在解三角形问题中不可小视的简单性质定理和解法细节

党泉元

有关解三角形的问题，是近几年高考的热点，应说是一道基础题，但好多同学得分不高.就其原因是忽视了简单而重要的性质的应用，比如平面几何中与三角形有关的性质定理不可小视，应该予以重视.本文就是对这一问题进行了简单分析和说明.

如图1，在△ABC中，A，B，C分别是边a，b，c的对角，AD是角A的角平分线，有下面的简单而又重要的定理及性质：

性质1A+（B+C）=π； （A+B）+C=π；（A+C）+B=π.

评注可把三个角看成两个角，看起来很简单，但这一变形作用很大，不可小视.

由性质1及由三角函数的诱导公式可得到下面的重要性质：

性质2若两角互补，则正弦值相等，余弦值互为相反数，正切值互为相反数.即

sinA=sin（B+C）；sinC=sin（A+B）；sinB=sin（A+C）；cosA=-cos（B+C）；cosC=-cos（A+B）；cosB=-cos（A+C）.

评注在高考当中我们可以把它当成常见而重要的公式直接用，不仅可避免走很多弯路，还可以节省时间.

性质3角平分线性质定理：ABAC=BDDC.

性质4三角形面积公式：

S=12bcsinA=12absinC=12acsinB.

例1（2014全国文科Ⅱ卷17题）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2.

（Ⅰ） 求C和BD；

（Ⅱ） 求四边形ABCD的面积.

解（Ⅰ）如图2，（画图可以使问题更直观形象，让学生养成随时动手画图的习惯，认识图形的重要性）

由余弦定理可得

BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA，①

BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cosC.②

又因为cosC=-cosA（性质2），

由①②得cosC=12，故C=60°.

评注解决这一问题的关键是找到互补两角A和C的桥梁BD把A和C联系起来，在这里必须画出图形连接BD，同时利用好两角互补余弦值互为相反数这一既简单又常用的性质，不可小视这两个条件，好多同学忽视了这两个条件从而无从下手，因此没得分.

（Ⅱ）由cosC=12可得cosA=-12，

再由平方关系可得sinA和sinC.

所以S=12AB·DA·sinA+12BC·CD·sinC=23（性质4）.

评注解决这一问，只要对平方关系sin2α+cos2α=1和三角形面积公式熟悉即可.

例2（2015年全国文科Ⅱ卷17题）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.

（Ⅰ）求sin∠Bsin∠C；

（Ⅱ） 若∠BAC=60°，求∠B.

解如图3所示，因为AD平分∠BAC，所以可设∠BAD=∠BAC=α.

评注这样设，结合图形可以在直观上简化问题.

（Ⅰ）解法一由正弦定理得

BDsinα=ADsinB①，CDsinα=ADsinC②.

由②式比①式得

sinBsinC=CDBD=12.

评注此处可以用多种方法化简，应仔细观察并思考可知两式相比更妙，平时要多训练习，同时要注意AD和α是找到sinB和sinC联系的桥梁，牵线搭桥的作用，好多同学无从下手是因为没找到联系.

解法二

如图3，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c （这样设，结合图形同样可以在直观上简化问题使表示更简洁）.

由三角形内角平分线性质得bc=CDBD=12.

又由正弦定理可知

sinBsinC=bc=12.

评注此法解决的前提是知道三角形内角平分线性质以及正弦定理，对能力要求较强.

（Ⅱ）解法一

sinB=sin（60°+C）（性质2），

又sinBsinC=12，化简可得cosC=0.

评注此处用到∠B和（∠A +∠C）互补这一隐含条件，还必须用到（性质2）的结论，这是解题的关键，否则无法往下进行.

又∠C是三角形的内角，所以∠C=90°，

故∠B=30°.

解法二

sinC=sin（60°+B） （性质2），

化简可得

sinC=32cosB+12sinB.

又sinBsinC=12，

所以 2sinB=32cosB+12sinB.

化简得tanB=33，所以∠B=30°.

评注此法思路同“法一”，区别是直接得出∠B，所以∠C=90°.

此处还可选择多种方法，但仔细思考观察可发现三边恰好构成直角三角形，从而使问题简化，故∠B=30°.

上述解法对知识的综合能力以及知识的积累要求较强，要灵活应用相关性质和结论使问题更简单.