浅析数形结合思想在高考数学解题中的应用

邢军

一、数形结合思想在函数解题中的应用

函数是高中数学的重要内容之一，通过把“数”和“形”结合起来，利用函数图像研究函数的性质，由函数的解析式画出几何图形，由此相互依托.

例1求函数y=1-x22+x的值域.

分析由题意易知定义域是-1≤x≤1，所以可设x=cosθ（0≤θ≤π），则有y=sinθcosθ+2.y值可看作是过点T（cosθ，sinθ）（0≤θ≤π）与点A（-2，0）的直线的斜率.动点T在半圆周上运动，从图1可看出，直线AT的斜率满足：0≤kAT≤kAM，即0≤y≤

33，问题得到解决.

二、数形结合思想在不等式解题中的应用

解不等式是高中代数的主要内容之一，也是数学高考题中必考的内容之一，不等式的求解除常规思路，运用代数方面进行计算，计算量较大也比较抽象.通常如果将不等式进行合理变形后，能容易画出不等号两边的函数图象，从而直接判断结果.

例2当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2

分析若将不等号的两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解.

解设y1=（x-1）2，y2=logax，则y1=（x-1）2的图象为抛物线（如图7所示）.要使对一切x∈（1，2），y11，并非必须也只需当x=2时，y2的函数值大于或等于y1的函数值.

故loga2>1，a>1，所以1

三、数形结合思想在平面向量解题中的应用

向量集数与形于一身，既包含了代数的抽象性又蕴含了几何的直观性，因此数形结合思想是解决向量问题的有力工具.

例3[2009年湖北省高考（理）第17题]已知向量b=（cosβ，sinβ），c=（-1，0），则向量b+c的长度的最大值是.

分析由已知条件可以知道b与c都是单位圆上的点，结合图象易知：当且仅当b=c=（-1，0）时，|b+c|max=2，故向量b+c的长度的最大值为2.

恩格斯说“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”.数与形既是对立的又是统一的，每一个几何图形都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量.通过以上高考题的解答我们可以很清楚地看到如果能给数学命题以直观形象的描述，揭示出命题的几何特征，就能变抽象为形象，能形成概念的相互转化，使得数形结合思想的就“数”与“形”结合，相互渗透，使抽象思维和形象思维有机结合，从而提高解题速度与质量.