运用，这种多项思维相互促进的形式，不仅可以使学生的解题思维得到发展，降低了学生的解题难度，还增强了学生的解题能力，也培养和发展了学生的空间观念.所以，应对数形结合的方法给予高度重视，从而才能让学生在学习数学的基础上提升自身数学思维水平.