平面三次PH过渡曲线的构造

刘莹莹, 王旭辉

(合肥工业大学 数学学院,安徽 合肥 230009)



平面三次PH过渡曲线的构造

刘莹莹, 王旭辉

(合肥工业大学 数学学院,安徽 合肥 230009)

文章采用三次PH曲线构造两圆之间的过渡曲线(两圆不相互包含的情况)，该过渡曲线满足G2连续条件。因为在两圆不相互包含的情况下,曲线两端点处曲率同号,所以能构造出C型过渡曲线。在一定条件下,可以证明两圆之间存在唯一的三次PH过渡曲线。此外,文章还给出了该过渡曲线的构造算法,并通过实例验证了该方法的有效性。

三次PH曲线;G2连续;过渡曲线;曲率

0 引 言

平面G2连续过渡曲线可用于2条曲线(如两圆弧)间的光滑拼接。一般地,G2连续过渡曲线在端点处保持切向量平行且曲率相等。为了使得过渡曲线尽可能光滑,要求曲线内部曲率尽可能单调;若无法保证单调,也要求曲线内部有尽可能少的极值点。G2连续过渡曲线在工程设计中有广泛的应用,如公路或铁路等工程和技术设计、机器人行动路径的规划等。

为了保证过渡曲线的曲率尽可能单调,文献[1]利用clothoid曲线构造了一种过渡曲线。虽然该过渡曲线曲率单调,但因为该曲线的表达式涉及到Frensel积分,所以该过渡曲线与传统的CAD/CAM系统不兼容。文献[2]提出运用三次Bézier曲线构造过渡曲线。一般地,Bézier曲线在计算中有很多局限性,如它的弧长公式和等距曲线公式无法表示为有理形式或多项式形式。为了解决这些问题,文献[3-5]采用五次PH曲线构造过渡曲线；文献[6-8]提出三角Bézier-like曲线构造过渡曲线；文献[9]提出用三次PH曲线构造两曲率圆内含情况下的过渡曲线,并给出这种情况下圆心距的取值范围,取得了较好的结果。

本文给出两圆不相互包含情况下的过渡曲线的构造方法。通过对两圆的半径进行限制,给出两圆之间圆心距的范围,可以得到两圆之间存在唯一的三次PH过渡曲线。

1 问题背景

给定平面参数曲线方程P(t)=(x(t),y(t)),该参数曲线的切向量P′(t)=(x′(t),y′(t)),曲线P(t)的曲率为：

(1)

其中

对于参数曲线,如果它的单位切向量连续变化且曲率也连续变化,那么称该曲线二阶几何连续,记为G2。如果该过渡曲线内部曲率值是由负变到正或由正变到负,那么该过渡曲线称为两圆弧间S型G2连续过渡曲线,如果该过渡曲线内部曲率值不变号,那么称其为两圆弧间C型G2连续过渡曲线。

1990年,Farouki和Sakkali在计算机辅助几何设计中引入Pythagorean-hodograph平面曲线(简称PH曲线)。PH曲线具有很好的性质,例如其弧长可以用含参数的多项式精确表示。

定义1 对于多项式参数曲线P(t)=(x(t),y(t)),若存在多项式σ(t),使x′2(t)+y′2(t)=σ2(t)，则称P(t)为PH曲线。

定义2 给定三次多项式Bézier曲线

(2)

(3)

对应的u(t)、v(t)应为一次多项式,令

(4)

根据三次PH曲线控制多边形的几何特征,此时的三次Bézier控制顶点可以表示为：

(5)

由(2)～(4)式,可得：

(6)

为方便计算,取控制多边形的起点向量P0=(0, 0),控制多边形的边向量P1-P0=(1, 0),故

(7)

将(7)式代入(5)式,得v0=0。在这种情况下,(5)式和(6)式可改写为：

(8)

(9)

由(9)式可得κ(0)与κ(1)同号。故在两圆不相互包含的情况下,三次PH过渡曲线为C型过渡曲线。

2 三次PH曲线构造过渡曲线

设三次PH曲线的两端点分别为P0和P3,P0的曲率圆心以及曲率半径分别为C0和r0,P3的曲率圆心以及曲率半径分别为C1和r1。若圆心距为r,则有|C1-C0|=r。

首先由G2连续可得：

(10)

假设r1>r0,若令：

(11)

(12)

将(11)式和(12)式代入(10)式,可得：

(13)

引理1(Kneser定理) Spiral上任何一点的曲率圆一定包含较小的曲率圆,并且一定被较大的曲率圆所包含[10]。

由引理1知,在两圆不相互包含的情况下,构造C型G2连续过渡曲线,不可能找到Spiral曲线,即这种过渡曲线不能保持曲率单调,故曲率内部必包含极值点。为了保证曲线尽可能光滑,本文要求曲线内部有尽可能少的极值点,并假设所构造的C型过渡曲线曲率只存在一个极值点。

下面讨论PH过渡曲线的存在性。

定理1 当两圆不相互包含时,即当r>r1-r0时,若

(14)

则(2)式定义的三次PH曲线为C型过渡曲线。

证明 三次PH曲线的曲率导数为：

(15)

其中

当00,相应地,f(0)f(1)<0,这时的三次PH曲线有尽可能少的曲率极值点。因此由三次PH曲线构造的是C型G2连续过渡曲线。

(16)

