多角度思考巧用三角工具解题

张永玲

三角是高中数学传统内容的四大模块（代数，三角，立体几何，解析几何）之一.在教师教学和学生学习时，往往把关注的重点放在了三角函数的性质和图象，三角公式的灵活运用上，把三角的知识作为一个封闭的知识来对待，而忽略了三角知识与方法在其它领域的工具作用.新课标倡导的十条理念之一是：发展学生的数学应用意识，因此我们在教学中，不仅要把三角知识系统化，更要探索三角知识和方法的广泛应用，发挥出工具作用.

一、证明平面几何题

例1如图1，E是正方形ABCD的边BC的中点，F在CD上，且CF=14CD.求证：∠BAE=∠EAF

证明本例只需证明∠BAF=2∠BAE.作FG⊥AB于G，设正方形的边长为4，则BE=2，GF=4，AG=3.记∠BAE=θ，显然tanθ=12tan2θ=43，tan∠GAF=43，可见 tan2∠BAE=tan∠BAF.而∠BAF=2∠BAE都是锐角，所以∠BAF=2∠BAE，从而∠BAE=∠EAF.

二、求值域

例2求函数y=x2+xx2-1的值域.

例3若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是

A.245B. 285C.5D.6

解已知式化为15y+35x=1，可设15y=sin2θ，35x=cos2θ，即y=15sin2θ，x=35cos2θ，所以3x+4y=95sec2θ+45csc2θ，即tan2θ=23，也即sin2θ=25，cos2θ=35，从而x=1，y=12.因此3x+4y的最小值为5，选C.

四、求解不等式问题

例4设a，b∈R，且a2+b2≤1，求证：a2+2ab-b2≤2

证明由已知及求证式子中的a2-b2，2ab，联想到三角中的正弦，余弦的倍角公式.设a=ccosθ，b=csinθ（c≤1），则a2+2ab-b2=c2（cos2θ+sin2θ）=2c2sin（2θ+π4）.因此a2+2ab-b2≤2.

五、求解数列问题

例5在数列an中，an+1=an+31-3an，求a2016-a2010的值.

解递推式的形式与两角和的正切公式相似，其中3=tan60°，不妨设an=tanθn，则有tanθn+1=tanθn+tan60°1-tanθntan60°=tanθn+tan60°an+6=an，可知数列an是以6为周期的周期数列.所以a2016-a2010=0.

六、求解向量问题

例6△ABC是是边长为3的正三角形，P是以C为圆心的圆上的任意一点，则AP·BP的取值范围是.

解以C为原点如图2建立平面直角坐标系，可知A（-32，-32），B（32，32），C（0，0），设P（cosθ，sinθ），则AP=（cosθ+32，sinθ+32），BP=（cosθ-32，sinθ+32），所以AP·BP=cos2θ-34+sin2θ+3sinθ+94=3sinθ+52.而-1≤sinθ≤1，所以AP·BP的取值范围是-12，112

七、求解立体几何问题

例7已知圆锥的母线长为l，底面半径为r，求过圆锥顶点的截面三角形面积S的最大值.