高考数学圆锥曲线问题中离心率e的应用分析

孙小中

圆锥曲线是高中学习内容中的重点，学生若要解决该类型题目，需要具备良好的抽象思维以及逻辑思维.所谓圆锥曲线，一般可统一定义为：平面当中至某一定点F与至某一定直线l之间距离之比为常数e的轨迹，且规定点F不属于直线l.若01，则轨迹为双曲线；若e=1，则轨迹为抛物线.由上述定义可知离心率对圆锥曲线而言，极为重要.故而，学生在解决有关圆锥曲线的问题时，便可灵活使用离心率e作为解决问题的方法.

一、离心率在双曲线中的应用

高考数学试卷当中，部分填空题也涉及了有关圆锥曲线的知识，部分学生往往按照解答题的方式解答，导致学生需要消耗大量时间，解题效率不高.解决该类型题目，需要学生认真分析题目给定条件，选取合适且简便的方法，解答问题.双曲线是圆锥曲线中的一种，在填空题当中出现频率较高，学生应熟悉如何运用离心率e解决相关问题.

例1

（2015衡水四模）设存在椭圆，其中心为原点，该椭圆同双曲线的焦点相同，设左右焦点分别为F1、F2，在第一象限内，两条曲线的交点为点P，△PF1F2为等腰三角形，以线段PF1作为底边.若|PF1|=10，椭圆离心率设为e1，双曲线离心率设为e2，求e1·e2的取值范围.

题目分析针对该题目，学生应先设定椭圆以及双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n（m>n）.

因为△PF1F2是等腰三角形，且将线段PF1作为底边，若|PF1|=10，则有m=10，n=2c.

根据椭圆定义可知m+n=2a1.

根据双曲线定义可知m-n=2a2.

即：a1=5+c，a2=5-c，且c<5.

再利用三角形两边之和大于第三边这一定理，可知2c+2c>10，

即c>52，即有52

根据离心率公式可得e1·e2=ca1·ca2=c225-c2=125c2-1.

因为1<25c2<4，则有125c2-1>13.

则e1·e2的取值范围便是（13，+∞）.

圆锥曲线是高中数学极为重要的知识点，而离心率则是大部分圆锥曲线解题的关键.故而，学生应熟悉如何在解题过程中灵活运用离心率进行问题的解答，以便提高自身解题能力以及效率，从而提高自身成绩.

二、离心率在双曲线中的应用

例2（2014年辽宁）已知椭圆C：x29+y24=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=.

题目分析根据三角形中位线定理把求|AN|+|BN|的大小问题转化为求|PF1|+|PF2|的大小问题，再利用椭圆的定义可求得|AN|+|BN|的值.

设线段MN的中点为P，左右焦点分别为F1、F2.又因为F1为线段MA的中点，F2为线段MB的中点，所以|AN|=2|PF1|，|BN|=2|PF2|.则|AN|+|BN|=2（|PF1|+|PF2|）.由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，所以|AN|+|BN|=4a.又因为a2=9，所以a=3，所以|AN|+|BN|=12.

三、离心率在抛物线中的应用

例3（2014年大纲）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=54|PQ|.（1）求C的方程；（2）略.

题目分析可以利用待定系数法.先利用抛物线的定义结合已知条件求得含有p的点P的横坐标，再将点P的坐标代入抛物线方程，即可求得p的值.

设Q（x，4），直线y=4与准线交于H.因为抛物线的准线为x=-p2，则由抛物线定义知|QF|=|QH|=x+p2.又因为|PQ|=x，|QF|=54|PQ|，所以x+p2=54x，解得x=2p，则Q（2p，4）.代入y2=2px，得16=2p·2p，解得p=2.

所以抛物线的方程为y2=4x.

圆锥曲线是高中数学极为重要的知识点，而离心率则是大部分圆锥曲线解题的关键.故而，学生应熟悉如何在解题过程中灵活运用离心率进行问题的解答，以便提高自身解题能力以及效率，从而提高自身成绩.