基于Euler-Bernoulli梁理论的微车轴管长度匹配性研究

黄丰云， 朱建国， 周子寒，石 磊

(1. 武汉理工大学机电工程学院，湖北 武汉 430070；2. 上海汽车集团股份有限公司商用车技术中心，上海 201203)

基于Euler-Bernoulli梁理论的微车轴管长度匹配性研究

黄丰云1， 朱建国1， 周子寒1，石 磊2

(1. 武汉理工大学机电工程学院，湖北 武汉 430070；2. 上海汽车集团股份有限公司商用车技术中心，上海 201203)

以某微车传动轴为研究对象，采用 Euler-Bernoulli梁理论分别建立了单根轴管长度系列与不同轴管长度匹配系列的运动微分方程，并计算出其对应的弯曲固有圆频率及一阶临界转速。经计算，研究车型传动轴最高工作转速均低于对应一阶临界转速，可避免发生共振。为了研究确定动力学性能最优的轴管长度匹配，构建了五组传动轴样机模型，对模型进行动力学分析，为轴管长度匹配研究提供理论依据和仿真参考。

传动轴管；Euler-Bernoulli梁理论；长度匹配；虚拟样机

车辆行驶过程中，传动轴受到激励会偏离平衡位置而出现质量偏心产生离心惯性力，可导致传动轴产生弯曲振动，影响汽车噪声、振动与声振粗糙度(noise，vibration，harshness，NVH)性能。当激振频率与传动轴弯曲固有频率一致便产生共振，共振时对应转速为临界转速，其中一阶临界转速时振动最大，必须保证最高工作转速低于一阶临界转速[1-2]。

传动轴临界转速常用计算方法有经验公式法、传递矩阵法及有限元法[3-6]。等截面传动轴采用经验公式法进行计算，结果准确并且简单；传递矩阵法是将系统离散化，据子系统间关系及边界条件得到频率方程，进而计算固有频率及临界转速，当考虑支撑系统时，分析困难且结果准确性不能保证；有限元法通过分析系统模态，得到各阶频率及相应临界转速，但模型复杂时，网格划分困难，并且对计算机配置有一定要求。为此，本文把传动轴简化为梁，采用Euler-Bernoulli梁理论分析简化后传动轴的横向振动圆频率，进而计算出对应临界转速。而不同长度轴管组合具有不同的动力学特性，为确定动力学特性最优系列，建立传动轴虚拟样机模型并最终确定动力学匹配特性最优的轴管长度组合。

1 传动轴梁理论模型分析

1.1 单根轴管梁理论模型建立及分析

传动轴的计算模型有 2种：非滑动型和滑动型。本文结合研究车型轴管截面积不变，采用非滑动型模型[7]。图1为单根轴管的模型，将轴管简化为简支梁，采用Euler-Bernoulli梁理论建立运动微分方程。

图1 单根传动轴管模型

若不计阻尼，梁自由振动微分方程为[8]：

梁自由振动振型及特征根方程为：

其中，A1，A2，A3，A4为积分常数，β为方程特征根。据边界条件[9]得频率方程及特征根为：

在不考虑回转效应和工作环境等因素时，回转体的临界转速nr与横向振动的圆频率ωr具有式(5)所示关系，最大允许转速为0.8nr[10]。

结合研究车型底盘布置，取单根轴管长度0.5 m、0.6 m、0.7 m、0.8 m、0.9 m、1.0 m 6组系列，分别将其带入式(2)、(4)和(5)，求得一阶临界转速。对于非滑动型传动轴，由于所研轴管截面积恒定，临界转速可采用式(6)所示的经验公式计算[7]：

其中，nk为理论临界转速(r/min)；D为轴管外径(mm)；D为轴管内径(mm)；L为轴管长度(mm)。

研究车型其轴管尺寸为外径D=63.5 mm，内径d=59.9 mm。

表1 轴管一阶临界转速随长度变化值

由表1可知：

(1) 轴管一阶临界转速与长度呈反相关。本文研究的车型传动轴最高工作转速为7 058.82 r/min，表1所示在0.5～1.0 m范围内，其均能够满足研究车型要求。

