NA序列自正则加权和的几乎处处中心极限定理

2016-11-29付宗魁吴群英

湖南师范大学自然科学学报 2016年5期

关键词：正则桂林定理

付宗魁,吴群英

(桂林理工大学理学院，中国桂林 541004)

NA序列自正则加权和的几乎处处中心极限定理

付宗魁*,吴群英

(桂林理工大学理学院，中国桂林 541004)

NA序列; 自正则加权和; 几乎处处中心极限定理

称随机变量X1,X2,…,Xn,n≥2是Negatively Associated (简记为NA)的,若对集合{1,2,…,n}的任意两个非空不交子集A1,A2,均有cov(f1(Xi;i∈A1),f2(Xj;j∈A2))≤0.其中，fi,i=1,2是使上式有意义且对各变元不降(或不升)的函数.称随机变量序列{Xn,n≥1}是NA列，如果对任意n≥2,X1,X2,…,Xn是NA的.近年来，自正则极限理论是概率论研究的一个热门话题，许多学者已得到了很多结果.文献[1]得到了混合序列自正则随机和乘积的渐近性；文献[2]得到了自正则和在正态吸引律下的几乎处处中心极限定理，文献[3]得到了φ混合序列自正则加权和的中心极限定理等.但关于自正则加权和的极限理论研究不多，本文讨论了NA序列自正则加权和的几乎处处中心极限定理.

(1)

定理1 设{X,Xn,n≥1}是均值为零的严平稳NA序列,EX2<∞,对任意的常数β>0,则有

(2)

其中，N为标准正态随机变量.

定理2 设{X,Xn,n≥1}是均值为零的严平稳NA序列,{ani,1≤i≤n,n≥1}为实数阵列且满足式(1),并且

(3)

对于任意的β>0,使得

(4)

(5)

则有

(6)

注2 如果{X,Xn,n≥1}为独立同分布的随机变量序列，则式(4)中β=1.

1 基本引理

引理1[5]设{Xn,n≥1}为NA随机变量序列，如果{fi，i∈N}是一列非降(或非升)的函数，则{fi(Xi)，i∈N}仍是NA的.

证由EX2<∞,则有

(7)

(8)

(9)

由式(1)和(7),则有

(10)

引理5 在定理2的条件下,dk和Dn满足式(5)，如果f(x)为有界且具有连续导数的函数，则有

(11)

(12)

(13)

(14)

对任意的1≤k

由文献[8]的引理3知，当EX2<∞和σ2>0时，则有

(15)

由式(1)和(15),则有

因此，式(14)成立，由引理3知式(11)成立.

由引理3知式(12)成立.

2 定理的证明

定理1的证明为了证明式(2)，由引理4,则只需证

(16)

(17)

定理2的证明对任意的0<ε<1，则有

因此，

类似地，有

为了证明式(6),只需要证明

(18)

(19)

(20)

对任意所为ε>0,为了证明式(19),则只需证

(22)

设f(x)为有界且具有连续导数的函数,对任意的ε>0,则有

(23)

由式(23)，(12)及Toeplitz引理，则有

当l=2时,式(22)也成立.于是,式(19)成立.类似式(19)的证明知式(20)也成立.类似文献[9]中式(2.33)的证明知式(21)成立.

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(编辑 HWJ)

Almost Sure Central Limit Theorem for Self-Normalized Weighted Sums of Negatively Associated Random Variables

FU Zong-kui*,WU Qun-ying

(College of Science,Guilin University of Technology,Guilin 541004,China)