且

(17)

其中

(18)

则满足上述条件的三次PH过渡曲线是唯一的。

证明 设三次PH曲线的两端点分别为P0和P3，P0的曲率圆心以及曲率半径分别为C0和r0,P3的曲率圆心以及曲率半径分别为C1和r1，三次PH曲线的坐标系设定与端点曲率圆如图1所示。若圆心距为r,则有|C1-C0|=r。

图1 三次PH曲线的坐标系设定与端点曲率圆

由图1得:C0=(0,r0),C1=(x3-r1sin 2θ,y3+r1cos 2θ),则两圆之间的圆心距向量为C1-C0=(x3-r1sin 2θ,y3+r1cos 2θ-r0)。

构造关于θ的函数g(θ)=|C1-C0|2-r2。令q=cosθ,则0≤q<1。将r0=λ4r1带入g(θ)得关于变量q的四次方程为:

(19)

由(19)式得:

且

因为

3 过渡曲线生成算法

过渡曲线生成算法步骤如下：

(1) 输入要生成的过渡曲线初始端点P0,根据(11)式和(16)式的要求,输入两圆的半径r0、r1以及λ的值。

(2) 根据(17)式和(18)式的要求,输入两圆的圆心距r,由(19)式解出q和θ的值。

(3) 将θ代入(13)式,求出u0、u1、v1的值。

(4) 将u0、u1、v1代入(8)式和(2)式,输出相应的三次PH C型过渡曲线。

4 数据实例

例1 给定起点P0=(0,0),选取r0=1,根据0.517 6<λ<1,本文选择r1=1.5,这时P0的曲率圆为Ω0,并且圆心为(0,1),经过一系列计算可知,要构造的过渡曲线的端点曲率圆的圆心距的范围为(r1-r0)

图2 r1=1.5时的三次PH过渡曲线(实线部分)

图3 曲率图和曲率的导数图

例2 给定起点P0=(0,0),选取r0=2,根据0.517 6<λ<1,本文选择r1=2.469 1,这时P0的曲率圆为Ω0,并且圆心为(0,r0),经过一系列计算可知,要构造的过渡曲线的端点曲率圆的圆心距的范围为:(r1-r0)

图4 r1=2.469 1时的三次PH过渡曲线(实线部分)

5 结 论

本文基于次数较低的三次PH曲线,从其G2连续的代数角度来构造两圆不相互包含情况下的过渡曲线。因为次数较低,所以在方程求根时,克服了传统方法求近似解的缺点,计算更加简便。此外,本文给出求两圆不相互包含的情况下,生成PH过渡曲线的方法,证明了此种情况下只存在唯一的PH过渡曲线。

[1] MEEK D S,WALTON D J.The use of Cornu spirals in drawing planar curves of controlled curvature [J].Jounal of computational and Applied Mathematics,1989,25(1):69-78.

[2] WALTON D J,MEEK D S.A planar cubic Bézier spiral [J].Journal of Computational and Applied Mathematics,1996,72(1):85-100.

[3] WALTON D J,MEEK D S.G2curves composed of planar cubic and Pythagorean hodographs quintic spirals [J].Computer Aided Geometric Design,1998,15(6):547-566.

[4] HABIB Z,SAKAI M.G2Pythogorean hodograph quintic transition between circles with shape control [J].Computer Aided Geometric Design,2007,24(5):252-266.

[5] HABIB Z,SAKAI M.On PH quintic spirals joining two circles with one circle inside the other [J].Computer-Aided Design,2007,39(2):125-132.

[6] 刘华勇,张大明,李璐.基于参数连续HC Bézier-like曲线的过渡曲线的构造[J].纯粹数学与应用数学,2011,27(1):69-74.

[7] HAN X A,MA Y C,HUANG X L.The cubic trigonometric Bézier curve with two shape parameters [J].Appiled Mathematics Letters,2009,22(4):226-231.

[8] 刘华勇,段小娟,张大明,等.基于三次 Bézier-like的过渡曲线的构造 [J].浙江大学学报(理学版),2013,40(1):42-46.

[9] 郑志浩,汪国昭.三次PH曲线的曲率单调性与过渡曲线构造 [J].计算机辅助设计与图形学报,2014,26(8):1003-9775.

[10] GUGGENHEIMER H W.Differential geometry[M].New York:McGraw-Hill,1963.

(责任编辑 朱晓临)

Construction of planar cubic PH transition curve

LIU Yingying， WANG Xuhui

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Cubic PH curves were used to construct the transition curves between two circles where one circle is not included in the other one. The transition curves are G2continuous at the two endpoints. Under the assumption that one circle is not included in the other one, the curvature of the curve at the endpoints is positive or negative simultaneously. Thus, C-shaped transition curves can be constructed. Moreover, under some special conditions, the cubic PH transition curve is unique. An algorithm is also provided to generate the cubic PH transition curves. Finally, the effectiveness of the presented method is demonstrated by some numerical examples.

cubic PH curve; G2continuity; transition curve; curvature

2015-03-25；

2015-05-25

国家自然科学基金青年基金资助项目(11301131)

刘莹莹(1972-),女,安徽六安人,合肥工业大学硕士生;

王旭辉(1980-),男,安徽庐江人,博士,合肥工业大学副教授,硕士生导师.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.09.026

TP391

A

1003-5060(2016)09-1288-05