由一道高考题谈数形结合

张永亮

数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

例1设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）.

（1） 当b=a24+1时，求函数f（x）在[-1，1]上的最小值g（a）的表达式；

（2） 已知函数f（x）在[-1，1]上存在零点，0≤b-2a≤1，求b的取值范围.

分析本题主要考查函数的单调性和最值、分段函数、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力.

解（1） 当b=a2/4+1时，f（x）=（x+a/2）2+1，所以对称轴为直线x=-a/2.

当a≤-2时，g（a）=f（1）=a2/4+a+2；

当-2

当a>2时，g（a）=f（-1）=a2/4-a+2.

综上g（a）=a2/4+a+2，a≤-2，1，-22.

（2）解法一：设s，t为方程f（x）的解，且-1≤t≤1，则s+t=-a，st=b.

由于0≤b-2a≤1，因此-2tt+2≤s≤

1-2tt+2（-1≤t≤1）.

当0≤t≤1，-2t2t+2≤st≤

t-2t2t+2，由于-23≤-2t2t+2≤0和

-13≤

t-2t2t+2≤9-45，所以-23≤b≤9-45.

当-1≤t<0时，t-2t2t+2≤st≤-2t2t+2，由于-2≤-

2t2t+2<0和-3≤t-2t2t+2<0，所以-3≤b<0.

综上，b的取值范围是[-3，9-45].

解法二由题意知，要使f（x）在[-1，1]存在零点，且满足0≤b-2a≤1，则必须满足条件

f（-1）f（1）<0，0≤b-2a≤1，或

Δ≥0，f（-1）≥0，f（1）≥0，-1≤-a/2〗≤1，0≤b-2a≤1，即a，b满足下列条件

1-a+b≥0，1+a+b≤0，0≤b-2a≤1，或1-a+b≤0，1+a+b≥0，0≤b-2a≤1，或b≤a2/4，1-a+b≥0，1+a+b≥0，-1≤-a/2≤1，0≤b-2a≤1.表示

下图A，B，C，O为顶点的区域.

可以知道A坐标为（4-25，9-45），B坐标为（-2，-3），从而b的范围为[-3，9-45].

例2若方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）内有唯一解，求实数m的取值范围.

分析将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围

内有实解的问题，再利用二次函数的图象进行解决，也可以直接用m表示出一元二次方程的根，再讨论根的范围.

解法一原方程变形为3-x>0，-x2+3x-m=3-x，即 3-x>0，（x-2）2=1-m.

设曲线y1=（x-2）2，x∈（0，3）和直线y2=1-m，图象如图所示.

由图可知：

（a）当1-m=0时，有唯一解，m=1；

（b）当1≤1-m<4时，有唯一解，即-3

所以m=1或-3

解法二原方程在x∈（0，3）内有唯一解，等价于方程-x2+3x-m=3-x在x∈（0，3）内有唯一解，

即x2-4x+m+3=0在x∈（0，3）内有唯一解.

（a）Δ=0时，即m=1时，方程为x2-4x+4=0，有唯一解x=2∈（0，3）.

（b）Δ>0时，即m<1，方程有两个不同的解x1=2-1-m，x2=2+1-m.要使方程在x∈（0，3）内有唯一解，需要满足x1≤0，0

解得-3

综上，要使原方程在x∈（0，3）内有唯一解，m=1或-3