体验过程，注重实质

宋艳梅

【摘 要】按知识的发生发展过程进行数学概念教学，从完整的表象蒸发为抽象的规定，追寻数学概念的实质，培养学生数学思维能力。

【关键词】概念;过程;实质;思维

“抛物线及其标准方程”这一数学概念课的设计独具匠心，充分激发了学生“自我实现”的创造力，使学生成为学习的真正主人。但对抛物线标准方程的四种形式的成因讲解过简，本人认为需要加以补充。而和学生一道经历抛物线标准方程的四种形式的形成过程，追寻抛物线标准方程的四种形式的实质，正是让学生进行一次思维训练和体验数学研究的思想方法的佳机。

每一个数学概念都是科学概念，具有抽象性、概括性、精确性的特点，并有严格的形式。西南师大陈重穆先生提出“淡化形式，注重实质”的观点。而对实质的注重须从过程入门，经过操作体会抛物线、焦点、准线及平面直角坐标系的具体关系和相互影响。使它比较容易与学生已有的知识经验贴近起来，并比较自然而然地提升到理论水平。

抛物线标准方程的四种形式实质是对同一条抛物线在不同的坐标系中的四种表现形式的描述。首先观察定直线l和定直线l外一点F的位置关系。先在透明的玻璃板上画好如图（1）的定直线l和定直线l外一点F，让学生从正面观察发现点F位于直线l的右侧;再让学生绕到透明的玻璃板后面观察发现定直线l和定直线l外一点F的相对位置与从正面观察截然相反，点F位于直线l的左侧（如图（2））;

再让学生倾斜身体使身体与定直线l垂直头朝向点F，观察发现点F位于直线l的上方（如图（3））;再让学生倾斜身体使身体与定直线l垂直头朝向直线l，观察发现点F位于直线l的下方（如图（4））。其实在这个过程当中定直线l和定直线l外一点F的位置并未改变，改变的只是我们的观察角度，在我们眼中点与直线表现出四种相对位置关系。

接着观察以点F为焦点，以直线l为准线的抛物线。仍在透明的玻璃板上按照定义画好如图（5）—1的抛物线，再让学生按照刚才的方法从四种不同角度观察发现焦点F、直线l和抛物线分别表现出以下四种相对位置关系（如图（5））：

其实这里的焦点F、直线l和抛物线都是确定的，只因观察者所处的位置不同，而在不同的位置建立的平面直角坐标系也不同，同一条抛物线在不同的坐标系中分别表现出开口向右、开口向左、开口向上、开口向右，从而推导出抛物线标准方程的四种形式。也就是说，抛物线标准方程的四种形式其实是对同一抛物线不同角度的描述。

这样按知识的发生发展过程进行数学教学，从完整的表象蒸发为抽象的规定，从而使学生对抛物线标准方程的四种形式有一个自然的理解。

通过课后调查发现，当没有和学生一道经历抛物线标准方程的四种形式的形成过程之前，大多数学生都认为抛物线标准方程的四种形式表示的是在同一平面直角坐标系中的四条抛物线的标准方程。事实上，直角坐标系并不是客观存在，它是为了数学研究的方便而创立的一种工具，因人因地可以建立不同的直角坐标系，而研究对象是确定的客观存在。虽然学生知道直角坐标系是可以根据需要人为建立的，但这时他们还是被形式束缚住了思维。显然大多数学生不能领悟抛物线标准方程的四种形式的实质，形成了这种不正确的数学思维。而这种不正确的数学思维没有对解题造成障碍，对短期的教学效果没有直接的影响，所以极易被师生忽视。但从长远来看，这不是一种有效教学。前苏联数学教育家A·A·斯托利亚尔认为：“在教学的每一步，不估计学生思维活动的水平，思维的发展、概念的形成和掌握教材的质量，就不可能进行有效的教学。”所谓数学教学，实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的结果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。

从现行的高中数学教学大纲在教学目的中提出：“努力培养学生数学思维能力。”到高中数学新课程标准在课程的总体理念中提出要：“注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”的加强可以体会出：数学教育不能满足于传授给学生数学概念和结论，更重要的是使学生理解数学概念、结论的逐步形成的过程，从而理解数学概念、结论的本质并体会蕴涵在其中的数学思想和方法。

参考文献：

[1]李彩芬. 不预习下的“再创造”教学尝试. 数学教学通讯， 2004（1）

[2]张乃达. 数学思维教育学， 江苏教育出版社， 1990

[3]李士锜. PME：数学教育心理. 华东师范大学出版社，2001