准均匀B样条曲面重建的误差分析与改进方法

李梦娇, 袁 晶, 杜 娜, 吴丽娟

(沈阳师范大学 物理科学与技术学院, 沈阳 110034)



准均匀B样条曲面重建的误差分析与改进方法

李梦娇, 袁 晶, 杜 娜, 吴丽娟

(沈阳师范大学 物理科学与技术学院, 沈阳 110034)

由于在逆向工程,以及平面几何设计中的广泛应用,曲面重建技术成为了目前科研领域中的重要课题,并实际应用于工农产业设计和计算机图像处理等有关领域。为了满足准均匀B样条曲面的端点性质,采用了四重节点端点的固支条件解决了曲面网格端点不与控制网格端点重合的弊端,并选取已经型值点对曲面模型进行反算控制点操作。最后,针对反算后生成曲面不能很好的逼近于原始曲面问题,提出了曲面端点和内节点同时提取并作为数据点的改进方法,完善了重构曲面的质量。通过与原始正向生成曲面的比较,说明该算法正确,精度高,方便可靠,较好地适应了逆向工程技术中的实际需要。

B样条曲面; 逆向工程; 曲面重建

0 引 言

随着计算机领域的不断发展,逆向工程技术已经发展到突飞猛进的阶段,传统的Bezier曲线或曲面存在着计算量大,不能作局部修改等特点,B样条方法是在保留了贝齐尔方法优点的基础上,对其原始方法所缺乏的局部性质进行了改良,并且解决了对复杂形状描述时所带来的连接问题。由于B样条曲面所特有的局部支撑性、连续性和几何不变性,所以与Bezier方法相比,B样条曲面方法更好地解决了曲面的重建问题,因此,B样条曲面造型技术被广泛的应用于工业产品设计中,并且成为了当今最广泛流行的形状数学描述的主流方法。

随着计算机软件的逐步更新,CAD/CAM已成为新的名词出现在计算机领域,传统的CAD/CAM技术包括:概念设计、CAD建模、设计程序、和数据加工4个步骤完成,但传统的原件生产存在着计算效率低、精度差等特点,而逆向工程技术恰与传统技术相反,它包括:数据采集、数据处理、曲线曲面拟合和CAD模型重建4步,有效的克服了以往的缺点,实现了高速、高效和高精度的运作与生产,更好地满足了人们实际生产与科研的需要。

1 B样条曲线与曲面

B样条曲线的定义:

(1)

其中:pi(i=0,1,…,n)为控制顶点集;Ni,k(t)为k阶B样条基函数。利用选定控制顶点,以及已知B样条基,生成均匀B样条曲线与准均匀B样条曲线,如图1所示。

(a)—均匀曲线; (b)—准均匀曲线。

B样条曲面是由多条B样条曲线在u、v这2个方向上多次构建形成的,2个方向的参数方向节点矢量分别为U=[u0,u1,…,um+p]和V=[v0,v1,…,vn+q],B样条曲面的方程定义为

(2)

其中:Pij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)为控制顶点集;Ni,p(u)和Nj,q(v)为B样条曲面基函数,由deBoor-Cox公式推导得出。B样条曲面示意图如图2所示。

(a)—均匀曲线; (b)—准均匀曲线。

2 B样条曲面的性质

B样条曲面是由多条B样条曲线构成, 所以B样条曲面具有与B样条曲线相同的性质, 具体如下:

1) 局部性

由于B样条曲面的每个控制点最多影响3个节点区间的线段,所以对于k阶B样条曲面来说,改变其中第i个控制点,只影响定义区间(ti,ti+k)上的曲线形状,对其他部分不发生影响。

2) 凸包性

B样条曲线或曲面的部分区间位于对应的控制网格的凸包内,整个曲面在凸包ci的并集内。

3) 连续性

在节点向量t的取值范围内,前后2段曲线之间能实现光滑过度,构成曲面的曲线具有ck-2连续性。

4) 几何不变性

生成的B样条曲面只与控制点或控制多边形的形状有关,与坐标选取无关。

总之,B样条方法生成的曲面易于控制,操作简单,几何性质好,且B样条曲线插值的方法,光滑效果比较好,用B样条方法拟合曲线时,精度值高,计算速度快。

3 B样条曲面的反算

基于已知控制点或控制网格,就可以对曲线和曲面进行正向生成,但若对生成的已知曲面的形状有不满意之处,需要改进时,就需要调整控制点,从而影响该控制点所对应的曲面,达到曲面的修改目的,直至获得满意的结果。因此,通过曲面的反算,反求曲面控制点成为该领域的必修课题之一。

3.1 反算三次B样条插值曲线的控制顶点

首先,确定节点矢量。当插值曲线为准均匀开曲线时,应取四重节点端点的固支条件,将首末节点的重复度取为4,即r=4,则有

(3)

