全空间中一类椭圆方程组解的存在性

2016-11-30张虎梅李鸿翔郝悦斌

贵州师范大学学报（自然科学版） 2016年5期

关键词：有界范数方程组

张虎梅，李鸿翔，郝悦斌

(山西大学数学科学学院,山西太原 030006)

全空间中一类椭圆方程组解的存在性

张虎梅，李鸿翔，郝悦斌

(山西大学数学科学学院,山西太原 030006)

讨论了下面问题:

椭圆方程组;Nehari流形;能量泛函

0 引言

研究下面一类椭圆方程组

(1)

椭圆方程组解的存在性得到了广泛的研究,涌现出很多重要的研究成果。尤其在有界区域上出现了大量的研究工作,比如Alves在文献 [1]中研究了下面的问题

(2)

(3)

(4)

他们通过对f,g进行了适当假设证明了方程组(4)至少存在一个正解。

还有在文献 [11]中Liu对相类似的方程

(5)

也进行了研究,她先对a(x),b(x)作了合适的衰减假设,再通过临界点理论,在有界的球内找到了近似解,然后通过分析找到的近似解的结构再取极限,从而证明了方程组(5)有无穷多的正能量解。因为本文是在RN上来研究,而且要考虑比较一般的权函数q(x),这将会导致紧性严重缺失,所以需要更加仔细地分析极小化序列,研究极小化序列的各种可能行为来克服紧性缺失的问题,本文将作出适当的假设来证明椭圆方程组(1)解的存在性。现在给出q的假设:

(Q):0<δ:=infRNq

本文的结论如下:

定理1 若N≥3,α>1,β>1,α+β∈(2,2*),并且q满足假设Q,那么椭圆方程组(1)至少存在一个非平凡的非负弱解。

1 预备知识

定义H1(RN)的内积为:

(u1,u2)=∫RN▽u1·▽u2+q(x)u1·u2dx，

相对应的范数为:‖u‖={∫RN|▽u|2+q(x)u2

要在空间X上对方程组(1)进行讨论。相对应地定义能量泛函为:

方程组(1)的一个弱解就相当于泛函I(u,v)在H1(RN)×H1(RN)上的一个临界点。对泛函I(u,v)来讲,易知I无下界,所以要将I限制到Nehari流形上,定义如下:

N={(u,v)∈X|u≠0,v≠0,〈I′(u,v),(u,v)〉=0}

若(u,v)∈N,则相对应的能量泛函是:

现在定义:m=inf(u,v)∈NI(u,v)。

引理1 N是非空集,m>0。

证明首先证N是非空集。因为(u,v)∈X,u≠0,v≠0,且∫RN|u|α|v|βdx≠0,所以存在t>0,使得(tu,tv)∈N,就有

再证m>0。因为(u,v)∈N,则可用Sobolev不等式和不等式|u|α|v|β≤|u|α+β+|v|α+β,得到 ‖u‖2+‖v‖2=2∫RN|u|α|v|βdx

≤2∫RN|u|α+β+|v|α+βdx

假定{(uk,vk)}k⊂N是I的极小化序列,而显然(|uk|,|vk|)∈N,同时又有I(|uk|,|vk|)=I(uk,vk)成立,故{(|uk|,|vk|)}k也是极小化序列,所以在RN中有uk(x)≥0,vk(x)≥0,且uk,vk在H1(RN)中是有界的,故有u,v∈H1(RN)使得

·uk(x)→u(x)a.e.,vk(x)→v(x)a.e.x∈RN。

引理2 λ>0。

2 l与λ的3种情形

需要考虑3种情况:l=λ,l=0,和 0

2.1 l=λ

引理3 若l=λ,则(u,v)∈N,I(u,v)=m。

2∫RN|uk|α|vk|βdx,

而显然有I(u,v)≥m,又通过范数的弱下半连续性可得

I(u,v)≤lim infkI(uk,vk)=m。引理3证毕。

2.2 l=0且u=0,v=0

现在我们定义一个泛函:

最后定义mγ=inf(u,v)∈NγIγ(u,v)。

引理4 存在(u,v)∈Nγ使得Iγ(u,v)=mγ。

≤∫RN|▽ek|2+|▽fk|2dx+γ∫RN|ek|2+|fk|2dx

=2∫RN|ek|α|fk|βdx

=2∫RN|wk|α|zk|βdx。

=Iγ(ek,fk)。

现在来证明弱极限u,v∈Nγ且Iγ(u,v)=mγ。

先证u,v∈Nγ,由类似引理1的证明得

(6)

取极限得 0

=t2lim infkIγ(uk,vk)=t2mγ

再由范数的弱下半连续性可得 Iγ(u,v)≤lim infkIγ(uk,vk)=mγ,而Iγ(u,v)≥mγ,故有Iγ(u,v)=mγ。引理4证毕。

引理5 m

证明易知Nγ≠Φ,mγ>0,存在(u0,v0)∈Nγ使得Iγ(u0,v0)=mγ,且u0≥0,v0≥0。由Q的假设我们可推断存在δ1>0和一个球BR(x1)使得对∀x∈BR(x1)有q(x)≤γ-δ1,而且也存在δ2>0,一个球BR(x2)以及一个集合A⊆BR(x2)使得在A中处处有u0(x)≥δ2。现在可以定义一个函数u1∈H1(RN)使得u1(x)=u0(x-x1+x2)。如果x∈BR(x1),那么x-x1+x2∈BR(x2),因此在一个集合A′⊆BR(x1)中处处有u1(x)≥δ2。则