(2) 基于 Euler-Bernoulli梁理论计算所得结果偏高与文献[8]中结论一致，并通过经验公式验证了基于Euler-Bernoulli梁理论分析的准确性。

1.2 轴管组合梁理论模型建立及分析

实用中为避免临界转速限制或为了绕过某一布局障碍，常采用图2所示的轴管组合[10]。本文研究车型采用两段式传动轴设计，两轴管长度分别为508 mm、879 mm，建立以此为依据的5组长度系列。

图2 传动轴管组合

与单根轴管建模思路类似，建立图3所示传动轴管组合模型，并做传动轴总成质量为连续分布，不考虑万向节的质量等因素假设。

图3 轴管组合模型

两段轴管的振型方程为：

由边界条件及传动轴管连续推出：

即：

化简得：

长度匹配对传动轴总成动力学特性的影响，可转化为基于长度这一变量的数学模型问题，将长度定为设计变量[11]。据研究车型传动轴总成长度要求，并结合单根轴管分析结论建立了5组不同的轴管长度系列，分别为：(458,929)、(508,879)、(558,829)、(608,779)、(693.5,693.5)。式(8)为超越方程，通过Matlab软件求得特征根，并算得临界转速。

表2 不同长度系列传动轴总成一阶临界转速

由表2可知，在传动轴总成安装长度确定时，两轴管长度越接近，其传动轴总成一阶弯曲频率越大，并且5组系列对应临界转速均满足研究车型速度要求。为确定不同系列动力学特性，采用机械系统动力学自动分析(automatic dynamic analysis of mechanical systems，ADAMS)软件进行研究。

2 轴管长度匹配与动力学特性分析

传动轴由于其结构特点，在高速旋转时会产生振动，并通过中间支承、后桥等传到车身，影响乘坐舒适性。传动轴传递给车身影响最大的振动来自于垂直方向，可以中间支承处垂直于传动轴方向的位移及加速度为目标进行研究。本文通过ADAMS软件分析不同长度匹配系列下中间支承处位移及加速度变化情况，确定出动力学性能最优系列[12-13]。

2.1 传动轴虚拟样机模型建立及验证

通过UG建立传动轴总成模型，去除垫片、螺栓等零件，将模型导入ADAMS，添加约束与载荷，创建出如图4所示传动轴的虚拟样机模型(系列1)，5组系列参数设置相同。

图4 传动轴虚拟样机模型

两端简支梁(图5)最大挠度为[14]：

图5 两端简支梁弯曲简图

由式(9)可知，在相同受力情况下，长度越长，最大挠度越大。图6是5组系列主传动轴管随转速变化对应的轴管最大挠度，系列1～5，主传动轴管长度逐渐减小，对应最大挠度变化趋势与理论一致，验证了本文建立仿真模型的准确性。

2.2 不同轴管长度匹配系列中间支承处振动

中间支承安装于车身底架上，传动轴的振动会通过中间支承传递到车身，影响整车NVH性能。图7～8分别是中间支承位移和振动加速度随转速变化曲线图。

图6 5组系列主传动轴管最大挠度

图7 不同轴管长度系列中间支承位移

由图7可知，5组系列中间支承位移整体变化不大，但在5000～7000 r/m in时，系列2位移波动最小。由图8可知，在650～2500 r/min时，5组系列中间支承振动较小，在2500～7000 r/min时，系列1、系列5中间支承除加速度较大，系列2中间支承处振动加速度最小，并且波动幅度小于其余4组系列。

图8 不同轴管长度系列中间支承振动加速度

2.3 结果分析与讨论

(1) 在低速段，不同系列中间支承位移随转速变化不大，且不同系列中间支承处加速度较小，说明低速段，轴管长度匹配对传动轴动力学特性影响不大。

(2) 在高速段，不同系列中间支承位移波动幅度不一，且不同系列中间支承处振动随转速增加呈上升趋势，说明高速段，不同轴管长度匹配对传动轴动力学特性有一定影响，且从仿真结果看，随着两轴管长度差缩小，其振动幅度越来越大，与两轴管固有特性接近造成振动叠加有关。

3 结 论

(1) 基于 Euler-Bernoulli梁理论分析得单根轴管与轴管组合临界转速，通过临界转速经验公式验证了该理论计算的准确性，可用于指导轴管长度设计。

(2) 通过ADAMS软件分析了不同系列传动轴的动力学特性，低速段，不同长度匹配对动力学特性影响不大，在高速段，其动力学差异性较为明显，综合比较得出了最优系列，对传动轴轴管的长度匹配研究具有一定指导意义。

[1] 董炳武, 赵 云. 汽车传动轴按临界转速进行可靠性设计[J]. 福州大学学报, 1998, 26(5): 48-50.