(4)

其中

利用追赶法解之,即可求出全部n+3个控制顶点。

3.2 反算三次准均匀B样条曲面的控制顶点

三次B样条曲面的反算可转化为2个方向的B样条曲线反算方法,由平均技术,每个参数方向的节点矢量取成该参数方向参数值的平均,如式(5)、式(6)

(5)

(6)

通过2次调用曲线反算函数,分别算出u,v这2个方向上的所有控制点。最后,由准均匀B样条基生成B样条曲面。反算后对双控制点生成的曲面与原始曲面,如图3所示。

(a)—原始曲面; (b)—反算生成的曲面。

由图3、图4可以看出,反算后生成曲面与原始曲面存在较大误差,主要表现在边缘内节点不能很好的逼近原始成员线,造成整体形状失真,同时也给实际生产带来必不可少的影响。因此,为满足更精确的逆向工程计算,减小误差,本文对该问题进行了优化处理。

3.3 优化改进

由于反算后内节点与原始节点值存在较大误差,本文在对边界数据点提取的基础上,利用正向生成函数输出所有数据点值。通过计算与比较曲面数据点之间的位置关系,找到曲面端点与内节点平分点,去掉附近重复点,均匀提取曲面内节点。

根据均匀提取的9个数据点,把每条曲线上的n+2个数据点反向生成n+4个控制点,整个曲面由9个数据点反求出25个控制顶点。在改进后,曲面随即由单一段变成多段,再经过对算法改进与设计,由2层或多层循环控制多段曲面,最后,根据准均匀B样条曲面的性质,把不同的B样条基分别带入三次准均匀B样条曲线方程,随即生成更为精确的B样条曲面。改进后曲面与之前曲面对比如图4所示。

(a)—改进前曲面型值点与原始曲面对比; (b)—改进后曲面型值点与原始曲面对比。

由图4(a)、图4(b)可以看出,改进后B样条曲面更接近于原始曲面,计算更为精确可靠,减小了误差。表1、表2为改进后生成曲面控制点与原始曲面控制点对比。

表1 改进后生成曲面控制点

表2 原始曲面控制点

4 结 论

本文在对逆向工程技术的现状进行了论述的基础上,分析和论证了曲面重建关键技术的研究与实现对科研工作的影响。综合阐述了B样条曲面的的生成原理,并实际选取控制点和利用B样条基进行了实际操作,在展示了最终生成图像的基础之上,区分均匀B样条曲面和准均匀B样条曲面的不同,从而突出本文选题立场。最后,分析和论证了曲面的重构原理与方法,并对曲面片的拼接技术进行了研究。

在综合论述了B样条曲面生成原理和曲面反算理论的基础之上,设计了基于型值点反求控制点生成准均匀B样条曲面的算法,并给出运行结果,解决了通过曲面反算所生成的曲面与原始曲面存在较大误差问题,使反算后控制点更好的逼近于原始控制点,反算后生成的B样条曲面更接近于原始曲面,减少了误差,增加了曲面拟合的精确性,最后,在vc++2008编译环境下,对算法进行了编译调试,给出了运行成果,证明了该算法真实可靠,能较好的满足于实际科研需要,并为日后的逆向工程技术的研究打下良好基础。

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B-spline surface reconstruction research and implementation of key technologies

LIMengjiao,YUANJing,DUNa,WULijuan

(College of Physics Science and Technology, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Due to the wide application of surface reconstruction technology in reverse engineering, and as well as planar geometric design, surface reconstruction technology has become an important issue in the field of scientific research, aAnd it is a pplied in industrial design and computer image processing and so on. In order to meet the endpoints of quasi uniform B spline surface properties, . The disadvantages of coincidence between the four node endpoint are fixed to solve the disadvantages with that the end point of is not coincident with the control grid was solved. And The have type values points were taken for the back calculation control points on surface model in the for operation, and finally, in order to solve the problem view of the back calculation after generating surface after back calculation not being cannot be well a good approximation to the original surface problem, that is surface an improvement method for reconstruction surface was suggested with extraction of the endpoints and inside points are extracted at same time, improve the quality of the reconstructed surface, By comparing with the original generating surface, the algorithm is correct, high precision, convenient and reliable, and can be used in the actual needs of reverse engineering technology.

B spline surface; reverse engineering; surface reconstruction

2015-12-31。

辽宁省科技厅自然科学基金资助项目(201102205)。

李梦娇(1990-),女,吉林白城人,沈阳师范大学硕士研究生; 通信作者: 吴丽娟(1964-),女,辽宁沈阳人,沈阳师范大学教授,博士。

1673-5862(2016)02-0217-05

TP391

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.02.019