一道高考压轴题的另外四种解法
2016-12-02王春雨林明焕
王春雨 林明焕
一题多解，可以使学生在比较中找到最恰当，最简洁的解题方法，全方位、多角度地把握物理知识点的应用.学生经常进行一题多解训练，可以减轻学习负担，锻炼思考问题的发散性、周密性和全面性.培养他们更准确地应用数学知识和数学方法解决物理问题的能力.还能使他们分层次地、灵活地掌握物理知识和规律.现以一道高考压轴题的另外三种简单解法为例，展示一下压轴题也能有简单的解法.通过对比参考答案，能激发学生的求知热情和不断探索的热情；对多角度解决物理问题充满信心.
例（2011年高考全国二卷，理综物理压轴题）装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击.通过对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因.
质量为2m，厚度为2d的钢板静止于光滑的水平桌面上，质量为m的子弹以某一速度垂直射向该钢板刚好能将钢板射穿.现将钢板分成厚度均为d，质量均为m的相同两块，间隔一段距离水平放置，如图1所示.若子弹还以相同的速度射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板，求子弹射向第二块钢板的深度.设子弹在钢板中受的阻力为恒力.两块钢板不会发生碰撞，不计重力的影响.
解法一（高考参考答案）射子弹初速度为v0，射入厚度为2d的钢板后最终和钢板共同速度为v，由动量守恒定律得：
（2m+m）v=mv0 （1）
解得：v=13v0，
此过程动能损失为：
ΔE=12mv02-12×3mv2 （2）
整理得△E=13mv02
分成两块钢板后，设射子弹射穿第一块钢板后，两者速度分别是v1和v2，由动量守恒定律得：
mv2+mv1=mv0（3）
因为钢板对子弹的阻力为恒力，则射穿第一块钢板的动能损失应为12ΔE，由能量守恒得：
12mv12 + 12mv22 = 12 mv02- 12ΔE（4）
联立（1）、（2）、（3）、（4）式，且考虑到v2必须小于v1得：
v1=（12 +36）v0（5）
设子弹射入第二块钢板并留在其中后两者的共同的速度是v3，由动量守恒定律得：
2mv3=mv1（6）
损失的动能为ΔE/=12mv12-12×2mv32（7）
联立（1）、（2）、（5）、（6）、（7）式得
ΔE′=12（1+ 32）×12ΔE（8）
因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力，由（8）式得射入第二块钢板的深度x为：
x=12（1+ 32）d （9）
解法二（相对运动法）
设子弹初速度为v0，子弹射入厚度为2d的钢板时，钢板的加速度是a，选定初速度为正方向，根据牛顿第二定律F=ma（F为恒力）得：子弹加速度：-2a，厚度为d的钢板加速度均为2a .
当子弹射入厚度为2d的钢板时：选钢板为参考系，则子弹：初速v0相=v0，a相=-3a，末速v相=0，x相=2d
由运动学公式：2ax=v2-v20（1）
得： v20=12ad （2）
设子弹射穿第一块厚度为d的钢板后，子弹和钢板的速度分别是v1和v2（且v1>v2）以钢板为参考系，子弹的：初速：v0相=v0，末速v相=v1-v2，a相=-4a，x相=d仍由（1）式得：
（v1-v2）2-v20=2×（-4a）×d（3）
再由动量守恒定律得：mv0=mv1+mv2 （4）
联立（2）、（3）、（4）得：
v1=12（1+ 33）v0 （5）当子弹再射入第二块厚度为d的钢板时，以钢板为参考系，子弹的： 初速v0相=v1，末速v相=0，a相=-4a，x相=d′，再由（1）式得：
0-v21=2×（-4a）d′（6）
由（2）、（5）、（6）得： d′=12（1+ 32）d
这种方法用三个相对运动方程并且都用同一个公式：2ax=v2-v20和一个动量守恒方程解出的，比高考参考答案简单得多.
解法三、解法四（图象法）
说明（1）如图2的图象ABCIJ和t1IJ分别表示子弹射质量为
2m钢板时，子弹和钢板的运动情况简图.
（2）图象ABCDEF、t1GK和t3EF分别为子弹射进两块质量为m的钢板时，子弹、第一块钢板和第二块钢板的运动情况简图.
图像简化：去掉子弹和钢板的匀速运动过程，简化成如图3的图像.（突出子弹打钢板过程，运动过程理想化，不影响结果）.其中t1时刻既是子弹刚穿出第一块质量为m的钢板时，也是刚穿进第二钢板时刻.其中ABC和OC表示子弹打质量为2 m钢板；AEF、OD和t1B分别表示子弹射穿两块质量为m钢板时，子弹、第一块钢板及第二块钢板的速度图像.
应用的数学图像常识有：公式v=v0+at又是直线方程；直线斜率表示加速度；“面积”表示位移，“面积”差表示相对位移；由动量守恒可知子弹射质量为2 m钢板后，共同速度是v′=v0/3.
解由图3设子弹的初速度为v0，并且以它的方向为正.子弹射穿质量为2 m的钢板过程中，时间是t0，钢板的加速度为a，据牛顿第二定律F=ma（F恒定），子弹加速度为-2a；质量为m的钢板的加速度都为2a；设DE表示的速度为Δv，加速度定义：a=v03t0（斜率），则其它的加速度大小都是2v03t0.
对于OD：v0-Δv2=2v0t13t0
，整理得
3t0（v0-△v）=4v0t1（1）
三角形ACO面积为：12v0t0=2d即：v0t0=4d（2）
依题意，梯形AEDO面积为：
d=12（Δv+v0）t1（3）
联立（1）、（2）、（3）得：Δv=v03（4）
t1=3-34t0 （5）
（为节约篇幅，以上结论解法三和解法四共用）
解法三（直线方程求交点确定坐标法）
图中B为AB、t1B的交点，通过AB、t1B的直线方程可以求出其坐标：
AB直线方程：v=v0-2v03t0t （6）
t1B直线方程：v=2v03t0（t-t1） （7）
联立（6）、（7）式得t=9-38t0（为图中t2坐标）（8）
由（8）式和（5）式得t1t2=t2-t1=3+38t0（9）
由几何关系和（4）式得：Et1=3+36v0（10）穿入第二块质量为m的钢板深度d′即为ΔEt1B的面积，联立（9）、（10）和（2）式及三角型面积公式得：
d′=12×3+38×3+36v0t0=12（1+32）d（11）
解法四（相似三角形法）
见图象，延长OD交直线AB于F点，则△FAO和△BEt1相似，由几何关系容易看出vF=12v0，通过斜率2v03t0容易解出t3=34t0（12）
△FAO的面积为：12×v0×34t0=32d，联立（2）式，再由几何关系和（4）式得
Et1=AO-Dt1=3+36v0 （13）
根据相似比性质：边长平方比等于面积比得
Et21：AO2=d′：（3d2） ，（其中AO=v0）
联立（13式）得：
d′=12（1+32）d
上面解题法应用学生常见的数学方法.解题明显步骤简单.学生容易操作，比参考答案简单.
