构造数列证明等式与不等式问题

张志奎

与自然数n有关的不等式，我们常规的思考方法是数学归纳法证明.但有些问题用常规的思维方式寻求解题途径却比较繁琐，甚至无从着手.在这种情况下，如果我们改变思维方向，换个角度思考，往往就能找到一条绕过障碍的新途径.构造法就是这样的手段之一.笔者通过研究，发现利用数列的单调性证明数学问题，更加简单明晰.现抛砖引玉，希望此种方法能够被学生掌握.例1求证：1+12+13+…+1n>ln（n+1）（n∈N*）.

（引理）先证x>0时，x>ln（x+1）.

令f（x）=x-ln（x+1），x>0，

则f ′（x）=1-1x+1=xx+1>0.

由此可见，构造就是“无中生有”.构造法体现了数学发现思维的特点，构造不是胡思乱想，不是凭空臆造，而是要以掌握的知识为背景，已具备的能力为基础，以观察为主导，以分析为基础，通过仔细的观察，分析，发现问题之间的各个环节及其中的联系.许多数学问题，其实有的时候不怕做不到，就怕想不到，只要我们多观察、多思考，数学解题就会变得充满活力与乐趣.

著名教育家波利亚说过：“当原问题看来不好解决时，人类的高明之处就在于会迂回绕过不能直接克服的障碍，就在于能想出某个适当的辅助问题.”可见，利用构造法解题是数学常用的方法，也常能化难为易，简化解题.