“授鱼”与“授渔”的教学思考——新课标下高三数学复习课教学的一个案例

☉上海市桃浦中学　张正丽

“授鱼”与“授渔”的教学思考——新课标下高三数学复习课教学的一个案例

☉上海市桃浦中学张正丽

苏霍姆林斯基曾说：“我们不是教数学，而是教学生学数学.”这句话可以说是新课标对教师、教材、学生三者之间关系的生动写照，学生既是教学过程的起点，也是教学过程的终点，只有当“一切为了学生”的理念转化为广大数学教师的教学实践、教师和学生之间的平等对话成为现实时，新课程资源才能有效转化为学生内在的知识资源和精神力量.因此，我们必须学会“倾听学生”，让学生成为数学课堂上学习的真正主人.那么，我们应该怎样上好一节新课程数学教学的高三复习课呢？下面这个案例是笔者引导学生复习完数列的基础知识后，本着回归教材、注重基础、便于学生人人动手的指导思想，真正起到“授渔”的作用.笔者布置了一道较长时间的作业，呈现如下：

一、问题呈现

问题1：若正项数列｛an｝中，2Sn=an+1，求an.

问题2：在数列｛an｝中，a1=3，an+1=an+n（n∈N*），求an.

问题3：设数列｛an｝是首项为1的正项数列，且（n+1）·

问题4：若数列｛an｝中，a1=1，an+1=

问题5：在数列｛an｝中，a1=1，an+1=3an+2n（n∈N*），求an.

问题6：数列｛an｝满足：an≠0，且an=求其通项公式an.

递推数列求通项是高考数列的一个重要考查点，你认为递推数列求通项常见类型都有哪几种？重点考查哪些思想？都有哪些求法？

二、教学实录

1.展示成果，张扬个性

教师：同学们，上周布置的数学作业完成了吗？递推数列求通项重点考查哪些思想？常见类型都有哪几种？求法有几种？

学生兴致盎然，（纷纷说）重点考查归纳与递推思想，有的说有5种，有的说有8种，有的说有9种……

教师：看来大家准备得很充分啊！那谁来说说问题1的解法呢？

学生1：利用和Sn与项an的关系an=Sn-Sn-1（n≥2），a1= S1，求数列的通项an.

因为2Sn=an+1①，所以n≥2时，2Sn-1=an-1+1②，由①-②得2an=an-an-1，所以an=-an-1，所以an=（-1）n-1.

也就是说，当题目有前n项和Sn要求通项an时，就应写出和与项的关系Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an（n≥2），所以

教师：数列的通项an与前n和Sn之间的转化关系，是“化异为同”，求数列通项公式的重要工具，在高考数列试题里出现的频率较高，值得我们重视，注意an=Sn-Sn-1的条件是“n≥2”.

学生2：老师，这种情况是不是一定向an转化呢？

教师：（眼光转向其他同学）大家说呢？

学生：（大部分同学齐声说）不一定，那要看具体的问题.

学生3：老师，我研究的这种情况，有时还可以“an→Sn”，例如“设数列｛an｝的前n和为Sn，若a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*，bn=Sn-3n，求数列｛bn｝的通项公式.”可以说明.

教师：（示意学生3先不要说解决方案）哦！我们一块来看一下吧！

学生4：老师，上一个题是求an，故由Sn向an转化，而本题实际上是求Sn，所以由an向Sn转化，逆向思维.我的解法是：由an+1=Sn+3n，知Sn+1-Sn=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，所以Sn+1-3n+1=2（Sn-3n），所以数列｛bn｝是一个公比为2的等比数列，其首项b1=S1-3=a-3，所以bn=（a-3）·2n-1.

教师：很好！

图1

学生5：老师，也不能说一定怎样！有些时候可以“左右夹中间”.

教师：（以一种赞赏的眼神）具体说说.

学生5：例如“将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如图1所示的数表，记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝，b1=a1=1.Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足（n≥2）.求证：数列成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式.”

教师：（示意学生5先不要说解决方案）我们还是先一块来看一下吧！

教师：分析得非常透彻！当题目中出现an与Sn关系的条件时，数列的通项an与前n项和Sn之间的相互转化、化异为同，是解决问题的重要工具，但应注意an=Sn-Sn-1的条件是“n≥2”.那么，谁来说说第2题的解法呢？

学生7：利用累加法求通项an的公式an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1.由an+1=an+n，得an+1-an=n，所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=（n-1）+（n-2）+…+2+

教师：那么，什么样的类型可以用这种累加法求通项呢？谁能总结一下？

学生8：形如an+1-an=f（n）的递推公式可用累加法求通项an.

