特殊四边形的存在性问题解法探索

2016-12-02赵婷婷

新教育时代电子杂志(教师版) 2016年20期

关键词：直角坐标直角四边形

赵婷婷

（铜陵市义安区第三中学安徽铜陵 244100）

特殊四边形的存在性问题解法探索

赵婷婷

（铜陵市义安区第三中学安徽铜陵 244100）

在初中教学当中，几何是一个十分重要的科目。而在几何学习当中，特殊四边形是一种主要的几何图形，存在着不同的性质和变化。在实际学习当中，关于特殊四边形的存在性问题是一种主要的问题类型，对于这些问题应当灵活的运用所学知识进行解决。基于此，本文对特殊四边形的存在性问题解法进行了研究，以期推动初中几何教学的更大进步。

特殊四边形存在性问题解法探索

引言

特殊四边形是初中几何学习当中的一个重要部分，在个各种考试当中，特殊四边形的存在性问题是一个重点题型。因此，对于这一问题的解决方法，学生应当进行良好的学习和掌握，在遇到此类题型的时候，应当知道如何进行解决。而在实际教学当中，教师应当对特殊四边形的存在性问题解法教学加以明确和重视，从而提升教学效果。

一、正方形的存在性问题解法

对于正方形的存在性问题，基于正方形对角线相互垂直平分且相等、两组对边分别平行、四条边相等的性质，在解题中进行应用。

例如在平面直角坐标系当中，点A（－1，0），点B（0，2），点C在抛物线a x2＋a x－2上，直角△CDA和直角△AOB全等，求解抛物线的解析式，在对称轴右侧的抛物线部分，求解能够形成正方形ABPQ的点P和点Q坐标。在解题过程中，由于两个直角△CDA和△AOB全等，因此OD＝3，CD＝1，C点坐标为（－3，1）。由于点C在抛物线上，因此a（－3）2＋a（－3）－2＝1，得出a＝1/2。因此抛物线解析式y＝（1/2）x2＋（1/2）x－2。对于第二个问题，将AB作为正方形的边，作正方形ABPQ，经过点P使PE与OB在E垂直，使QG与x轴在G垂直，可知△BAO、△AQC、△PBE相互全等。因此，PE、AG、BO相等，数值为2，BE、QG、AO相等，数值为1。因此点P和点Q的坐标分别为（2，1）、（1，－1）。根据之前得到的抛物线解析式，当x＝2、1的时候，y＝1、－1，因此证明了点P和点Q存在。

图1　直角坐标系中正方形存在问题

在该问题的解决过程中，应当认识到正方形四个角都是直角的特性，并且四条边都相等。然后根据三角形的全等对构成正方形的点进行计算，最后在抛物线表达式中进行代入验算，得出最终结论。

二、直角梯形的存在性问题解法

直角梯形具有一个底角是直角、一组对边相互平行，另一组对边不平行的特性，在解题中，可以对这些特性加以利用。

例如，二次函数图像y＝－x2＋a x＋b，在点A（－1/2，0）、点B（2，0）的位置上与x轴相交，在点C与y轴相交。对抛物线解析式进行求解，同时对△ABC的形状进行判断。如果直角梯形的四个定点分别是A、B、C、P，求解P点的坐标。在解题过程中，可在二次函数中将点A和点B的坐标进行代入，从而得出a＝3/2，b＝1。因此得出抛物线解析式y＝－x2＋（3/2）x＋1，当x＝0，y＝1，因此点C的坐标为（0，1）。根据计算的处在等于5/2，因此证明△ABC是直角三角形。对于第二个问题，由于AC和BC相互垂直，如果BC是底边，BC和AP平行。BC为y＝（－1/2）x＋1，直线AP可由直线BC平移得到，因此，直线AP为y＝（－1/2）x＋b，代入点A坐标能够得出b＝－1/4，因此直线AP为y＝（－1/2）x－1/4。因此点P同时在直线AP和抛物线上，计算得出符合要求的x1＝5/2，因此点P为（5/2，－3/2）。如果AC为底边，根据相同的方法计算得出符合要求的点P的坐标为（－5/2，－9）。

图2　直角坐标系中直角梯形存在性问题

在解决该题的过程中，对直角梯形的存在性问题进行解决，通常是已知三个顶点，对第四个顶点进行求解，在明确直角的两条变的基础上，分别将其作为题型底边进行计算，通过作平行线的方法对另一点的坐标进行求解。

三、平行四边形的存在性问题解法

平行四边形具有对角线相互平分、两组对边分别平行的特性，因此在解题当中应当加以利用。

例如，在平面直角坐标系当中，点A（－1，3），点B（3，0），点C（0，－1）在同一条抛物线上，求解抛物线的表达式。同时在y轴上有点Q，在抛物线上有点P，为了以点Q、P、A、B为顶点形成平行四边形，求解点P的坐标。在解题过程中，将抛物线的表达式设为y＝a x2＋b x＋c，根据题意进行求解，得出a＝1/3，b＝－2/3，c＝－1。因此，抛物线表达式为y＝（1/3）x2－（2/3）x－1。对于第二个问题，如果AB是平行四边形的一条边，需要满足AB与PQ相平行，长度为4，同时由于Q在y轴上，因此P的横坐标为4或－4，当x＝4或－4时，y＝5/3或7，因此点P坐标为（4，5/3）或（－4，7）。如果AB是对角线，需要满足AB和PQ互相平分，由于点Q在y轴上，AB中点横坐标为1。因此，P点横坐标为2，经过计算得出P点坐标为（2，－1）。由此可知，符合条件要求的点P坐标为（4，5/3）或（－4，7）或（2，－1）。

图3　直角坐标系中平行四边形存在性问题

在该题目当中，当中，涉及到了抛物线上点构成平行四边形的存在性问题，在解题过程中，应当结合平行四边形的性质和特点，将抛物线上所有符合要求的点进行一一找出。在解题当中为了避免对符合要求的点的遗漏，应当根据不同的性质进行分类解决。

四、菱形的存在性问题解法

菱形具有平行四边形的所有性质，并且四边相等。在抛物线y＝（1/4）x2＋1中，有一点P，同时y轴有一点A（0，2）。过点P作PB垂直于x轴，如果△PAB是等边三角形，求解点P坐标。然后在直线AP中有一点M，如果四边形OAMN是菱形，则求解点N的坐标。根据题意能够得出，抛物线的顶点坐标为（0，1），并且关于y轴对称，由于△PAB是等边三角形，所以∠ABO为30度，所以直线AB和PB的长度为4。将y＝4带入抛物线，得到x为因此，点P的坐标为或根据菱形的性质，求接触存在的点N为或或或

五、矩形的存在性问题解法

在抛物线y＝ax2＋bx＋c中，存在点A（－3，0），点B（1，0），点C（0，3），顶点为D，对称轴l与x轴在点H相交。在坐标行当中，存在点Q，如果四边形ACPQ为矩形，求点P坐标。根据点C坐标，得出抛物线表达式，利用定点A、C和动点P，将矩形存在性转化为直角三角形存在性问题，根据不同情况，利用k1×k2＝－1，k1×k2＝－1进行求解，求出点P坐标为（－1，－2）、（－1，4）。