空间点坐标的寻找方法

杨照

建立空间直角坐标系解立体几何（下简称立几）题，是新课标理科学生必须掌握的，即使是文科，大多也介绍了此法.大凡有点质量的立几题，常会在点的坐标寻找上遇到不同程度的障碍，大多数情况下，点坐标的寻找都至关重要，是解题过程中绕不过的环节，甚至有的题就是考查求点的坐标.那么，寻找点的坐标有哪些方法（方式）呢？

一、运用已知比的投影或已知比的坐标描述

中点是比为1的点，运用其投影依然是中点或运用中点坐标公式是常见的求点坐标的方法.非中点又告知了常数的比，运用其投影比与原比相等或运用a=λb自然描述坐标来求.不提倡用点的定比分点公式.

例1在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2（如图1）.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）.

（1）求证： A1E⊥平面BEP；

（2）若A1M∶MB=1∶2，求直线EM与平面A1BP所成角的正弦值.

分析（1）先要借助正三角形及已知比证EF⊥AB，从而得A1E⊥EF，再由已知面面垂直的性质可获证.

（2）设正三角形ABC的边长为3，建立以直线EB、直线EF、直线EA1分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系E-xyz， P和M的坐标寻找是关键：由于EB=2PF，则P投影到x轴上是线段EB的中点，其坐标为P（1，3，0）.又A1M∶MB=1∶2得BM=2MA1，B（2，0，0），A1（0，0，1），用向量坐标可自然求得M的坐标，也可用投影比的不变性得出M的坐标.

解略.

二、设点的坐标，逆势而行

这种方法考查了学生的个性品质——因为主动的设或勉强的设，有个性品质的因素，与常规的已知齐备的数值后的计算和推理不同，未知参量由于未知，参与已知数据和其它量同等计算或推理，总是从心理上有些抗拒，所以设参量逆势而行，需要勇气和坚韧.这里参量的待定依据几何特征直接设或以向量a=λb形式用参量λ易于自然描述坐标，高考复习要把这种题型作为重中之重.这些年这种题型考查颇多，仅2012年高考理就有全国大纲卷、北京卷、天津卷、湖南卷、湖北卷、辽宁卷、重庆卷、浙江卷等8卷的立体几何大题考查属于或可转化为这种类型.

例2（ 2009全国高考Ⅰ卷文理 ）如图3，四棱锥S-ABCD的底面为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=2，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°.

（1）求证： M是侧棱SC的中点；

（2）求二面角S-AM-B的大小.

分析（1）由纯几何法获证难.从寻找M的位置入手：设SM=λMC，M（x，y），运用条件逆势而上.实际上，这是需要果敢行动的，因为前方的路未知，无底；（2）略.

解以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则

A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），S（0，0，2）.

（1）设SM=λMC（λ>0），则M（0，2λ1+λ，21+λ），

BM=（-2，-21+λ，21+λ）.又BA=（0，-2，0），∠ABM=60°，

于是BA·BM=BABMcos60°，所以有

41+λ=2（-2）2+（-21+λ）2+（21+λ）2×12，

解得λ=1，即SM=MC，

故 M是侧棱SC的中点.

（2）略.

例3（2008浙江高考文理）如图4，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，AD=3，EF=2.

（1）求证： AE∥平面DCF；

（2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？

解（1）略.

（2）如图4，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz.

设AB=a，BE=b，CF=c，则C（0，0，0），A（3，0，a），B（3，0，0），E（3，b，0），F（0，c，0）.

因为EF=（-3，c-b，0），CE=（3，b，0），且EF·CE=0，EF=2，

所以-3+b（c-b）=0，3+（c-b）2=2，解得b=3，c=4.

所以E（3，3，0），F（0，4，0），AE=（0，3，-a）.设n=（x，y，z）是平面AEF的法向量，则

3y-az=0，-3x+y=0，令x=1，则y=3，z=33a，n=（1，3，33a）.

又BA=（0，0，a），所以

cos〈n，BA〉=BA·nBAn=334a2+27=12，

解得a=92，故当AB为92时，二面角A-EF-C的大小为60°.

有的设参量纯是帮助占位置，并不需求出值，不再赘述.

三、列方程

设点坐标，列方程，解方程，本是一种常规方法，但在立几解题中，这一方法往往遭遇立几知识的负迁移，反到觉得这是不同寻常之法.所以，要有目的有计划训练该方法.

例4（2011重庆高考文）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.

（1）求四面体ABCD的体积；

（2）求二面角C-AB-D的平面角的正切值.

解（1）设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，作OM⊥AC，交AD于M.

由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM，于是建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.由题设知A（0，-1，0），C（0，1，0）.设点B（x1，y1，0），则

AB=（x1，y1+1，0），BC=（-x1，1-y1，0）.由AB⊥BC，BC=1，有

x21+（y1+1）2=3，x21+（y1-1）2=1，

解得x1=32，y1=12，或x1=-32，y1=12.（舍）

所以B（32，12，0）.又设D（0，y2，z2），则CD=（0，y2-1，z2），AD=（0，y2+1，z2）.

由题设有

（y2-1）2+z22=1，（y2+1）2+z22=4，

解得y2=34，z2=154，或y2=34，z2=-154.（舍）

所以D（0，34，154）.

从而AB=（32）2+（12+1）2=3，故

VABCD=13·12·AB·BC·z2=13·12·3·154=58.

（2）略.

解方程自然，朴实，绕去了较为深层的几何推理计算.四、运用向量

借助向量的相等或向量运算，可以实现转移或空间跨越，看似不可能得到的点的坐标突然降临.

例5（2010湖北高考文理）如图6，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.

（1）设P为AC的中点，求证：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算ABAQ的值；

（2）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.

解（1）取O为坐标原点，分别以OA、OC所在的直线为x轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示），则O（0，0，0），A（1，0，0），C（0，0，1），B（-12，32，0），P（12，0，12）.设AQ=λAB（λ∈（0，1）），

因为AB=（-32，32，0），

所以OQ=OA+AQ=（1，0，0）+λ（-32，32，0）=（1-32λ，32λ，0）.

所以PQ=OQ-OP=（12-32λ，32λ，-12）.

由题设有PQ·OA=0，则12-32λ=0，λ=13.

故存在点Q（12，36，0）使得PQ⊥OA，且ABAQ=3.

（2）略.

例6已知三棱柱ABC—A1B1C1各棱长均为2，如图7，侧面A1ACC1⊥底面ABC，AA1与底面所成角为60°.

（1）求证： AC⊥A1B；

（2）求直线B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值；

（3）求平面ABC与平面A1B1C所成二面角的余弦值.

分析建立空间直角坐标系后，B1的坐标寻找是个难点，若用投影法，易错；用向量相等则易于寻找，也体现了向量自由移动的优势.权且作为训练，不妨一试.