教师：这个f（n）如果是常数呢？

学生9：若f（n）为常数，则｛an｝是等差数列，所以an= a1+（n-1）d；若f（n）不为常数，则｛an｝不是等差数列，但｛an+1-an｝是等差数列（或等比数列），可累加求和.

教师：很好！那么，第3题又怎么做呢？

教师：有规律吗？

学生11：形如an+1=an·f（n）的递推公式都可利用累乘法求通项公式，这就是规律，但这个规律一定要找准，只有这样，才能开阔视野，提高解题能力.

教师：说得太好了！真是“青出于蓝而胜于蓝”！谁能举一个类似的题？

学生12：例如“在数列｛an｝中，a1=1，2an=求an.”

教师：怎么做呢？

教师：开门见山，直奔主题，说得好！该题还有不同解法吗？

教师：非常正确！运用了什么方法？

学生15：构造法，构造了一个等比数列.

学生16：这实际上也是一种换元法，形如an+1=can+ f（n）（其中c是常数，且c≠0）的递推公式可用换元法求通项an，第5题也可以用这种换元法：由an+1=3an+2n，得2·，由待定系数法得，所以｛cn｝是首项为c1=b1+1=，公比为的等比数列，所以所以

教师：通过“元”与“元”的代换，化繁为简，化难为易，通过换元可把未知的要解决的问题转化为熟悉的已知的问题.如把代数问题转化为三角问题，把几何问题转化为代数问题等，换元中的“元”可以表示常数、代数式、函数等.那么，第4题又怎样做呢？

学生17：令an+1+m=（an+m），则m=-2，故｛an-2｝是首项为-1，公比为的等比数列，所以an-2=-，即

教师：这又是一种什么方法呢？

学生18：还是一种换元法！

学生19：我觉得更突出了待定系数法，形如an+1=qan+ d（q≠1，d≠0）的递推公式都可用待定系数法求通项an.

教师：很好！待定系数法，实质上就是一种拆分变换，就是将形如an+1=qan+d（q≠1，d≠0）的递推公式拆分后转化为等比数列的形式.

学生20：老师，第4题我们也可以这样把递推公式拆分后转化为

教师：充分体现了递推思想，这也是一种化归法，漂亮！而如果我们把递推关系改为an+1=2an+1，问题又怎样解决呢？

学生21：前面的待定系数法、化归法仍然适用！

教师：还可以怎样解决呢？

学生22：还可以在an+1=2an+1两边同除以2n+1，得所以an=3·2n-2，这中间用了换元法，也用了累加法.

教师：那么，对于形如an+1an=can+1+dan（其中c、d是不为零的常数）的递推公式，又怎样求通项呢？

学生23：两边同除以an+1an，构造一个等差数列，进而可用待定系数法或换元法解决.

教师：非常好！在学习数列时，常会遇到一些用常规方法很难解决的分式问题，对此类问题，若能根据题目所给的条件巧取倒数，再求解，往往会收到立竿见影、事半功倍的效果.

2.总结反思，完善认知

教师：接下来请同学们回顾一下，常见的递推数列求通项问题主要有哪几种类型？谁能总结一下？

学生25：常见的递推数列求通项问题主要有6种类型：（1）已知和Sn与项an的关系求通项an；（2）形如an+1-an= f（n）的递推公式求通项an；（3）形如an+1=an·f（n）的递推公式求通项an；（4）形如an+1=can+f（n）（其中c是常数，且c≠0）的递推公式求通项an；（5）形如an+1=qan+d（q≠1，d≠0）的递推公式求通项an；（6）形如an+1an=can+1+dan（其中c、d是不为零的常数）的递推公式求通项.

学生26：老师，实际上第1种类型可转化为第2种类型或第3种类型；第5种类型从属于第4种类型，只是f（n）有常数和非常数之分.所以只有4种类型.

教师：撇开了具体条件，高屋建瓴，很有道理！那么，递推数列求通项问题的解决方法都有哪些？

学生27：递推数列求通项问题的关键在于通过对已知递推数列公式采用：利用an与Sn之间的关系化异为同、累加法、累乘法、待定系数法、换元法、倒数法、化归递推法、归纳猜想法等将非等差数列、非等比数列转化为等差数列、等比数列问题来处理.

教师：很好！同学们既能解题，又能编题，还会评题，元认知水平很高，体现了较高的数学素质！这种方式把学生变成了学习的主体，使其能动性和独立性不断生成、张扬、发展、提升，让学生真正成为学习的主人.F