[2] 喻镇涛, 熊 燕. 传动轴临界转速测试方法探讨[J].汽车科技, 2009, (6): 72-73.

[3] Frisewell M I, Garvey S D, Penny J E, et al. Computing critical speeds for rotating machines with speed dependent bearing properties [J]. Sound and Vibration, 1998, 213(1): 139-158.

[4] 柴 山, 高连勇. 多转子系统弯扭耦合振动分析的整体传递矩阵法[J]. 机械设计, 2005, 22(10): 8-10.

[5] 李 超, 刘延峰, 艾丽昆. 基于混合模型的转子临界转速计算[J]. 振动与冲击, 2010, 29(11): 245-248.

[6] 王军锋, 孙 康. 基于有限元法的转子临界转速计算[J].机械设计, 2012, 29(12): 10-13.

[7] 谢正超, 唐新蓬, 张 彤. 传动轴临界转速的有限元计算及分析[J]. 机械研究与应用, 2003, 16(1): 34-35.

[8] Han S M, Benaroya H, Wei T. Dynam ics of transversely vibrating beams using four engineering theories [J]. Sound and Vibration, 1999, 225(5): 935-988.

[9] 杨晓东, 金基铎, 邹光胜. 不同支承条件下弯曲振动的频率方程及特征值[J]. 沈阳航空工业学院学报, 2000, 17(4): 1-6.

[10] 陈 鹏. 汽车万向节传动轴的选择和布置[J]. 汽车维修, 2011, (5): 6-8.

[11] 徐劲力, 罗文欣, 饶东杰, 等. 基于Workbench对微车后桥壳的轻量化研究[J]. 图学学报, 2015, 36(1): 128-132.

[12] 雷玉莲. 基于虚拟样机技术的汽车传动轴振动研究[D].重庆: 重庆大学, 2013.

[13] 金 鑫, 何玉林, 杜 静, 等. 采用虚拟样机技术的摩托车发动机减振设计[J]. 图学学报, 2006, 27(6): 1-6.

[14] 聂毓琴, 孟广伟. 材料力学[M]. 北京: 机械工业出版社, 2014: 162-164.

Research on Length Matching of Micro-Vehicle’s Shaft Pipe Based on Euler-Bernoulli Theory

Huang Fengyun1, Zhu Jianguo1, Zhou Zihan1, Shi Lei2

(1. School of Mechanical and Electronic Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan Hubei 430070, China; 2. SAIC Commercial Vehicle Technology Center, Shanghai 201203, China)

Take one micro-vehicle’s transm ission shaft as the research object, and based on Euler-Bernoulli beam theory, the differential equation of single shaft pipe with different lengths and shaft pipes with different length matching are built. Natural bending frequency and corresponding first critical speed is calculated, which is verified that the maximum rotational speed of researched transm ission shaft is lower than the first critical speed, as a result, it can avoid resonance. To confirm the best kinetic performance series, five prototypes of transm ission shaft are built, and analyze their kinetic performance, which w ill give a theoretical basis and simulation reference for the length matching of shaft pipe.

shaft pipe; Euler-Bernoulli beam theory; length matching; virtual prototype

U 462.2；TH 113.1

10.11996/JG.j.2095-302X.2016030405

A

2095-302X(2016)03-0405-05

2015-07-20；定稿日期：2015-11-15

广西科技厅资助项目(桂科合1346011-6)

黄丰云(1971–)，男，湖北武汉人，副教授，硕士。主要研究方向为机电一体化、机械设计、微型汽车的NVH研究。E-mail：1076499960@qq.com