认知与思辨在离散数学教学中的研究

余 瀚 杨李婷

（南京邮电大学计算机学院、软件学院，江苏 南京 210023）

认知与思辨在离散数学教学中的研究

余 瀚 杨李婷

（南京邮电大学计算机学院、软件学院，江苏 南京 210023）

认知与思辨是大学教育有两个比较重要的思维活动。本文以离散数学的教学为例，较详细地阐述正确认知和与此相关的批判性思辨对于教学和人才培养方面的作用。反复地认知与思辨不仅为学生牢固掌握知识提供了有效手段，更为培养良好思维习惯的人打下坚实基础。

认知；思辨；大学教育；离散数学

0 引言

目前，我国教学科研处在“十三五”开局的关键时期，国家最近出台的相关科研指导方案对高校的科研和教学都有十分重要的指导作用。这一指导方案详细地列举了理、工、农、医等各个学科比较重要和前沿的若干研究课题，其中的大多数课题都需要科研人员有很强的思辨能力，从中才能去伪存真、去粗取精，进而不断地认知真理的本来面目。这个现象启示我们：很有必要在高等教育中贯彻对学生认知思辨能力的培养。这样可以使我国大学在教学中不仅坚持对学生扎实功底的训练，同时充分融入开放思考型的内容，如此不仅可以对全面促进科研起到打地基的作用，更对高等教育培养全面的人起到十分积极的作用。本文将以离散数学[1-2]为例，探讨这一典型课程对认知和批判性思辨进行训练过程中的影响和意义。

1 认知与模型

认知是人类了解自身以及外部世界的首要途径，简单地说就是汲取知识的过程。离散数学并不是一门单纯的课程，而是很多不同方向课程的一个集合。由于它结构比较复杂，知识点比较多，因此认知概念是一个较为基础和重要的环节。其中，由于概念化的符号众多并且描述对象比较抽象，需要给学生较为清晰地讲述每个符号传递的基本事实和对象。以图和树为例，我们可以用网络节点、网络爬虫、旅游问题等为实例对象，给学生讲述清楚用这些工具抽象化具体应用的原因；同时，还可以在交待完基本理论之后，再用较为复杂的应用，如数据结构遍历问题、Huffman编码问题等进一步扩展提升学生对数和图的认知，从而完成由实际到理论再到实际的认知过程。在这一过程中，往往可能所谓的“答案”并不唯一，每个学生认识世界的角度不一样，所以就造成了建模的多样性，教学过程中应该鼓励这种差异化，培养学生解决问题的灵活性，也对后续课程如密码学[3]等起到比较积极的推动作用。

在认知与建模过程中，还有一类是扩展性地认知世界，典型的例子就是命题逻辑与一阶逻辑。命题逻辑反映的是对客观世界的简单认识，而一阶逻辑则是对事物之间关系更复杂的表示。以苏格拉底三段论为例，在命题逻辑不能反映这一论断正确性的情况下，引入一阶逻辑这一工具可能更好地方便我们对世界的判断。这样认知粒度不断加深的例子比比皆是，引入谓词和量词这种扩展性认知也更加客观灵活地反映出世界的复杂性。

在模型产生的过程中，从实际到理论的转化问题的思路也是一类比较重要的抽象认知活动，这一类活动恰恰较能反映迁移和应用学习能力。例如门电路的设计使用基本对应着合式公式的正则化范式，群的基本理论和代数方程解之间的关系，工程进度和有向图之间的对应关系等等都是知识的转化应用。这一点往往是我国教学的弱项，并不是教学中理论不够扎实，而是实际例子的讲述较少，眼界不够开拓，需要广大进一步在教材编写上结合国情实际引进国外先进教科书，不断强化应用性知识的教学。

2 推理与批判性

在正确认知的基础上，推理和批判性思维就显得尤为重要。在逻辑论、集合论、函数、图和树等章节中，不仅推理一般都是建立在承认一些事实的基础之上，很多定义都是递归地建立在某个既成事实的基础之上。在推理证明的教学过程中，我们认为不必要对某些技巧性比较强的细节过分地强调，尤其是很多推理的所谓“公式”更不必要死记硬背，反而是需要清晰地阐述推理的基本原则、规则、证明的思路、最终的目的等等，这些宏观上具有指导性的策略其实也恰是微观上技巧性得以体现的重要依据。逻辑学的建模基本上是以一定的事实为依据，但是正确的模型并不一定是惟一的，所以推理的方法和思路也不一定是惟一的，这就是一种批判性的建模推理思路；有时，推理结束后学生也常能发现更好的建模推理手段，这就使得批判性思维在教学过程中得到了强化。这一类需要思辨能力的情形可能在问题结果相对确定的数据结构、线性代数等课程的内容中体现得不是很明显，但是在离散数学课程中会经常出现。尽管如此，需要特别指出的是，这也是在承认一些基本共识规则的情况下才能得以拓展，只不过这类规则定义得比较宽松，避免了死板的生搬硬套，加上没有很多牵涉到数字的计算，故而使得本课程相对比较灵活。在计算机相关学科的科研过程中，诸如基于本体的建模大多是以这些基本理论为基石，掌握正确的思辨方法很有利于学生后续的学习和工作。

特别需要提及一点是有关因果性和相关性的认知。推理是建立在比较强的因果性之上的，举个例子来说，在数据挖掘中如果有金融数据需要挖掘一些不良记录进行风险规避甚至犯罪检测，不仅仅需要我们找出相关的数据，并且更重要的是需要得到强有力的原因使得结论被无可争辩地支撑。在本课程的教学过程中，尤其需要学生分辨因果性和相关性，与概率和统计不同，本课程中所说的因果性往往以规则为基础，所以定义推理规则的时候需要特别仔细认真，也同时需要很强的批判性思维。一般地，我们在教学过程中发现，组成前件的各个命题之间相关性比较强，前件与后件的因果性比较强，但是这也不是绝对的。在授课中，强调因果性和相关性的分辨，可以让学生更好地掌握规则、明辨是非，从结果中批判地分辨事情的主要原因，排除非重点的干扰因素，建立起正确看待问题的方法和观念。

3 结语

工科的教学需要强化对问题的正确认知，同时也需要一种批判性的思辨和推理方法，两者相辅相成，不仅可以促进学生学好离散数学这门课，更为我们在后续的教学科研打下良好且比较扎实思维基础。

［1］耿素云，等.离散数学[M].北京：清华大学出版社，2013.

［2］方世昌.离散数学[M].西安：西安电子科技大学出版社，2000.

［3］谷利泽，郑世慧，杨义先，编.现代密码学教程[M].北京：北京邮电大学出版社，2009.

［责任编辑：李书培］

Study on Recognition and Critical Thinking in The Course of Discrete Mathematics

Recognition and critical thinking are two important activities in college education.Based on the lectures in the course of discrete mathematics,this paper describes the effects of correct recognition and the associated critical thinking in teaching and college education.Iterative recognition and critical thinking not only provide an effective methodology for students’acquiring knowledge,but also set up a solid ground for developing good thought patterns.

Recognition;Critical Thinking;College Education;Discrete Mathematics

南京邮电大学科研启动基金（NY214170），南京邮电大学教改项目基金（JG00415JX76）。

余瀚（1984—），博士，南京邮电大学计算机学院、软件学院，副教授，研究方向为反问题计算、图像处理等。

杨李婷，硕士，南京邮电大学计算机学院、软件学院，讲师。